2024-2025学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2024-2025学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷 （含解析），共14页。
1．（4分）已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为 ．
2．（4分）集合，，，，若，则 ．
3．（4分）已知指数函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ．
4．（4分）若为第四象限角，且，则的值是 ．
5．（4分）已知幂函数的图象过点，则 ．
6．（4分）已知“若，则 “为真命题，则实数的取值范围是 ．
7．（5分）已知，则 （用表示）．
8．（5分）已知，若不等式恒成立，则的取值范围为 ．
9．（5分）已知函数是偶函数，则实数的值为 ．
10．（5分）已知且，，则实数的取值范围是 ．
11．（5分）已知正实数，满足，则的最小值为 ．
12．（5分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．其中，为实数，且．若对任意，恒成立，求实数的取值范围 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．（4分）如果，那么下列不等式错误的是
A．B．C．D．
14．（4分）下列函数中，在上既是奇函数又是减函数的是
A．B．C．D．
15．（5分）设集合，集合，．若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
16．（5分）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且或（其中正整数、且．现有如下两个命题：①；②集合，．则下列判断正确的是
A．①对②对B．①对②错C．①错②对D．①错②错
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．（15分）已知集合，，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围．
18．（15分）已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于的方程有两个不相等的正实数根、，求的取值范围和的取值范围．
19．（15分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为（米秒），且，时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，，．
（1）请写出报警距离（米与车速（米秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米小时？
20．（15分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求的值域．
（Ⅱ）若在上单调递增，求实数的取值范围．
（Ⅲ）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点．若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围．
21．（18分）已知函数其中，是非空数集，且，设，，，．
（Ⅰ）若，，，求；
（Ⅱ）是否存在实数，使得，，且，？若存在，请求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若，且，，是单调递增函数，求集合，．
参考答案
一．选择题（共4小题）
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分。
1．（4分）已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为 3 ．
解：因为扇形的弧长为，面积为，
所以扇形的面积，
解得．
故答案为：3．
2．（4分）集合，，，，若，则 ，1， ．
解：集合，，，，，
则，
故，1，．
故答案为：，1，．
3．（4分）已知指数函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ．
解：指数函数在上是严格增函数，
则，解得，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
4．（4分）若为第四象限角，且，则的值是 ．
解：因为，为第四象限角，
所以，
所以．
故答案为：．
5．（4分）已知幂函数的图象过点，则 4 ．
解：由题意令，由于图象过点，
得，
故答案为：4．
6．（4分）已知“若，则 “为真命题，则实数的取值范围是 ， ．
解：命题“若，则”是真命题，
则，能推出”成立，
转换成，能推出成立，
即，能推出或成立，
即，能推出成立，
由不等式端点和简易逻辑关系可得，，
则实数的取值范围是：，
故答案为：，．
7．（5分）已知，则 （用表示）．
解：，
，
故答案为：．
8．（5分）已知，若不等式恒成立，则的取值范围为 ．
解：不等式恒成立，等价于，
又，当且仅当时取等号，
所以的取值范围是．
故答案为：．
9．（5分）已知函数是偶函数，则实数的值为 ．
解：根据题意，函数是偶函数，
则，即，
变形可得：，
必有．
故答案为：．
10．（5分）已知且，，则实数的取值范围是 ．
解：由题意可知，，是函数两个大于1的不同零点，
所以，即，解得，
故的取值范围为．
11．（5分）已知正实数，满足，则的最小值为 8 ．
解：因为正实数，满足，
则，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值8．
故答案为：8．
12．（5分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．其中，为实数，且．若对任意，恒成立，求实数的取值范围 ．
解：因为函数为奇函数，当时，，
所以，解得，
当时，，，
画出上的函数的图象，
是由向右平移1个单位得到，
结合图象，要想恒成立，
只需，解得，
又，故，
所以的取值范围为．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．（4分）如果，那么下列不等式错误的是
A．B．C．D．
解：．，，正确．
．，，正确；
．时，，因此不正确；
．，，正确．
故选：．
14．（4分）下列函数中，在上既是奇函数又是减函数的是
A．B．C．D．
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，为反比例函数，在其定义域上不是减函数，不符合题意；
对于，，有，解可得，即函数的定义域为，不是上的奇函数，不符合题意；
对于，，在上既是奇函数又是减函数，符合题意；
对于，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
故选：．
15．（5分）设集合，集合，．若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
解：由，得：或．
由，得：．
所以，或，，．
因为，所以，则且小于0．
由中恰含有一个整数，所以．
即，也就是．
解①得：，解②得：．
所以，满足中恰含有一个整数的实数的取值范围是．
故选：．
16．（5分）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且或（其中正整数、且．现有如下两个命题：①；②集合，．则下列判断正确的是
A．①对②对B．①对②错C．①错②对D．①错②错
解：因为若，则当且仅当（其中，且，或（其中，，，且，
且集合是由某些正整数组成的集合，
所以，，
因为，满足（其中，，，且，所以，
因为，且，，所以，
因为，，，所以，故①对；
下面讨论元素与集合的关系，
当时，；
当时，，，，所以；
当时，，，，所以；
当时，，，，所以；依次类推，
当时，，，，
所以，则，，故②对．
故选：．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．（15分）已知集合，，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围．
解：（1）集合，，，
，
或，
解得或，
即实数的取值范围，，；
（2） “”是“”的必要非充分条件，
，
集合，，，
（等号不能同时取到），
解得，
即实数的取值范围为，．
18．（15分）已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于的方程有两个不相等的正实数根、，求的取值范围和的取值范围．
解：（1）当时，由，解得或，
不等式的解集为，，．
（2）由题意可得，，解得，
因为，
因为，则，故．
故的取值范围为．
19．（15分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为（米秒），且，时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，，．
（1）请写出报警距离（米与车速（米秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米小时？
解：（1）由题意得，
所以，
当时，，
则（秒，
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒．
（2）根据题意要求对于任意，，恒成立，
即对于任意，，，
即恒成立，
由，，得，
所以，
即，
解得，
又，
所以，
故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在30千米小时．
20．（15分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求的值域．
（Ⅱ）若在上单调递增，求实数的取值范围．
（Ⅲ）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点．若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，，
令，则，，
所以的值域为，；
（Ⅱ）令，，则，，
因为在上单调递增，
所以要使在上单调递增，
只需在上单调递增，
①当时，在上单调递减，不符合题意；
②当时，的图象开口向下，对称轴为，不符合题意；
③当时，则需，解得，
所以实数的取值范围是；
（Ⅲ）因为是的图象的局部对称点，
可得，，
代入整理得，①
令，则，，
代入①式得，，
当时，函数和均单调递增，
所以在，上单调递增，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为．
21．（18分）已知函数其中，是非空数集，且，设，，，．
（Ⅰ）若，，，求；
（Ⅱ）是否存在实数，使得，，且，？若存在，请求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若，且，，是单调递增函数，求集合，．
解：，，，，，，
，，，，，．
，
（Ⅱ）若，则，，不符合要求
，从而
，
，得
若，则
，的原象且
，得，与前提矛盾
此时可取，，，，，满足题意
（Ⅲ）是单调递增函数，对任意，有，
，同理可证：
若存在，使得，则，
于是，
记，，
，，同理可知，，
由，得；
对于任意，，取，中的自然数，则
，
，
综上所述，满足要求的，必有如下表示：
，，，，，其中
或者，，，，，其中
或者，，
或者，，
阶段
0．准备
1．人的反应
2．系统反应
3．制动
时间
秒
秒
距离
米
米
题号
13
14
15
16
答案
C
C
B
A
阶段
0．准备
1．人的反应
2．系统反应
3．制动
时间
秒
秒
距离
米
米