2021-2022学年上海市金山中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市金山中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．在等比数列中，，则（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】B

【分析】利用等比中项化简计算即得解.

【详解】解：由题得.

故选：B

2．已知函数的图象如图所示．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由五点法列出方程组，结合的范围求解即可.

【详解】由图可知，解得.

故选：B

3．已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件可知向量在方向上数量投影为，令，将恒成立转化为恒成立，利用即可求出参数的取值范围，结果即为所求.

【详解】解：已知菱形的边长为1，则向量在方向上数量投影为，

若恒成立，则恒成立，

，

，

令，则，即，

要使恒成立，

则，解得，

即向量在方向上数量投影的取值范围是，

故选：C.

4．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到，结合余弦定理整理得，从而求得.

【详解】依题意，作出图形，

因为点是的重心，所以是的中点，故，

由已知得，

因为，所以，

又因为点是的重心，所以，则，

又因为，所以，则，

又由余弦定理得，所以，整理得，

因为，令，则，

所以，

则.

故选：D.

.

二、填空题

5．已知复数，则_____．

【答案】##-i+1

【分析】根据共轭复数的概念求解即可.

【详解】解：复数，则.

故答案为：.

6．已知，则______．

【答案】##0.2

【分析】根据三角函数诱导公式直接求解即可.

【详解】解：因为，所以.

故答案为：.

7．已知单位向量满足，则向量的夹角为______．

【答案】##

【分析】根据向量数量积的公式即可求出向量的夹角.

【详解】解：已知为单位向量，则，

，

，

故答案为：.

8．已知向量，若，则_____．

【答案】或3

【分析】先求出的坐标，再解方程即得解.

【详解】解：由题得，

因为，所以或3.

故答案为：2或3.

9．已知角终边上一点，则值为_____．

【答案】

【分析】利用三角函数的定义求得，再利用正切的和差公式即可求得.

【详解】因为角终边上一点，

所以，

所以.

故答案为：.

10．记为等差数列的前项和，若，，则_____．

【答案】

【分析】根据等差数列的性质求出，再根据其通项即可得出.

【详解】解：等差数列中，，，

所以，且，

即，

所以，

解得，

所以，

故答案为：9.

11．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点所在区域的面积为_____．

【答案】

【分析】设，由题意可得，根据复数模的几何意义得出区域形状为圆环，再计算面积即可．

【详解】设，，

因为，所以，

所以，

所以复平面内复数对应的点所在区域是圆和圆围成的圆环，

故所求区域面积.

故答案为：.

12．已知向量满足的夹角为，则的值是_____．

【答案】

【分析】由数量积及运算性质，利用列方程求解即可.

【详解】，即，即，解得或（舍）.

故答案为：3.

13．已知函数，对于任意，都有成立，则_____．

【答案】##

【分析】对于任意，都有成立,则是的最大值，由两角和的正弦公式化简函数式，由正弦函数的最大值求得，再计算其正弦值．

【详解】,

对于任意，都有成立,则是的最大值,

所以，，，，

．

故答案为：．

14．已知数列是公比为无穷等比数列，若，则的取值范围是____．

【答案】

【分析】根据无穷等比数列的求和公式和已知条件可得与的关系，再由的范围，即可求出的取值范围.

【详解】由题意可得，

因为，

所以，

所以，

因为或，

所以或，

即的取值范围为，

故答案为：.

15．记的内角的对边分别为，已知的面积为S，且，则______．

【答案】

【分析】由数量积定义、三角形面积公式可将条件等式化简得，结合正弦定理可得，结合范围即可求解.

【详解】，则，

由正弦定理得，

故 ，∵，∴，∵，∴.

故答案为：

16．已知数列的前项和为，且，设函数，则_____．

【答案】

【分析】由与的关系求出数列的通项公式，结合诱导公式即可化简求值.

【详解】当时，，又符合上式，故.

.

故答案为：1011

三、解答题

17．已知向量．

(1)若，求；

(2)若，求函数的单调增区间．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由列方程化简可求得结果；

（2）由向量的数量积运算结合三角函数恒等变换公式可得，由可求出函数的增区间.

【详解】（1）因为，且，

所以，

由上式可知，

所以；

（2），

令，得，

所以函数的单调增区间为．

18．已知复数为虚数单位．

(1)若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值；

(2)若为实数，求的值．

【答案】(1)或；

(2)

【分析】（1）由题意可知和为方程的两个复数根，然后根据根与系数的关系列方程可求出的值；

（2）先化简，然后使其虚部为零，从而可求出的值．

【详解】（1）若是关于的实系数方程的一个复数根，

则，所以，

所以，

所以或；

（2）由题意得为实数，

所以，所以．

19．记的内角的对边分别为，已知．

(1)求角A的大小；

(2)若，，当的周长最小时，求的值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）已知，由正弦定理角化边，在利用余弦定理即可得，即可求出角A；

（2）已知，利用余弦定理可得，则可求出的周长为，由于，利用均值不等式即可求出周长的最小值，及此时的b值.

【详解】（1）解：由正弦定理，得，

所以，即，

又，所以.

（2）解：由余弦定理得，把代入，整理得，

因为，所以的周长为

，

当且仅当，即时取等号，

所以当的周长最小时，．

20．如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．

(1)延长交于点Q（图1），求的值；

(2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．

（i）求证为定值；

（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．

【答案】(1)

(2)（i）证明见解析；（ii）.

【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值；

（2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可.

【详解】（1）依题意，因为，

所以，

因为是线段的中点，所以，

设，则有，

因为三点共线，所以，解得，

即，所以，所以；

（2）（i）根据题意,

同理可得：，

由（1）可知，，

所以，

因为三点共线，所以，

化简得，

即为定值，且定值为3；

（ii）根据题意，，

，

所以，

由（i）可知，则，

所以，

易知，当时，有最小值，此时.

21．设数列满足.

(1)求证：数列为等比数列；

(2)若数列满足，是否存在实数，使得数列是单调递增数列?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

(3)对于大于2的正整数（其中），若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

(3)

【分析】（1）根据题意，结合递推公式以及等比数列定义，即可求证；

（2）根据题意，通过对进行讨论，结合作差法，即可求解；

（3）根据题意，分别对、、三个数不同排序进行讨论，即可求解.

【详解】（1）证明：根据题意，由，

得，即，

又，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列.

（2）依题意，

则.

若存在，则对恒成立.

①当奇数时，，其中当时，，故；

②当为偶数时，，其中当时，，故.

综上所述，存在实数，使得数列是单调递增数列.

（3）由（1）知，、、这三项经适当排序后能构成等差数列，

①若，则，∴，

又，∴，∴；

②若，则，∴，

左边为偶数，右边为奇数，∴不成立；

③若，同理也不成立.

综合①②③得，.