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山东省济南市济阳区竞业园学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）
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考试时间时间120分钟 满分150分
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上．）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若成立，则下列不等式成立是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列因式分解正确的是（ ）
A B.
C. D.
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝5，则DF的长度是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
6. 如图，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，点为等边三角形内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与点的距离为10；②绕点顺时针旋转会和重合；③；④，其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11. 因式分解：___．
12. 点先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为____________
13. 如图，已知函数和图像交于点P，点P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是________．
14. 如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_____．
15. 若不等式组的解集是，则m的取值范围是_________．
16. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为_______________．
三、解答题（共10个小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解不等式组，并求出它的非负整数解．
18. 分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19. 如图，在中，，直线垂直平分，若，求的度数．
20. 先因式分解，再计算求值：，其中；
21. 如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
22. ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位．
（1）作ABC关于点C成中心对称的A1B1C1．
（2）将A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，求经过点P和点C2的一次函数关系式，并求出点P的坐标．
23. 为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
24. 把代数式通过配方等手段，得到完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．如：利用配方法求最小值：求最小值．
解：．因为不论x取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是．
根据上述材料 ，解答下列问题：
（1）填空： ；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
（3）若，其中a为任意实数，试比较M和N的大小，并说明理由．
25. 【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如，小明将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，如图②．从而证明出了DM+BN=MN．
（1）请你按照小明的方法证明：DM+BN=MN；
【类比延伸】
（2）如图③，点N、M分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接数MN，请根据小明的发现给你的启示写出MN、DM、BN之间的数量关系，并证明．
26. 如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，的垂直平分线l与x轴交于点C，与交于点D，连接．
（1）求的长；
（2）若点E在x轴上，且的面积为10，求点E的坐标；
（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
考试时间时间120分钟 满分150分
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上．）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若成立，则下列不等式成立是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列因式分解正确的是（ ）
A B.
C. D.
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝5，则DF的长度是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
6. 如图，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，点为等边三角形内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与点的距离为10；②绕点顺时针旋转会和重合；③；④，其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11. 因式分解：___．
12. 点先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为____________
13. 如图，已知函数和图像交于点P，点P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是________．
14. 如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_____．
15. 若不等式组的解集是，则m的取值范围是_________．
16. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为_______________．
三、解答题（共10个小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解不等式组，并求出它的非负整数解．
18. 分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19. 如图，在中，，直线垂直平分，若，求的度数．
20. 先因式分解，再计算求值：，其中；
21. 如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
22. ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位．
（1）作ABC关于点C成中心对称的A1B1C1．
（2）将A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，求经过点P和点C2的一次函数关系式，并求出点P的坐标．
23. 为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
24. 把代数式通过配方等手段，得到完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．如：利用配方法求最小值：求最小值．
解：．因为不论x取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是．
根据上述材料 ，解答下列问题：
（1）填空： ；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
（3）若，其中a为任意实数，试比较M和N的大小，并说明理由．
25. 【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如，小明将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，如图②．从而证明出了DM+BN=MN．
（1）请你按照小明的方法证明：DM+BN=MN；
【类比延伸】
（2）如图③，点N、M分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接数MN，请根据小明的发现给你的启示写出MN、DM、BN之间的数量关系，并证明．
26. 如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，的垂直平分线l与x轴交于点C，与交于点D，连接．
（1）求的长；
（2）若点E在x轴上，且的面积为10，求点E的坐标；
（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
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