2025-2026学年四川省成都市玉林中学高二上学期10月诊断性评价数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年四川省成都市玉林中学高二上学期10月诊断性评价数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z满足z2-i=i(i是虚数单位)，则在复平面内z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行了一次航天知识竞赛，随机抽取获得了6名同学的分数(满分30分)分别为：22，24，26，26，28，30，关于这组数据，下列说法错误的是( )
A. 极差为8B. 平均数为26C. 众数为26D. 80％分位数为27
3.在空间直角坐标系中，B(-1,2,3)关于x轴的对称点为点B'，若点C(1,1,-2)关于Oxz平面的对称点为点C'，则B'C'=( )
A. 2B. 6C. 14D. 30
4.某学校有教师300人，男学生1200人，女学生900人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知抽取的男生比女生多6人，则n的值为( )
A. 56B. 52C. 48D. 44
5.已知直线l的方向向量为m=(2,-1,3)，平面α的法向量为n=-4,2x2,6x，若l⊥α，则x的值为( )
A. -1B. 1或-1C. 3D. 1
6.“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一､二个“完全数和28，进一步研究发现后续三个完全数分别为496，8128，3550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为( )
A. 35B. 25C. 15D. 45
7.如图，已知三棱锥A-BCD的每条棱的长度都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则EF⋅EG=( )
A. 14B. 12C. 22D. 1
8.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱BB1，CC1的中点，G是棱B1C1上的一个动点，M为侧面BB1C1C上的动点，则下列说法错误的是( )
A. 点G到平面AEF的距离为定值
B. 直线AG与平面AEF所成角的正弦值的取值范围为 1515, 1010
C. 若A1G=xA1A+yA1E+zA1D1，且x+y+z=1，则点G到直线AF的距离为 173
D. 若D1M⊥MC，则BM的最小值为2
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，则( )
A. 向量AB与AC是共线向量
B. AB⊥AC
C. 与AB方向相同的单位向量为2 55, 55,0
D. 平面ABC的一个法向量为(1,-2,5)
10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
11.已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为s12，平均数x1：去掉的两个数据的方差为s22，平均数x2；原样本数据的方差为s2，平均数x，若x1=x2，则( )
A. 剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变
B. x=x1
C. 剩下18个数据的22％分位数大于原样本数据的22％分位数
D. 10s2=9s12+s22
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.复数z=2-ii的虚部为 ．
13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为 ．
14.设空间两个单位向量OA=(a,b,0),OB=(0,b,c)与向量OC=(1,1,1)的夹角都等于π3，则cs∠AOB= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知空间中三点A(2,0,-2)，B(1,-1,-2)，C(3,0,-4)，设a→=AB→，b→=AC→．
(1)求cs的值；
(2)已知向量ka→+b→与b→互相垂直，求k的值．
16.在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛(五局三胜制)，其中每局中甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，每局比赛都是相互独立的．
(1)求比赛只需打三局的概率；
(2)已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率．
17.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共5个.若从中抽取一球，得到红球或黄球的概率是35，得到红球或蓝球的概率是45．
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)将这5个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5.现从盒中一次性任取两球，设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于7则甲胜，否则乙胜.试从获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平．
18.某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准x(千瓦时)；月用电量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用电情况进行了一次调研，并将参与调查的居民的用电情况绘制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值，并且计算居民用电的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；
(2)若该地区市政府希望使85%的居民每月的用电量不超过标准x(千瓦时)，估计x的值；(结果保留整数)
(3)设居民用电的平均数为x，若按居民用电量是否在区间x-m,x+m(m>0)内进行比例分配的分层随机抽样，抽取100位居民进行深度调研，用电量在区间x-m,x+m内的抽取50人，试求m的值．
19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD,PD=DC=2AD=2,E是PC的中点．
(1)证明：PA//平面EDB；
(2)求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值；
(3)在棱PB上是否存在一点F，使直线EF与平面EDB所成角的正弦值为 63，若存在，求出线段BF的长；若不存在，说明理由．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.C
5.A
6.A
7.A
8.D
9.BCD
10.B
11.ABD
12.2

14.4± 158
15.【详解】(1)因为A(2,0,-2)，B(1,-1,-2)，C(3,0,-4)，
所以a→=AB→=(-1,-1,0)，b→=AC→=(1,0,-2)，
所以cs=-1 2× 5=- 1010
(2)ka→+b→=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k,-k,-2)，
因为向量ka→+b→与b→互相垂直，
所以ka→+b→⋅b→=(1-k)×1+(-k)×0+(-2)×(-2)=0，
解得k=5．
所以k的值是5．

16.【详解】(1)设事件A=“甲前三局都获胜”，事件B=“乙前三局都获胜”，
则P(A)=23×23×23=827，
P(B)=13×13×13=127，
比赛只需打三局的概率为：
P=P(A∪B)=P(A)+P(B)=827+127=13．
(2)甲需要打三局的概率为：P1=23，
甲需要打四局的概率为：P2=13×23=29，
甲需要打五局的概率为：P3=13×13×23=227，
则甲最终获胜的概率为：P=P1+P2+P3=23+29+227=2627．

17.【详解】(1)设盒中红球m个，黄球n个，则篮球(5-m-n)个，
由题意：m+n5=35m+5-m-n5=45⇒m=2n=1．
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2，1，2．
(2)红球的编号为1，2，黄球的编号为3，篮球的编号为4，5．
因为从盒中一次性任取两球，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个样本点，
根据规则，甲获胜的样本点有：(1,3),(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，共6个样本点，
所以甲获胜的概率为P1=610=35，
从而乙获胜的概率为：P2=25．
因为P1≠P2，所以这个游戏不公平．

18.【详解】(1)根据频率分布直方图可知，(0.0030+0.0020+a+0.0010+0.0005+0.0010+0.0010)×100=1，
解得a=0.0015．
那么居民用电的平均数为：
x=100×(0.0005×50+0.0010×150+0.0010×250+0.0020×350+0.0030×450+0.0015×550+0.0010×650)=395千瓦时．
(2)由频率分布直方图可知，用电量在[0,500)的累计频率为
(0.0005+0.0010+0.0010+0.0020+0.0030)×100=0.75，
用电量在[0,600)的累计频率为
(0.0005+0.0010+0.0010+0.0020+0.0030+0.0015)×100=0.90，
因为0.75