云南省保山市2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试题（解析版）

这是一份云南省保山市2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在的圆的半径为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】设这条弧所在的圆的半径为，
，又圆心角所对的弧长为，
所以，解得.
故选：B.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，且，
所以，则.
故选：C.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知可得，解得且，
所以函数的定义域是.
故选：A.
4. 为了得到函数的图象．只需把函数的图象上所有的点（ ）
A. 向左平行移动个单位长度
B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度
D. 向右平行移动个单位长度
【答案】C
【解析】因为，所以把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度即可．
故选：C.
5. 已知，，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，
则，而，则，
所以的大小关系是.
故选：C.
6. 某市GDP的年平均增长率为，按此增长率，大约经过年后该市GDP会翻一番，则为（参考值，）（ ）
A. 14B. 16C. 18D. 20
【答案】A
【解析】设某市原有GDP为，经过年后该市GDP会翻一番为，
由年平均增长率为，可得，
所以，两边取自然对数得，
所以，代入参考值得.
故选：A.
7. 已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为函数在区间上至少有3个零点，
所以，解得，所以的取值范围是.
故选：C.
8. ，用表示，中的较小者，记为，若，，则函数的最大值为（ ）
A. B. 6C. D. 3
【答案】D
【解析】①当时，，，
由，可得，
解得，又，所以，
所以当时，，所以，
当时，，所以，
②当时，由，可得，
解得，又，所以，
所以当时，，所以，
当时，，所以，
综上所述：，
当时，，所以，所以，
当时，，
当，，
综上所述：，所以函数的最大值为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列判断正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】因为，所以的终边在一，二象限，
当的终边在一象限时，，
当的终边在二象限时，，故A错误；
由，可得，
所以，解得，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：BD.
10. 如图，在以为直径的半圆中，是圆心，是垂直于的半径，是直径上与不重合的任意一点，交半圆于点，于点，设，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由题意得：，所以，故选项A正确，
在中，由勾股定理得：，故选项B正确，
，故选项C错误，
，故选项D正确.
故选：ABD.
11. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A. 函数，图象关于原点对称
B. 设，，则有
C. 函数，的值域为
D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】对于A：当时，，当时，，
即点，都在函数的图象上，它们关于原点不对称，
则函数图象关于原点不对称，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C：由取整函数的定义知，，则，
因此函数，的值域为，故C正确；
对于D：由，得，解得，
而，则，因此，不等式的解集为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：______．
【答案】
【解析】.
13. 已知，，则______．
【答案】
【解析】由可得，
平方可得，即，
化简可得，
即，解得或，
其中，则，
当时，（舍），
当时，，所以.
14. 已知函数是定义域为的偶函数，且，并满足，则______．
【答案】0
【解析】由函数是定义域为的偶函数，得，
而不恒为0，则，，
又，则，即，
因此，函数是周期为4的周期函数，
由，得，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求，；
（2）判断函数的奇偶性并证明．
解：（1）函数，则，.
（2）函数是偶函数.
当时，，，
当时，，，
而，
因此，所以函数是偶函数.
16. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
解：（1）函数
，
所以的最小正周期；
由，得，
所以的单调递减区间是.
（2）当时，，则当，即时，取得最小值，
所以的最小值为，取得最小值时的集合为.
17. 已知函数．
（1）在图中画出函数的图象；
（2）设，若函数有两个零点，求实数的取值范围．
解：（1）作出函数的图象，并沿轴负方向平移2个单位得的图象，
再将所得的图象在轴下方部分沿轴翻折到轴上方与在轴上方的图象，
合在一起得的图象，如图中实线：
（2）由，得，由函数有两个零点，
得直线与的图象有两个交点，
由（1）知，，解得或，
所以实数的取值范围是或.
18. 数控机床（Cmputer Numerical Cntrl Machine Tls，简称CNC机床）是一种通过计算机程序控制，具有高精度、高效率的自动化机床，广泛应用于机械制造、汽车制造、航空制造等领域．某机床厂今年年初用50万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，，单位：年）之间满足函数关系式为：．该机床每年的生产总收入为24万元．设使用年后数控机床的盈利额为万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）．
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利？
（3）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对该机床的处理方案有两种：
第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；
第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出．
以总获利为选取方案的依据，研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．（总获利盈利额机床剩余价值）
（参考数据：，，，，）
解：（1）由盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，可得：
.
（2）令，即，即，
对于方程，由求根公式可得，
又，则，
，所以不等式的解为，
且，所以从第3年开始盈利.
（3）第一方案：对于，对称轴为，
当时，（万元），
此时机床剩余价值为，
总获利为（万元）；
第二方案：年平均盈利额为，
其中，
当且仅当时，即时，等号成立，
且，则或，
当时，（万元），
当时，（万元），
所以时，年平均盈利额最大，此时盈利额（万元），
机床剩余价值为（万元），
总获利为（万元），
因为，所以第一方案较为合理.
19. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数）．
（1）求的值；
（2）证明：两角和的双曲余弦公式；
（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由题意，
.
（2）因为左边
右边.
所以.
（3）由题意可知在上恒成立，
整理得在上恒成立，
令，则，
令，因为，所以，
所以，所以，所以，
因为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
故，即的取值范围为.