宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024−2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024−2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，则的子集的个数为（ ）
A．8B．7C．4D．3
2．一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ）
A．没有白球B．至多有2个黑球
C．至少有2个白球D．至少有2个黑球
3．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．20B．16C．7D．2
5．某校学生中有40%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，60%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（ ）
A．0.4B．0.9C．0.8D．0.75
6．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．若则（ ）
A．B．C．D．
8．老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A．248种B．168种C．360种D．210种
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的有（ ）
A．若随机变量X的数学期望，则
B．若随机变量Y的方差
C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为，则服从二项分布
D．从7男3女共10名学生干部中随机选取5名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
11．已知，则（ ）
A．的展开式中的常数项是56
B．的展开式中的各项系数之和为0
C．的展开式中的二项式系数最大值是70
D．的展开式中不含的项
三、填空题（本大题共3小题）
12．展开式中第4项的系数是 .
13．曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为
14．某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有 种．（结果用数字表示）
四、解答题（本大题共5小题）
15．近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？
(2)为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望.
参考公式：，.
16．某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
(1)求乙恰好答对两个问题的概率；
(2)请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由
17．2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率.
(1)若只取1块，求它是由B队所采的概率；
(2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望；
(3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？
18．在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长.
19．已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.
参考答案
1．【答案】A
【详解】集合或，，
，
中元素的个数为3，子集个数为
故选A.
2．【答案】B
【详解】表示任取5个球中，有2个黑球的概率，
表示任取5个球中，有1个黑球的概率
表示任取5个球中，没有黑球的概率
所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率．
故选B．
3．【答案】C
【详解】由回归直线的斜率的估计值为1.23，
设回归直线方程为，代入 ，
，解得： ，
回归直线方程是.
故选C
4．【答案】C
【详解】由题意得成等差数列，
故，即，
解得.
故选C
5．【答案】D
【详解】同时爱好羽毛球和乒乓球的概率为：0.4+0.5-0.6=0.3，
设“该同学爱好羽毛球”为事件A，“该同学爱好乒乓球”为事件B.
则,,
所以.
故选D.
6．【答案】C
【详解】由奇函数求得参数，然后计算导函数，得切线斜率，写出切线方程．
【详解】定义域是，
∵上奇函数，∴，即，∴，．
，，，又，
∴切线方程是，即，
故选C．
7．【答案】B
【详解】因为，
令得， ①，
令得， ②，
①②得，，
所以.
故选B
8．【答案】D
【详解】根据题意进行分类：
第一类：甲、乙、丙每人分得2本，（种）；
第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3本，（种）.
所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法．
故选D.
9．【答案】ABCD
【详解】对于选项A：因为，故A正确；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确；
对于选项D：根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确.
故选ABCD.
10．【答案】BCD
【分析】根据方差的性质即可判断A；根据百分位数计算公式即可判断B；根据决定系数的概念即可判断C；根据非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D.
【详解】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误；
对B：，则其第80百分位数是，故B正确；
对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，
则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】BC
【详解】二项展开式通项公式为，
，，常数项为，A错；
，，第6项是含的项，D错；
令得所有项系数和，B正确；
，因此二项式系数的最大值为，C正确．
故选BC．
12．【答案】
【详解】展开式的通项为，
所以的展开式中第4项系数是.
13．【答案】/0.25
【详解】所以，
∴曲线在点处的切线斜率，
∴切线方程：，
切线与坐标轴交点为，
∴封闭图形的面积：.
14．【答案】
【详解】先分类讨论人员分组情况：
当张三､李四､王五所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有210种方法；
当张三､李四､王五所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有种方法；
当张三､李四､王五所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，有种方法；
当张三､李四､王五所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，有种方法．
再将三组人员分配到三个镇：
因为这三组分配到三个地区有种方法，
所以安排方法总数为．
15．【答案】(1)认为购买AI手机与顾客的性别有关；
(2)答案见解析
【详解】（1），所以可以认为购买AI手机与顾客的性别有关.
（2）根据题意可能取值为：
；
；
；
；
；
的分布列为
的期望.
16．【答案】(1)；
(2)选择投票给学生甲；理由见解析．
【详解】（1）由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则，
则乙恰好答对两个问题的概率为：.
（2）令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为，
则所有可能的取值为，
则；；．
所以．
由题意，随机变量，所以．
又，．
所以，，
可见，乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，
所以选择投票给学生甲．
17．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)不能，建议见解析
【详解】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块
中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的.
因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5，
所以若只取1块，它是B队所采的概率为.
（2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响，
即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取.
设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的，
与（1）同理可求得若只取1块，则，
由B，C两队所采的概率为.
依题意可知的取值为0，1，2，且.
所以，，，
所以的分布列为：
数学期望.
（3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，.
所以，，.
又
，即今年冰块的利用率约为0.67.
可见，今年冰块的利用率比往年提升了约.
但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著，
可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，1
【详解】（1）如图，取的中点，连接，，
因为，，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以且，
又因为且，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，，
所以，所以，
因为平面，，
所以平面，所以，，两两垂直，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则令得，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以，
所以二面角的正弦值为；
（3）假设在棱存在点，使得直线与所成角的余弦值为，
设，则，又，
所以，即，
所以，解得或（舍去），
因此适合条件的点存在，且线段的长为1.
19．【答案】(1)
(2)
(3)，证明见解析
【详解】（1）因为，所以.
所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，
所以，解得..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，
所以在（0，+∞）上恒成立.
即恒成立.，即，
令，所以，
时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即.
（3）
定义域为
当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意.
当时，
在（0，）上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
函数存在两个零点的必要条件是，
即，又，
所以在（1，）上存在一个零点（）.
当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点，
综上函数有两个零点，实数a的取值范围是.
不妨设两个零点
由，所以，
所以，所以，
要证，
只需证，
只需证，
由，
只需证，
只需证，
只需证，
令，只需证，
令，
，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴，
即成立，
所以成立.购买AI手机
购买不带AI的手机
总计
男性顾客
40
70
110
女性顾客
60
30
90
总计
100
100
200
0.010
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
P