江西省宜春市宜春中学、高安二中2024−2025学年高二下学期4月联考 数学试题（含解析）

这是一份江西省宜春市宜春中学、高安二中2024−2025学年高二下学期4月联考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知是等比数列，，则公比等于（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（ ）
A．2B．1C．－1D．－2
4．某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如表：
若对的线性回归方程为，则的值为（ ）
A．56.5B．58C．60D．62.5
5．在等差数列中，前项之和为，最后项之和为，前项之和是，则项数为（ ）
A．B．C．D．
6．五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有（ ）
A．240种B．192种C．144种D．48种
7．设是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，设，若构成一个公差为等差数列，则椭圆的离心率为（ ）

A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为
B．当时，椭圆的离心率为
C．当时，的周长为
D．若椭圆的离心率为，则的面积的最大值是
10．已知数列的前项和为，下列说法正确的有（ ）
A．若，则；
B．若数列是等差数列且，则当时，取得最大值；
C．若数列是等比数列，则成等比数列；
D．若数列是等差数列，则.
11．如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的四个面都是直角三角形
B．三棱锥的体积最大值为
C．当时，异面直线与夹角的余弦值为
D．当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中的常数项是10，则 .
13．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为
14．已知数列的前项和为则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．求下列函数的导数.
(1)
(2)
(3)
16．如图，有直三棱柱.
(1)证明：；
(2)求二面角平面角的正弦值.
17．已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的两点，为坐标原点，
（i）求边上的中线所在方程；
（ii）直线的斜率之积为，直线的方程.
18．已知数列的前项和为，数列满足且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
(3)令，求数列的前项和.
19．在排列组合的学习中，我们会遇到一类涂色问题“圆环涂色”问题（如图一）：用种颜色给有个区域（不含最中间区域）的圆环涂色，且要求相邻区域不同色，用表示完成这一涂色的方法数

图一 图二
(1)当时，求
(2)当时，找出的关系，并求出的通项公式.
(3)用种颜色给图二中个区域（含最中间区域）涂色，要求相邻区域不同色，求方法总数.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由等比数列的性质可知，，得.
故选C.
2．【答案】A
【详解】因为，
所以，又，
所以，
故选A.
3．【答案】D
【详解】由题意，，所以.
故选D.
4．【答案】C
【详解】由表格数据知：，，
由线性回归方程为，
，解得.
故选C.
5．【答案】B
【详解】记数列的前项和为，
因为，
上述两个等式相加可得，
由等差数列的性质可得，可得，
由等差数列的求和公式可得，解得.
故选B.
6．【答案】B
【分析】农场主站在中间，先考虑女生所站位置，采用捆绑法，再考虑男生的位置，利用排列知识进行求解.
【详解】2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；
第二步：相邻女生排在一起有种；
第三步：4名男生排在剩下的位置有种.
因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法.
故选：B.
7．【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，由，得，
则，，
，，
所以.
故选D.
8．【答案】B
【详解】由椭圆的定义，，，
，即，
，解得，
，
设椭圆的半焦距为，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由，
，即，
解得，即，
所以椭圆的离心率.
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】由题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，

对于A，椭圆的焦点坐标为，故 A正确；
对于B，当时，，离心率，故 B错误；
对于C，当时，，则的周长为，故 C正确；
对于D，由椭圆的离心率为，得，解得，
设，则的面积，
当，即点在短轴的顶点时，取得最大值，故 D正确.
故选ACD.
10．【答案】BD
【详解】解：对于A中，因为，当时，，
两式相减，可得，
当时，，不满足，所以，所以A不正确；
对于B中，因为，且，则公差，
由，得到，即，
所以，故当时，取得最大值，所以B正确，
对于C中，取，则数列为等比数列，且首项为，公比为，
当为偶数时，，此时不成等比数列，所以C错误，
对于D中，因为数列是等差数列，
则，所以D正确.
故选BD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，四边形为正方形，为直角三角形；
为直径，为半圆弧上一动点，，为直角三角形；
平面平面，平面平面，平面，，
平面，平面，，为直角三角形；
平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面，平面，，为直角三角形；
因此，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A正确；
对于B，过点在平面内作于点，
平面平面，平面平面，平面，
平面，为三棱锥的高，
三棱锥的体积
的面积为定值，
当最大时，三棱锥的体积最大，此时点为半圆弧的中点，，
三棱锥体积的最大值为，故B错误；
取中点，中点，中点，
连接，则，，
所以异面直线与的夹角为或其补角，
且，又，
则，，
则，又，
则，
在中，由余弦定理可得
，
则异面直线与夹角的余弦值为，故C正确；
对于D，由B选项解析知，平面，为在平面内的射影，
为直线与平面所成角，
当直线与平面所成角最大时，取最小值，
以为原点，建立空间直角坐标系如图，设，，，则
在直角三角形内，，即，
，，，，，
，.
当且仅当，即时，取最小值，直线与平面所成角最大，
此时，
，，三点均为四棱锥的顶点，
平面截四棱锥外接球的截面为的外接圆面，
直角三角形外接圆半径，
截面面积，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】二项式展开式的通项为，
由，得，于是，
所以.
13．【答案】
【详解】设动点的坐标为，
则点到直线的距离，
设，求导得，
由，得，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值为，即的值域为，因此，
所以当时，点到直线的距离的最小值为.
14．【答案】
【详解】由，，
可得数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；
偶数项是以2为首项，公比为2的等比数列．
对任意正整数k，；．
数列的通项公式．
则

，．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题知面，又面，
所以，又面，
所以面，又面，
所以，又，
所以四边形是正方形，
得到，又面，
所以平面，又面，
所以；
（2）如图，建立空间直角坐标系，
因为，
则，
得到，
设平面的法向量为，
则，令，
则，所以平面的法向量为，
同理平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则
，从而二面角的正弦值为.
17．【答案】(1)
(2)（i）（ii）
【详解】（1）双曲线的焦点到渐近线的距离为，则，
而，，解得，
所以双曲线的标准方程为
（2）（i）设，直线的方程为，
由消去并整理得，显然，
，边的中点，
所以边上的中线所在方程为.
（ii）由（i）知，
则，
由直线的斜率之积为，得，即，而，解得，
所以直线的方程为
18．【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1），当时，，
当时，，即.
是以为首项，为公比的等比数列，所以
由题设，易知是以1为首项，公差为的等差数列，
（2）由题知
，
，
两式相减得
，
；
（3），
所以.
19．【答案】(1)；
(2)，；
(3).
【详解】（1）由题意，用3种颜色给有4个区域的圆环涂色，要求相邻区域不同色，
先给涂色，有种方法，
接下来，若与同色，则有2种涂色方法，即种；若与不同色，则都只有1种涂色方法，
所以，.
（2）先考虑的取值：
假设不区分是否同色，则用种颜色涂这个区域等价于对以下区域涂色：
因此共有 种，但是这其中包含了同色的情况；因此的取值应该减去同色的情况；
而同色时，可以将这两个相邻区域看成一个整体，即则用种颜色给个区域涂色，
其方法数也就是，所以有：
接下来，利用递推关系求，
由，两边同除以得：，
移项得：
利用累加法：
，又因为，
所以 ，
所以，
（3）先给中间的区域涂色，共有种方法，接下来就是用剩下的种颜色涂含有个区域的“圆环涂色问题”，即（2）中的，
所以方法总数为
工作时间
2
4
5
6
8
工资
30
40
50
70