云南省德宏州2024-2025学年高一上学期期末教学质量统一监测数学试题（解析版）

这是一份云南省德宏州2024-2025学年高一上学期期末教学质量统一监测数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2. 已知集合，，则等于（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由，即，解得，
所以，
又，所以.
故选：D.
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，即；
又因为，可得，即；
且，即；
综上所述：.
故选：A.
4. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，则，
又，，
而
.
故选：D.
5. 等式成立的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
两边平方得：，
所以，即，
所以等式成立的充要条件是.
故选：B.
6. 北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神州十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神州十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（ ）
（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，所以，
即，计算得，即，
解得，所以燃料质量约为.
故选：C．
7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】构建，其图象开口向上，对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，且在定义域内单调递增，
则函数在区间上单调递增，
且在内恒成立，
可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且.若对，，且，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】构建，
可知的定义域为，
且，
所以函数为奇函数，
因为，，整理可得，
则函数在内单调递增，可知在内单调递增，
又因为，则，
当时，；当时，；
所以不等式，即的解集为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，由A选项知，，，所以，故C错误；
对于D，，
因为，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD.
10. 定义：，用表示的最大者，记为.若，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数的周期为
B. 函数值域为
C. 函数的图象关于直线对称
D. 若函数在区间内有且仅有个零点，则
【答案】CD
【解析】令，即，
即，
解得；
令，即，
即，
解得；
所以，
则的图象如下所示：
所函数的最小正周期为，故A错误；
函数的值域为，故B错误；
函数图象关于直线对称，故C正确；
若函数在区间内有且仅有个零点，则，解得，故D正确.
故选：CD.
11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 为上的奇函数
B. 在定义域内单调递增
C. 不等式的解集为
D. 若函数，则有且仅有2个零点
【答案】ABC
【解析】对于选项A：由题意可知：的定义域为，
且，
即，所以函数为上的奇函数，故A正确；
对于选项B：因为在定义域内单调递增，可知在定义域内单调递增，
所以在定义域内单调递增，故B正确；
对于选项C：因为，则，
可得，则，解得，
所以不等式的解集为，故C正确；
对于选项D：令，解得或，
即或，解得，
所以有且仅有1个零点，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“”的否定是__________.
【答案】
【解析】命题“”的否定是“”.
13. 若，则__________.
【答案】
【解析】因为，所以.
14. 已知函数.若函数有4个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】函数有4个不同的零点，即为有4个不等实根，
作出的图象，因为，所以，
可得时，与的图象有4个交点，
所以，即得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算：；
（2）已知，求的值.
解：（1）原式.
（2），且，，
，原式.
16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）当时，求的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明.
解：（1）当时，则，
又因为为奇函数，则，
所以当时，.
（2）函数在单调递增，
证明如下：当时，，
对任意的且，
，
因为且，则，
所以，即，
所以函数在单调递增.
17. 已知关于的不等式的解集为，集合.
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
解：（1）由题意知，1和是方程的两个实数根，且，
得，解得，
是的充分不必要条件，
是的真子集，而，
，解得，
故的取值范围为.
（2）由（1）可得：，
所以，当且仅当时，
取得最小值为，此时.
依题意有，即，
整理得，解得，
所以取值范围为.
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期及的值；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线与函数的图象分别交于，两点，求的最大值.
解：（1）由题意可得：，
所以的最小正周期为；.
（2）将函数图象的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到，
再向左平移个单位长度得到函数.
（3）由题意可知：两点的坐标为，
可得
，
因为，则，可得，
所以在时的最大值为.
19. 已知函数的图象经过点，且图象中任意一条对称轴和其相邻的对称中心之间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，证明：函数的图象关于点对称；
（3）已知函数，若在区间内共有8个零点，，求的取值范围以及的值.
解：（1）由题意可得：，
所以.
（2）证法一：由题设及（1）可知：，
，
，
，
所以，函数的图象关于点对称.
证法二：由（1）知，
令，可证为奇函数，其图象关于对称.
而，所以将的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象，
可知函数的图象关于点对称.
（3）令，可得方程，
由的性质知，要使函数与在区间内共有8个交点，
则.
函数的对称轴方程为，其在区间内有7条对称轴，
分别是，
.