江西省宜春中学2024-2025学年高二下学期开学诊断考试 数学试题（含解析）

这是一份江西省宜春中学2024-2025学年高二下学期开学诊断考试 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据坐标平面内投影点坐标的特点可得结果.
【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为.
故选：D
2. 已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方向向量写出直线斜率，再由点斜式写出直线方程.
【详解】由l的一个方向向量为，则其斜率为，
所以直线l的方程为，则.
故选：C
3. 已知正项数列满足，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】首先对已知等式进行变形，得到数列的性质，判断出它是等差数列，然后根据等差数列的通项公式以及已知的来逐步求出的值.
【详解】已知，等式两边同时除以（因为是正项数列，），
可得.这表明数列是公差为的等差数列.
已知，那么.
对于等差数列，其通项公式为（为公差），这里.
当时，.
把代入上式，可得，解得.
故选：A.
4. 体育课的排球发球项目考试的规则是每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的均值，则p的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求解X的均值，然后根据可得p的取值范围.
【详解】由题意X的所有取值1,2,3.
，，，
即，解得或（舍），
所以p的取值范围是.
故选：A.
5. 若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形可得，再利用基本不等式可得答案.
【详解】圆化为标准方程为，
所以圆心坐标为，半径为，
可得圆心到直线的距离为，
若直线被圆截得的弦长为2，
则，整理得，即，
又，所以
，
当且仅当即时等号成立，
则的最小值为2.
故选：C.
6. 已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的性质，即可求解.
【详解】由等差数列的性质可知，
所以
故选：C
7. 如图，长方体中，，点为平面上一动点，若，则点的轨迹为（ ）
A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 圆
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间角的向量法结合空间向量的坐标运算可求得的轨迹方程，进而根据方程判定轨迹类型.
【详解】如图，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，.
由题可设，则向量，向量，
所以，即.
将上式两边同时平方可得，即.
则，即.
所以.故轨迹为双曲线的一支.
故选：C.
8. 若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂直关系写出过点F的直线AB的方程，分别联立直线AB与两渐近线的方程求出点A、B的横坐标，由知，从而得，带入、可得a、c的关系式，化简方程即可求得离心率.
【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为：，
设过点与渐近线垂直的方程为，
由，得，
由，得，
因为，所以，则，
所以，化简得，即，
解得（舍去）或，则.
故选：D
【点睛】与斜率为k的直线垂直的直线斜率为.
二、多选题：本题共3小题，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列的首项为
B. 数列的通项公式为
C. 数列为递减数列
D. 数列为递增数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用的关系式，分类讨论与两种情况，求得，从而得解.
【详解】对于A，因为，
所以当时，，知A正确；
对于B，当时，，
当时，也满足上式，故数列的通项公式为，故B正确；
对于CD，，
所以数列为递减数列，故C正确，D错误.
故选：ABC.
10. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 已知事件相互独立，，，则
B. 已知随机变量，若，则
C. 已知随机变量，若，则
D. 已知，，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式和概率加法公式判断A；利用正态分布的对称性判断B，利用二项分布的方差公式和方差的性质判断C，利用全概率公式判断D.
【详解】选项A：因为事件相互独立，，，
所以，，A说法错误；
选项B：因为随机变量，，
又因，所以，，B说法正确；
选项C：由解得，
又因为随机变量，所以，解得，C说法正确；
选项D：因为，所以，
所以，D说法正确；
故选：BCD
11. 椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为，．一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为4，且椭圆的离心率为，上顶点为，定点，点为椭圆上的动点，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，，下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的标准方程为B. 的最大值为
C. 的最小值为3D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知条件可求的值，进而可得椭圆的标准方程，即可判断选项A；设，利用两点距离公式，建立关于的函数关系式，从而求得的最大值，即可判断选项B；利用椭圆的定义将转化为，再利用三点共线取得最小值，即可判断选项C；根据光学性质得到Q点的轨迹方程，再利用点到直线距离的几何意义求解，即可判断选项D.
【详解】
对于选项A，由题意可知，，即，
又，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为，故A正确；
对于选项B，因为，设，且，
则，
所以的最大值为，故B错误；
对于选项C，因为，
当且仅当三点共线时等号成立，取到最小值，
由，，，
所以，
所以的最小值为3，故C正确；
对于选项D，设切点为，由椭圆的光学性质可知，三点共线，
所以，
所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，
则表示点到直线距离的倍，
圆心到直线距离为，
所以点到直线距离最大值为，最大值为，
所以的取值范围为,故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为__________（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中和的系数，即可得的展开式中的系数.
【详解】的展开式的通项式
当时，,
当时，,
的展开式中含的系数为.
故答案为：.
13. 已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】过点P作垂直于准线，易知当三点共线时，的周长最小，即可求解．
【详解】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线，
由题可知，的周长为，
又，
易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为．
故答案为：
14. 在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点、，其中、，利用空间向量共面可得出，然后二次函数的基本性质结合空间向量数量积的坐标运算可求得的最小值.
【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点、，其中、，
易知、，则，，，
因为、、共面，则存在、，使得，
即，解得，所以，，即，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记为等差数列的前n项和，已知，
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，，求通项公式.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）设数列的公差，利用等差数列的基本量运算求得，即可求得通项；
（2）利用累加法即可求出时，，检验符合，即得通项.
【1详解】
设等差数列的公差为d，
因为，，
解得，，
故的通项公式为；
【2详解】
由题意，可得，
当时，
，
当时，也成立，
所以的通项公式为
16. 圆心在直线上的圆与轴的负半轴相切，圆截轴所得弦的长为.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，求切线的方程；
（3）若圆上恰好有3个点到直线的距离为1，求的值.
【答案】（1）；
（2）或；
（3）或.
【解析】
【分析】（1）设圆心，则，结合弦长公式求出的值即可求出圆的方程；
（2）由题意结合圆的标准方程可知圆心到直线的距离，按斜率是否存在分情况讨论圆心到的距离，即可解出切线方程；
（3）由题意可得圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式列式求解即可.
【1详解】
因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心，
因为圆与轴的负半轴相切，所以，半径，
又圆截轴所得弦的长为，所以，解得，
所以圆的圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
【2详解】
由（1）可知圆的圆心，半径，
因为与圆相切，所以圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离符合题意，
当直线斜率存在时，设斜率为，则，即，
此时圆心到直线的距离，解得，
此时方程为，
综上切线的方程为或.
【3详解】
因为圆上恰好有3个点到直线的距离为1，
所以直线分割圆为一段优弧和一段劣弧，
在劣弧上有且仅有一个点到直线的距离为1，且该点为劣弧的中点，
所以圆心到直线的距离为1，
即，解得或.
17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，二面角的大小为，点为线段上一点.
（1）证明：平面平面.
（2）若，求四棱锥的体积.
（3）点为线段上一动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）取的中点，利用二面角的定义及余弦定理推理证得，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理得证.
（2）由（1）结合锥体体积公式计算得解.
（3）以为原点建立空间直线坐标系，利用空间向量求出线面角正弦的函数关系，再求出函数最大值即可.
【1详解】
设的中点分别为，连接，
由，得，由，得，
正方形中，，则二面角的平面角为，
由余弦定理，得，
，则，由，平面，
得平面，而平面，因此，又，
平面，于平面，而平面，
所以平面平面．
【2详解】
由（1）知，四棱锥的高为，点在线段上，且，
则点到平面的距离是点到平面距离的，
所以四棱锥的体积为．
【3详解】
由（1）知，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，设，
，设平面的法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成的角为，则
，
当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦的最大值为.
18. 某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛：
①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号；
②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个问题的概率均为．两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影响．
（1）求甲没有获得“智慧星”称号的概率；
（2）求乙获得“智慧星”称号的概率．
（3）记事件“乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”，求事件发生的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）获得“智慧星”，没获得“智慧星”为对立事件，先考虑求获得“智慧星”的概率，根据对立事件概率求法即可得解；
（2）设乙答对的问题数为，则服从二项分布，由题意需求即可；
（3）甲可能答对个，据此分类讨论求解.
【1详解】
设甲获得“智慧星”称号的事件为，
根据独立事件的乘法公式，，
于是，
即甲没有获得“智慧星”称号的概率是；
【2详解】
设乙答对的问题数为，则，
由题意，乙获得智慧星的概率为
【3详解】
由于乙最多题，甲最多题，当乙比甲多对题时，甲可能答对题
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
故
19. 已知椭圆的焦距为，离心率为，左，右顶点分别为，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，若点是椭圆上的一点，求的最小值；
（3）已知直线的斜率存在，且与椭圆交于，两点（，与，不重合），直线斜率为，直线斜率为，若，请问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）过定点，定点坐标为
【解析】
【分析】（1）可根据焦距和离心率求出、的值；
（2）可设出点坐标，根据两点间距离公式结合椭圆方程和二次函数求解；
（3）可设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合已知条件求解.
【1详解】
由题意，，
所以，，，
所以椭圆标准方程为；
【2详解】
设，则有，
，，
当时，最小值为，
所以最小值为；
【3详解】
连接，设直线斜率为，，，

，
因为，所以，
设直线为，
联立，可得，
即，
所以，，
因为，
所以，
即，
即，
化简得，
解得或（舍去），
所以直线的方程为，
所以存在定点，定点为．
【点睛】方法点睛：处理圆锥曲线直线过定点问题，常用方法有：
特殊值法：先通过特殊情况确定定点可能的位置，比如取斜率为或不存在时，求出两条直线交点，再验证一般情况直线是否过此点.
直线方程变形法：设出直线方程，将其整理成关于参数的表达式，令参数的系数为，解方程组得到定点坐标.像本题设直线为，经计算得到与关系后，把直线方程变形为，令，就求出定点.
韦达定理法：联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再结合已知条件找出参数关系，进而确定定点.