四川省成都市玉林中学2024-2025学年高二上学期11月诊断性评价数学试题（Word版附解析）

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数 学
（时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中，只有一项是正确的．）
1. 已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线的方向向量先求出直线的斜率，再求倾斜角即可
【详解】解：因为直线的方向向量为，
所以直线的斜率为，即，
又倾斜角，所以
故选：D
2. 经过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况：过原点和不过原点进行讨论，结合直线的截距式方程解题﹒
【详解】直线经过原点时满足条件，此时直线方程为，即；
若直线不经过原点时满足条件，设直线方程为：，
把点代入可得：，解得．
∴直线方程为：，即．
综上可得满足条件的直线的条数为2．
故选：B
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率可能是0.2
B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C. 数据，，，，，，19，的第百分位数是
D. 若数据，，…，的方差为，则数据，，…，的标准差是
【答案】D
【解析】
【分析】A由题意可得被抽到的概率；B由平均数可得，后由方差计算公式可得方差；C由百分位数概念可得答案；D由方差性质可得新数据的方差及标准差.
【详解】对于A， 由题个体被抽到的概率可能是，故A错误；
对于B，因，，，，的平均数为，
则，
则数据方差为：，故B错误；
对于C，对数据从小到大排序得： ，， ，，19，，，.
因，则第百分位数为第个数据，故C错误；
对于D，因，，…，的方差为，则，，…，的方差为，
标准差为，故D正确.
故选：D
4. 已知圆关于直线对称的圆经过点上，则（ ）
A. 1B. C. 1或D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得圆C关于直线对称的圆的方程，再将点代入求解.
【详解】圆的标准方程为：，
所以其圆心为，半径为
设圆心为关于直线的对称点为，
则，解得，则，
所以对称圆的方程为：，
因为对称圆过点，
所以，
解得或，
故选：C
5. 已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析条件得四点共面，的最小值为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可得到结果.
【详解】由题意得，，
∴，即，
由共面向量定理得，四点共面，即点在平面上，的最小值为点到平面的距离.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
∴，
设平面的法向量为，则，取，
到平面的距离，即的最小值为.
故选：A.
6. 设向量，（x，），满足．则点的轨迹的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意，由椭圆的定义即可求得答案；
【详解】由题意可得，即表示点到的距离和为4，
且，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，
则，
可得点的轨迹的方程为，
故选：C.
7. 如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与互斥，与相互对立
B.
C. 但不满足两两独立
D. 且两两相互独立
【答案】C
【解析】
【分析】明确事件，，所包含的样本点，根据互斥、对立、独立事件的概念判断各选项是否正确.
【详解】因为事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：.
因为事件，都包含样本点2,3，所以，不互斥，故A错误；
因为所含的样本点为：，所以，故B错误；
因为所含的样本点为：，所以，又，所以.
又事件所含的样本点为：，所以，又，
所以，所以事件不独立，即两两独立错误，所以C正确，D错误
故选：C
8. 已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出直线与直线过定点坐标，再可判断直线与直线垂直，即可得到点的轨迹是以为直径的圆，求出轨迹方程，求出以点为圆心，为半径的圆恒过点，即，最后由计算可得.
【详解】直线，即，
令，解得，即直线过定点；
直线，即，
令，解得，即直线过定点；
又，即直线与直线垂直，
所以点的轨迹是以为直径的圆，（挖去点）
故圆心是，半径为，点的方程是（挖去点）；
设，则以点为圆心，为半径的圆的方程为，
因为，则，
所以恒成立，
所以以点为圆心，为半径的圆恒过点，
所以，
所以，
当且仅当在线段与圆的交点时取等号，
即的最小值为.
故选：A
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 若、，直线过且与线段相交，则的斜率
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用两直线垂直求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用两直线平行求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；求出直线斜率的取值范围，利用倾斜角与斜率的关系可判断C选项；数形结合求出直线斜率的取值范围，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直，
则，解得或，
所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错；
对于B选项，若直线与直线互相平行，
则，解得，
所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对；
对于C选项，直线的斜率为，
当时，；当时，.
因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对；
对于D选项，如下图所示：
设线段交轴于点，直线交线段于点，
，，
当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角，
在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为；
当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角，
在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为.
综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对.
故选：BCD.
10. 如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（ ）
A. 该内切球的球的体积为
B. 平面被球截得截面圆的面积为
C. 存在点，使得平面
D. 当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据内切球半径计算表面积判断A；以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法可判断C，应用空间向量法计算点到平面距离计算求出截面面积判断B，确定当为的中点时，过的平面截该正方体所得截面为边长为的正六边形，利用面积公式求面积判断D.
【详解】对于A，根据已知条件球为以为圆心，半径，
内切球的球面体积为 ，A正确；
对于C，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则由题意可得，，，，
设点，其中，
，，，
设平面法向量为n=x,y,z，
则，
令，则y=-1，，
所以为平面的一个法向量，
若存在点，使平面，
只需，因为不成立，所以C错误；
对于B，设平面法向量为，，
则，
令，则，，
所以为平面的法向量，
又因为，
设到平面的距离为，则，
设平面被球截得的截面圆的半径为，
，
所以平面被球截得的截面圆的面积为，B选项正确；
对于D，当为中点时，
过的平面截该正方体所得截面为正六边形，，
在中，，所以边长，
所以截面面积，D正确；
故选：ABD.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点为，，过左焦点斜率存在且不为的直线交椭圆于两点，过的切线为，的中点为，若，则下列说法正确的是（ ）
A. 的离心率为B. 的周长为
C D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由离心率的齐次式可得A正确；由椭圆的定义可得B正确，由当点的横坐标在到之间变化时，可得C错误；由点差法，椭圆的第三定义，椭圆的切线方程的设法可得D正确；
【详解】A，，故A正确；
B，的周长为，
由可得周长为，故B正确；

C，因为，所以，
当与点重合时，，
当点的横坐标为时，，
所以当点的横坐标在到之间变化时，的长度一定有小于的情况，故C错误；
D，设，
因为在椭圆上，所以，
两式相减可得，即，
设过点的切线方程为，则，
，所以，
又，所以，
又，即，代入斜率表达式并结合化简可得，
所以，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是能够用点差法表示以及过点的切线方程的设法为.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置．
12. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的概念求解.
【详解】由.
故答案为：
13. 如图所示，平行六面体中，，．用向量表示向量=________．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算可得结果.
【详解】由题意得，.
故答案为：.
14. 已知过动点向圆作两条相互垂直的切线，记动点的轨迹为曲线，过定点作两条相互垂直的射线交分别为，线段的中点为，则动点的轨迹曲线为________；过点分别作曲线的两条切线，切点为，则的最小值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意，点到点的距离等于长度的一半，可求出点的轨迹方程；过点的切线长越短，越小，可求出最小值.
【详解】可做出如下示意图：

设，在直角中，，在直角中，可得.
代入点坐标得：，
平方去根号，化简得到：；圆心为，半径为，
过圆外一点做切线，可知切线和半径构成一个直角三角形的直角边，两个切点之间的弦的长度为这个直角三角形的高的两倍.
由数量积的定义：，结合下图可以得到结论，

两条切线长度大于圆的半径，即两切线夹角为锐角时，点距离圆心越近，则切线长度越短，且夹角越大，两个向量的数量积越小.
又由题意点和原点以及与圆两个切点构成一个以为半径的正方形，可得到原点距离为，
所以可得曲线：，
所以点到的圆心的距离为，
当且仅当且时等号成立；
此时切线或和圆的半径，点到圆心的连线构成直角三角形，半径为.
所以；
所以切点弦的长度.
由余弦定理，可求出两条切线的夹角的余弦值为，
所以的最小值为，点取在位置时，最小.
故答案为：；4.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可得出，再由，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得直线与平面的夹角的余弦值.
【小问1详解】
在四棱锥中，底面，四边形为正方形，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则A2,0,0、、、，
则，，则，可得，
又因为，，、平面，
所以，平面.
【小问2详解】
由（1）知，平面.
则平面的一个法向量为，，
设为直线与平面所成的角，因此，
而，则，
所以平面直线与平面的夹角的余弦值为.
16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差
【答案】（1）0.030
（2）84 （3）总平均数是62，总方差是23.
【解析】
【分析】（1）利用小矩形的面积之和为1，进行求解；
（2）先判断第75百分位数在，然后列方程可求得结果；
（3）由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可解答.
【小问1详解】
每组小矩形的面积之和为1，
，
；
【小问2详解】
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，
由，
得，故第75百分位数为84；
【小问3详解】
由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，所以；
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为
17. 设点，直线，相交于点，且它们的斜率之积为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若.
（i）当时，求的面积；
（ii）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）(i)；(ii)
【解析】
【分析】（1）设出点的坐标，表示出直线、的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点的轨迹方程；
（2）（i）设，，由余弦定理得，根据公式求的面积；
（ii）设，分别用向量表示，，由题意求的取值范围.
【小问1详解】
设点的坐标为，因为点的坐标是，
所以直线的斜率是，
同理，直线的斜率是，
由已知，有，
化简，得点的轨迹方程是，
点的轨迹是除去，两点的椭圆；
【小问2详解】
（i）设，，
，，
在 中，由余弦定理得：
，
，
（ii）设，则，即，
，，，，
，
，，
.
18. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰．
（1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；
（2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对总次数分三种情况讨论，结合相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【小问1详解】
若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜；
若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
所以；
若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
所以；
记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则，
所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为；
【小问2详解】
若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率；
若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮，
①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则；
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
则；
④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
则；
综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率.
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是分析得甲恰好投了2次篮的所有情况，从而结合独立事件的概率公式即可得解.
19. 已知与轴分别相交于，过点的直线交圆于．
（1）当时，求直线的方程；
（2）当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由；
（3）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段 的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并注明．
【答案】（1）
（2）存在，
（3）与重合，证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，由圆心到直线的距离公式和圆内弦长列方程求解即可；
（2）由三角形面积公式得到，再令，由对勾函数的单调性求出，然后建立如图所示坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，代入空间向量的二面角公式计算即可；
（3）直曲联立表示出韦达定理，再设，，联立两直线方程得到点在定直线上，设然后再联立直线与圆方程得到韦达定理，得到即可；
【小问1详解】
易知直线斜率不为0，设，即，
则圆心到直线的距离，
又 即，
解得，所以直线的方程为，
【小问2详解】
易知直线的斜率不为0，设，即，
由（1），，，又，
化简得，
令，则，
，又 ，
故最大时，由对勾函数的单调性可得，故此时 ，
建立空间直角坐标系，如图，则，，，
，，
设平面的法向量为n1=x1,y1,z1，则，即，
取，则，
设，其中，则，，
设平面的法向量为，则，即，
取，易得，
，解得，，
【小问3详解】
设，
联立，化简得，
，
，
，
设，，
联立，得，
又，代入得，
即点在定直线上，
易得，
联立，化简得，
设，则，
所以，同理，在定直线上，
所以与重合.
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键在于利用直曲联立证明得到点在定直线上，再联立证明，得到在定直线上.