四川省成都市玉林中学2023-2024学年高一下学期4月诊断性评价数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省成都市玉林中学2023-2024学年高一下学期4月诊断性评价数学试题（Word版附解析），文件包含四川省成都市玉林中学2023-2024学年高一下学期4月诊断性评价试题数学试题Word版含解析docx、四川省成都市玉林中学2023-2024学年高一下学期4月诊断性评价试题数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
（时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中，只有一项是正确的．）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据利用两角差的正弦公式计算可得；
【详解】解：∵，
∴
．
故选：C
【点睛】本题考查两差的正弦公式的应用，属于基础题.
2. 如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案.
【详解】由图形可知：
.
故选：B.
3. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】只需判断与是否平行即可.
【详解】对于A，，所以此时与不平行满足题意，故A正确；
对于B，与平行，不满足题意，故B错误；
对于C，，与平行，不满足题意，故C错误；
对于D，，与平行，不满足题意, 故D错误．
故选：A．
4. 在中，角所对的边分别为，若，则三角形一定是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形的性质结合两角和差的正弦公式求得，从而，即可判断三角形形状.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以，所以，
所以为等腰三角形，
故选：C
5. 如图所示，某同学为了测量树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，且A，B两点之间的距离为6 m，则树的高度约为（ ）（）

A. mB. m
C. mD. m
【答案】A
【解析】
【分析】在中，根据正弦定理求得；利用直角三角形求得树高.
【详解】由已知，，
所以在中，，
由正弦定理得：，
则，
所以树高度为．
故选：A.
6. 已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式，再分析在上的图象性质即可得解.
【详解】观察图象知，，函数的周期，，
由，得，而，则，
于是，当时，，
当，即，函数单调递减，函数值从减小到，
当，即时，函数单调递增，函数值从增大到，
显然函数的上的图象关于直线对称，
方程在上有两个不相等实数根，即直线与函数在上的图象有两个公共点，
所以实数m的取值范围是.
故选：B
7. 在中，，M是边的中点，O为的外心，则（ ）
A. 8B. C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可将向量数量积转化到向量上去，再代入数据即可计算得出结论.
【详解】由题意，取的中点为，连接，如下图所示：

易知，；
可得，
又，同理；
所以
故选：B
8. 已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】法一： 先利用平移变换分别得到函数解析式，再根据相位差为求解；法二：利用向左平移和向右平移的单位长度和为函数的周期的整数倍求解.
【详解】法一： 函数（）的图象仅向左平移个单位长度
得到函数的图象，
函数（）的图象仅向右平移个单位长度
得到的图象，
则（），即（），即（），
由于，所以当时，取得最小值，
故选：C．
法二： 函数的最小正周期为，
依题意有（），则（），
由于，所以当时取得最小值，
故选：C．
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知，则下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C. 与的夹角为
D. 在方向上的投影向量是
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量的线性运算及数量积的坐标运算，利用向量垂直的条件及向量的模的坐标公式，结合向量的夹角公式及投影的向量的定义即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，即，故A正确；
因为，所以，
所以，故B错误；
因，
所以，
又因为，所以，故C错误；
因为，
所以在方向上的投影向量是，故D正确.
故选：BC.
10. 已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）

A. B. 的最大值为6
C. D. 满足的点有一个
【答案】B
【解析】
【分析】A选项，得到为等边三角形，根据投影向量的概念进行求解；B选项，作出辅助线，数形结合得到当点与点重合时，取得最大值，利用投影向量的概念求出最大值；C选项，作出辅助线，数形结合得到；D选项，考虑其中一个向量为零向量及垂直关系得到点有2个.
【详解】A选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形，
取的中点，连接，则⊥，
由数量积公式及投影向量可得，A错误；

B选项，过点作平行于，交圆与点，
过点作⊥，交延长线于点，连接，
则四边形为菱形，
由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值，
此时，
故的最大值为，B正确；
C选项，，
因为四边形为菱形，所以，且，
因为为定值，
故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为，
当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为，

故，C错误；
D选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，，
又当⊥时，满足，
故满足的点有2个，D错误.
故选：B
【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
11. 若函数在上为单调函数，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】按照和分类讨论，当时，，其中，根据函数在上单调递减和单调递增列式求解a的范围，然后逐项判断即可.
【详解】当时，在上不单调，故，
当时，，其中，
由，得，
若函数在上单调递减，
则，解得或，
此时；
若函数在上单调递增，
则，解得或，
此时；
综上所述.
因为，所以，故A符合题意，
因为，故BC不符合题意，
因为，故D符合题意.
故选：AD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置．
12. 在中，所对的边分别是，若，则_____．
【答案】
【解析】
【详解】所对的边分别是，若,设
故答案为.
13. 如图，在梯形中，，点是的中点，点在线段上，若，则的值为______.

【答案】##
【解析】
【分析】利用向量运算得，然后利用三点共线列方程求解即可.
【详解】由题意得，，
因为，D，F三点共线，所以，解得.
故答案为：
14. 中，角的对边分别是，，则的取值范围是_________，的取值范围是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】依题意可得，从而得到，再由三角形内角和求出的范围，利用正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式得到，再由余弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，
在中，，故或，
当时，，故，不合要求，舍去，
所以，，
因为，所以，即，
因为，所以，
由正弦定理得，
故
，
因为，所以，
故，
因为，所以，
故，
因为，所以，，，
故．
故答案为：；
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，，，且.
（1）求的值；
（2）求向量与向量夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出的坐标，由向量平行的判断方法可得关于的方程，即可得到结果；
（2）设与的夹角为，由向量夹角公式计算即可得到结果.
【小问1详解】
因为，，，，
则，
因为，则有，解得.
【小问2详解】
可知，，
设与夹角为，
则，
所以，向量与向量夹角的余弦值为.
16. 在中，内角所对的边分别为，向量，且．
（1）求角的大小；
（2）若，
①求面积的最大值；
②求的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可得出，由正弦定理即可得出，根据余弦定理即可求出，从而求得；
（2）①首先得，进一步由余弦定理以及基本不等式得的最大值即可求解；②根据即可求出的外接圆直径为2，根据正弦定理即可得出，而，从而得出，从而求出的范围，即得出的范围．
【小问1详解】
；
；
由正弦定理得，；
；
，且；
；
【小问2详解】
①，
根据余弦定理得：，
即，
，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，即面积的最大值为，
②；
外接圆直径；半径，
，
；
；
，
的取值范围是．
17. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.

（1）求灯柱的高（用表示）；
（2）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式；
（3）求出的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别在、中，应用正弦定理求、，即可得解析式；
（2）根据正弦定理得到，即.
（3）根据计算得到的最小值.
【小问1详解】
由题知，，，
在中，
则，
在中，
则.
所以.
【小问2详解】
由题意，而，
则，
所以，
结合（1）知：.
【小问3详解】
由（2）知，
又，
所以，当，时，.
18. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标．试在该斜坐标系下探究以下问题：
（1）设，求；
（2）已知，，求的值；
（3）已知，，，求的最大值．
【答案】（1）
（2）16 （3）
【解析】
【分析】（1）由题意计算，再代入向量模的公式，即可求解；
（2）由向量的坐标转化为基底表示，再代入数量积公式，即可求解；
（3）由向量的坐标转化为基底表示，再代入数量积公式求模，借助换元法求最值.
【小问1详解】
由题意可知，，，
所以，
；
【小问2详解】
由题知，，
又，，所以，，
所以
．
【小问3详解】
由题意可知，
∴，
由（1）可得：，
令，，
又因为，
且，所以，
，∴，
又因为函数在单调递增，
即：时，函数取到最大值3，
即，则有，
∴当时，的最大值为．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，
（1）若，
①求；
②若，设点为的费马点，求；
（2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
【答案】（1）①；②
（2）.
【解析】
【分析】（1）①利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理来求解；②利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
（2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案.
【小问1详解】
①由正弦定理得，即，
所以，又，
所以；
②由①，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
；
【小问2详解】
因为，
所以，
所以，即，
所以或，
当时，，为直角三角形，
当，
则，
得，在三角形中不可能成立，
所以为的直角三角形，
因为点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.
【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.