上海市金山区2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份上海市金山区2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了填空题.，单选题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则 .
【答案】
【解析】由题意可得.
2. 函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】由有意义，则，即，故定义域为.
3. 函数的严格增区间为，则实数 .
【答案】2
【解析】函数的严格增区间为，对称轴.
4. 用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 .
【答案】已知是偶数，则n是奇数
【解析】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”，
可得题设为，“（a，）为偶数，
反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数.
5. 将化为有理数指数幂的形式为 .
【答案】
【解析】由题意.
6. 已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为 .
【答案】
【解析】点在幂函数的图像上，
，解得，的表达式为.
7. 若一元二次方程两实数根为，则 .
【答案】
【解析】因为一元二次方程两实数根为，
所以，，所以.
8. 设，，用a，b表示的结果为 .
【答案】
【解析】.
9. 若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在上的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意知，当时，当时取到最小值，
则由奇偶性可知函数在上的最大值为.
10. 已知等式恒成立，则 .
【答案】1
【解析】因为恒成立，
所以恒成立，
所以，解得，，，所以.
11. 甲、乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为 .
【答案】或
【解析】原方程可变形为：
甲写错了，得到根为及，；
又乙写错了常数，得到根为及，；
原方程为，即，
或，或.
12. 集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素.
【答案】9
【解析】设A中的数从小到大排列为，
则； ；；
；，于是A至少有8个数；
假设A恰好有8个元素，由于；故必须有，，
又，同理，
但此时，，矛盾，故A不可能恰好有8个元素，
因此A至少有9个元素.
其9个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100.
二、单选题.
13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【解析】A.的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
B. 的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，故B错误；
C. 的定义域为，的定义域为，故C错误；
D.两个函数的定义域都是，，函数的解析式也相同，所以是同一函数，故D正确.
故选：D.
14. 已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”的（ ）条件.
A．充分而不必要B．必要而不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】因为、都是自然数，若是偶数，则、都是偶数或、都是奇数，
所以，“是偶数”“、都是偶数”，
“是偶数”“、都是偶数”，
故“是偶数”是“、都是偶数”的必要而不充分条件.
故选：B.
15. 当时，关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】时，，
不等式可化为，
因为，且，所以，，
解原不等式，得，
所以原不等式的解集为.
故选：C.
16. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，
设的图象与函数的图象关于原点对称，
令，则，所以，
所以，
因为，又，
所以函数的图象存在“隐对称点”等价于与在上有交点，
即方程有零点，则，
又，
当且仅当，即等号成立，所以.
故选：.
三、解答题.
17. 设全集为，集合，.
（1）求集合、；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）由得，解得，则，
由可得，等价于，
解得，则.
（2）因为，则，解得，因此，实数的取值范围是.
18. （1）已知a，b是实数.求证：，并指出等号成立的条件；
（2）已知a，b是实数，若，求ab的最大值，并指出此时a，b的值.
解：（1）因为，
所以，
当且仅当，时，不等式中等号成立.
（2），所以的最大值为.
当且仅当，即时，不等式中等号成立.
19. 甲同学认为：一艘船在静水中和有流速的河中往返航行同样的距离，平均速度是一样的.他的理由是：当河水有流速时，船逆流上行虽然速度要减慢，但回来时顺流而下的速度要加快，二者相互补偿，航行速度就应和静水中往返一次所需的时间一样，所以两者平均速度一样.
为了探究此问题，乙同学提出如下模型假设：
①假设船在航行过程中，船在静水中航行的速度和河水的速度不发生改变，且船在静水中航行的速度大于河水的速度；
②假设船在水中的航行速度只受船在静水中航行的速度和河水的速度影响；
③假设河是笔直的，且船往返航行的路径相同.
（1）乙同学提出的模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由；
（2）请引入你认为所需要的适当变量，建立船在静水中和有流速的河中往返航行同样的距离的平均速度的数学模型，并说明甲同学的观点是否正确.
解：（1）乙同学提出的模型假设①，②，③是合理的.
模型假设①符合实际情况，船在静水中的速度和河水的速度通常相对稳定.
模型假设②符合物理学原理，船在水中的航行速度受船在静水中的速度和河水的速度影响.
模型假设③符合实际情况.
（2）设船在静水中的速度为，河水的速度为，往返距离为s.
在静水中，平均速度为，
在有流速的河中，逆流速度为，顺流速度为，平均速度为.
由于，因此，即船中有流速的河中往返航行的平均速度小于在静水中往返航行的平均速度.
所以甲同学的观点是错误的.
20. 已知，函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，当时，，求函数的最小值；
（3）当且时，关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围.
解：（1）依题意，由，得，则，，解得，
所以不等式的解集为.
（2）由题意知，
由，得，所以函数在区间上单调递增，
所以，则，
所以函数的最小值为.
（3）由，
得①，化简得②，
当且时，方程②的解为，，
若是方程①的解，则，解得；
若是方程①的解，则，解得；
由题意，方程①的解集中恰好有一个元素，所以.
因此，a的取值范围为.
21. 已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质.
（1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围；
（3）若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值.
解：（1）因为函数是增函数，所以值域，
当时，函数在区间上单调递减，所以值域，
因为不是的子集，所以函数在区间上不具有性质.
（2）①当时，函数，
此时函数在区间上单调递减，所以值域为，
又，函数在上单调递减，所以值域为，
此时，，，不符合，故舍去；
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以值域为，
又函数在上的值域为，
此时，，，不符合，故舍去；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以值域为，
又函数在上的值域为，
此时，，，因为，
所以，解得，
因此，a的取值范围为.
（3）由题意得，的值域为，即，
的对称轴，且开口向下，
①当时，在上单调递减，又，，
则值域为，由，得，
解得，不满足，故舍去；
②当时，在上单调递增，又，，
则值域为，由，得，
解得，不满足，故舍去；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，又，，
（i）当，即时，的值域，
由，得，解得，，符合题意；
（ii）当，即时，的值域，
由，得，解得，所以符合题意，
综上所述，t的取值为，.