四川省成都市玉林中学2024−2025学年高二下学期期4月诊断性评价 数学试题（含解析）

这是一份四川省成都市玉林中学2024−2025学年高二下学期期4月诊断性评价 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，则（ ）
A．0B．C．D．
2．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A．2B．1C．0D．
3．已知等比数列中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，且是的极小值点，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（ ）
A．18B．24C．30D．36
6．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ）
A．B．C．D．
7．是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（ ）
A．椭圆的长轴长为3B．椭圆的离心率为
C．的最大值为5D．存在点，使得
10．设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．
B．
C．最大时，
D．的整数的最大值为
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有相同的最大值
B．若对任意的，都有成立，则的最小值为
C．若时，则
D．若直线与函数与恰有三个交点，则成等比数列
三、填空题（本大题共3小题）
12．若函数的减区间为，则的值为 .
13．用1，2，3，4，5这5个数字可以组成 个无重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的共有 个（用数字作答）．
14．已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成的夹角的大小．
16．已知是等差数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
17．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切．
(1)求椭圆及圆的方程；
(2)过作两条互相垂直的射线交椭圆于两点．
（i）证明：直线与圆相切；
（ii）求面积的取值范围．
19．已知函数．
(1)若函数在处的切线为轴，求实数的值；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知函数有两个极值点，求证：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，得，
故选B.
2．【答案】C
【详解】由点在切线上，可得：，
由切线斜率可知：，
所以，
故选C.
3．【答案】C
【详解】由等比数列性质可知：，
又，
所以，
故选C.
4．【答案】B
【详解】因为函数，所以，
所以单调递增；单调递减；单调递增；
所以是的极小值点，，是的极大值点，B选项错误，D选项正确；C选项正确；
，A选项正确.
故选B.
5．【答案】D
【详解】由题意从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有，
从3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有，
所以选出的2人中至少有一名男生方法数为.
故选D.
6．【答案】D
【详解】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，利用等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】斗升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，
解得a1＝，所以牛主人应偿还粟的量为
故选D
7．【答案】C
【详解】是定义在上的偶函数，
当时，令，则，所以在上单调递减，
当时，，即，
当时，，即，
即当时，的解集为，
因为函数是定义在上的偶函数，由其对称性可知：
当时，的解集为，
所以不等式的解集为.
故选C.
8．【答案】A
【详解】令，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
，
因为，所以，
故选A.
9．【答案】BD
【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，椭圆的长轴长为6，A错误；
对于B，椭圆的离心率为，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，以线段为直径的圆与椭圆有交点，因此存在点，使得，D正确；
故选BD.
10．【答案】ABD
【详解】因为，所以，从而，
因为，所以，A正确；，B正确；
因为，所以，所以为的最大值，C错误；
，令，解得，所以整数的最大值为，D正确.
故选ABD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，如图所示，函数，导函数为，
令，解得，
令，解得，
所以函数在单调递增，在单调递减，
所以.
如图②所示，函数，导函数为，
令，解得，
令，解得，
所以函数在单调递增，在单调递减，
所以,故A正确；
对于B，对任意的，都有，
所以，且，
所以，两边取对数得，
即，
令，且，
所以在上单调递增，
所以，即，
则，
令，即，
令，解得，则在单调递增，
令，解得，则在单调递减，
所以，故B正确；
对于C，因为，如图②所示，
即.
要证，只需证，
因为，所以，且函数在单调递减，
所以只需证，且，
即证，
令，
即，
因为，
又因为。
所以在恒成立，
所以在单调递增，
所以，
即，故，故C错误；
对于D，如图③所示，直线与函数恰有三个交点，
所以，即，
即，且，，
因为，且，
又因为函数在单调递增，
所以，
因为，且，
又因为函数在单调递减，
所以，
所以，
所以成等比数列，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】3
【详解】的解集为，
即的解集为，所以，
解得.
13．【答案】 60 24
【详解】从1，2，3，4，5中任取三个数全排列可得个无重复数字的三位数，
能被3整除的三位数，则数字之和为3的倍数，故有,2,，,3,，,3,，,4,,每组都有种，
根据分步计数原理可得，共有种.
14．【答案】
【详解】令，，当时，，函数此时单调递减；
当时，，函数此时单调递增，所以函数最小值为.
当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于；
当时，，当时，，
所以实数的取值范围为.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，
又平面 ，平面，
所以平面，
因为四边形是梯形， ，又平面 ，平面，
所以平面，
又，平面，故平面平面，
又因为平面，所以平面.
（2）因为，所两两垂直，
故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则有，，，，
所以 ，， ， .
设平面的一个法向量，则有：
，
令，则，所以.
设平面的一个法向量，则有：
，令，则，所以，
设平面与平面的夹角为，则，
因为，所以，
所以平面与平面的夹角的大小为.
16．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以，即数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知：数列的通项公式为，可得，
则，
因为，可得，所以，
即.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：由题意可得，解方程组求出，从而可求出通项公式，方法二：由，得，两式相减可求出公比，再由可求出，从而可求出通项公式，
（2）由（1）得，再利用错位相减法可求得.
【详解】（1）方法一：设等比数列的首项为，公比为.
由，得，即，
解得，
故.
方法二：设等比数列的首项为，公比为.
由，得，
两式相减得，即，得.
由，得，解得.
故.
（2）因为，
所以，①
.②
由①-②得
，
故.
18．【答案】(1)椭圆：，圆：；
(2)（i）证明见详解；（ii）
【详解】（1）由题意，椭圆离心率，点在椭圆上，则，
解得
所以椭圆的方程为
则右顶点，上顶点，直线，
圆心到直线的距离，即圆的半径，
所以圆的方程为.
（2）（i）由题意，当直线的斜率不存在时，因为，所以或.
此时，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.

当直线的斜率存在时，设直线，
由可得，
设，则
因为，即，
化简得.
所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.
综上所述，直线与圆相切.
（ii）由（i）可知，当直线的斜率不存在时，
当直线的斜率存在时，
，
因为，则
综上，
19．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）
由题，，解得
（2）①若，易知在上恒成立，
在是减函数，又，
，不符合题意
②若，令，则，
故时，，又，
时，，不符合题意
③若，易知，故在是增函数，
又，
综上，
（3）由（II）知，，且，
当时，，所以在上是减函数，、
故要证，即证 ，
即，
又 ，所以，
又，代入化简得：，

令，则，即证
设，则
在上是减函数 ，
即