山东省济南外国语学校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省济南外国语学校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．我国航天领域发展迅速，从“天宫一号”到“天和”核心舱的发射，正式迈入“空间站时代”．下列与中国航天相关的图标中可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．对于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式的值为B．当时，分式无意义
C．当时，分式的值为正数D．当时，分式的值为
3．对于分式，当a，b都扩大到原来的2倍时，分式的值是（ ）．
A．不变B．扩大2倍C．扩大6倍D．扩大12倍
4．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）．
A．B．
C．D．
5．若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
6．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若，则的大小（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知的三边长、、满足条件：．那么的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
9．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在延长线上，已知，，，则的长为（ ）．
A．B．1C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后点B的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．因式分解： ．
12．化简的结果为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限内，将沿x轴正方向平移得到，若点A的对应点在直线上，则点B与对应点之间的距离为 ．
14．多项式有最小值，最小值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为 ．
三、解答题（本大题共9小题）
16．分解因式：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
17．计算：
(1)．
(2)．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点．
(1)求证：；
(2)若则为度．
20．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到的，画出，并直接写出点的坐标；
(2)绕原点逆时针方向旋转得到，按要求作出图形；
(3)如果，通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标．
21．如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数，则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”．
(1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”；
(2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．求M所代表的代数式．
22．数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为．
根据上述材料，解决下列问题．
(1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________；
(2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”．
23．（1）对于一个矩形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，得到一个等式，要求等式从左边到右边，是一个多项式到几个整式的积的变形形式，相当于对左边的多项式进行因式分解，我们把这样的等式叫“因式分解等式”，如图1、是4个小矩形拼接而成的大矩形，根据计算矩形的面积，可以得到的“因式分解等式”为__________；如图2，若，时，根据计算矩形的面积可以得到的“因式分解等式”为__________；
（2）类似的，通过不同的方法表示同一个长方体的体积，也可以探求相应的“因式分解等式”、如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________；
（3）根据（1）和（2）中的结论解答下列问题：若图1与图2中的a与b的值满足，，求的值．
24．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①求证：BE=CD
②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=3，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值
参考答案
1．【答案】C
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
2．【答案】C
【分析】直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可．
【详解】解：A．当时，，，分式的值为，故此项选项不符合题意；
B．当时，，分式无意义，故此选项不符合题意；
C 当时，当时，，分式无意义，故此选项符合题意；
D．当时，，故此选项不符合题意．
故选C．
3．【答案】B
【分析】把、替换原来的、，然后进行分式的化简计算，从而与原式进行比较得出结论．
【详解】解：把、替换原来的、可得，
由此可知分式的值扩大2倍，
故选B．
4．【答案】B
【分析】分别利用平方差公式分解因式进行判断即可解答．
【详解】解：A、，可以用平方差公式分解因式，故此选项正确，不符合题意；
B、，两个项均为负数，不可以用平方差公式分解因式，故此选项错误，符合题意；
C、，不可以用平方差公式分解因式，故此选项正确，不符合题意；
D、，可以用平方差公式分解因式，故此选项正确，不符合题意．
故选B．
5．【答案】D
【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：原式•
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故选D．
6．【答案】B
【分析】先由平行线的性质得到，再由旋转的性质可得，，进而根据等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，则可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转到位置，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选B．
7．【答案】C
【分析】首先把等式的左边分解因式可得：，从而可得，然后整体代入求值即可．
【详解】解：
整理得：，
分解因式可得：，
，
．
故选C．
8．【答案】D
【分析】将等式左边分解因式可求得或，进而判定三角形的形状．
【详解】解：
或
或，
或，即的形状为等腰三角形或直角三角形，
故选D．
9．【答案】A
【分析】在上截取，过点A作，根据，求出，由旋转的性质得到，易得，证明，推出，进而推出，结合，得到，利用勾股定理求出，推出是等腰直角三角形，求出，再利用三角形外角的性质求出，利用直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，即可求出，即可得出结果．
【详解】解：如图，在上截取，过点A作，
∵，
∴，
由旋转的性质得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选A．
10．【答案】C
【详解】解：过点作轴于，

在中，，，，
，
，，
由勾股定理得，，
，
，，
，
逆时针旋转后，得，
以此类推，，，，，，6次一个循环，
，
第次旋转后，点的坐标为，
故选C．
11．【答案】
【解析】略
12．【答案】1
【分析】先将原式化成同分母的分式再进行运算，能约分的要约分．
【详解】解：
13．【答案】/
【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的横坐标，可得出点与其对应点之间的距离，再根据平移的性质可求解．
【详解】解：∵点A的对应点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点与点为对应点，
∴
14．【答案】
【详解】解：，
，
原式有最小值
15．【答案】
【分析】具体来说，利用是等边三角形和的条件，证明和全等，从而将线段的运动转化为线段的运动，进而确定线段扫过的图形，再计算其面积．
【详解】解：是边长为4的等边三角形，
，．
，
又线段绕点逆时针旋转得到线段，
，．
，
即．
在和中，
，
．
，，
，，
，，
，即点Q的运动轨迹在射线上，
作射线，在射线上截取，连接，
，
即点P从点C运动到点D的过程中，点Q从图中的点Q运动到点，点Q的运动轨迹是下图中的线段，
，，此时，
，
线段扫过的图形的面积等于的面积．
作于，
，
，
线段扫过的面积
16．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可；
（2）提取公因式分解即可；
（3）利用十字相乘法分解因式即可；
（4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
；
（3）解：，
；
（4）解：，
，
．
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按同分母分式加减运算法则，先将分子相减，再化简成最简分式或整式．
（2）先将原式通分化成同分母的分式再进行运算，能约分的要约分．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】，
【分析】先通分，计算括号内，除法变乘法，化简后代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
19．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，利用SAS证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
（2）由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出．
【详解】（1）证明：∵，
，
∵将线段绕点旋转到的位置，
，
在与中，
，
，
；
（2）由（1）知，
得．
在中，是外角，
根据三角形外角性质：，
为．
20．【答案】(1)图见解析，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平移的性质找到对应点，顺次连线得出，根据坐标系写出点的坐标,即可求解；
（2）根据旋转的性质得到，
（3）连接，，作与的垂直平分线，相交于点，则点即为与的旋转中心，根据坐标系写出点的坐标即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
点的坐标为．
（2）如图，即为所求．
（3）如图，连接，，作与的垂直平分线，相交于点，则点即为与的旋转中心，
旋转中心的坐标为
21．【答案】(1)A是B的“差整分式”，“差整值”
(2)
【分析】（1）根据题中定义即可解答；
（2）根据题中定义，得到，即可解答；
【详解】（1）解：，
A是B的“差整分式”，“差整值”；
（2）解：，
，
可得．
22．【答案】(1)和，
(2)的值为6或，多项式的“对称值”为或
【分析】（1）仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”；
（2）根据题意，求出值，再仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”．
【详解】（1）解：，
当或时，，
多项式的“零值”为和，
“对称值”为，
故答案为：和，；
（2）解：多项式（实数为常数）的两个“零值”相等，
多项式是完全平方式，
即，
当时，多项式可化为，
，“零值”为和，“对称值”为；
当时，多项式可化为，
，“零值”为和，“对称值”为，
综上所述，的值为6或，多项式的“对称值”为或．
23．【答案】（1）；；
（2）；
（3）．
【分析】(1)根据图形面积即可得解；
(2)根据正方体的体积公式以及分割成的图形体积之和即可得解；
(3)参考上述结论计算求解即可．
【详解】解：（1）由图形等面积可得；；；
故答案为：；；
（2）正方体的体积为，
由图可知正方体被分割成8部分，
其中1个边长为的小正方体，
1个边长为的小正方体，
3个底面边长为，高为的长方体，
3个底面边长为，高为的长方体，
，
故答案为：；
（3），，，
，
，
，
，
，
，
．
24．【答案】（1）CB的延长线上，a+b；（2）①见解析；②5；（3）+3
【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝3，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为3＋3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，
故答案为：CB的延长线上，a+b；
（2）①证明：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD与△EAB中，，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD=BE；
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，
由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为BD+BC=AB+BC=5；
（3）如图3-1中，连接BM，
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=3，BN=AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，（如图3-2中）
最大值=AB+AN，
∵AN=AP=，
∴最大值为+3．