山东省聊城市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份山东省聊城市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则集合中所含元素的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】因为集合，，
所以.
故选：D.
2. 命题“所有的素数都不能被2整除”的否定为（ ）
A. 所有的素数都能被2整除B. 所有的合数都不能被2整除
C. 存在一个素数能被2整除D. 存在一个素数不能被2整除
【答案】C
【解析】命题“所有的素数都不能被2整除”的否定为：存在一个素数能被2整除.
故选：C.
3. 已知，则（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】B
【解析】因为，所以，则，
故.
故选：B.
4. 若扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. 6D. 3
【答案】C
【解析】由题意知，扇形的半径为，所以扇形的面积为.
故选：C.
5. 已知函数则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据题意，当时，，
所以“”是“”的充分条件，
反之，若，即或，解得或，
所以“”是“”的不必要条件，则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知集合，则下列是从集合到集合的函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于选项A：定义域为，不满足函数的特性：任意性，故A错误；
对于选项B：值域为，当取集合A中元素0时，集合B中没有元素与之对应，不满足任意性；故选项B错误；
对于选项C：值域为实数集R，当取集合A中元素为负值时，集合B中没有元素与之对应，故选项C错误；
对于选项D：满足函数的定义，故选项D正确.
故选：D.
7. 已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以恒成立等价于恒成立，
又，当且仅当时取等号，故.
故选：A.
8. 已知函数在上的最小值为2，则在上的（ ）
A. 最小值为2 B. 最大值为 C. 最小值为6 D. 最大值为
【答案】D
【解析】，
令，
∵，即为奇函数，
当时，，∴，
∴当时，，∴.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】对于选项A：，故选项A错误；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C：，故选项C正确；
对于选项D：，故选项D错误.
故选：BC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数
B. 当时，
C. ，使
D. 在上单调递增
【答案】ABD
【解析】A：的定义域为R，且，所以为奇函数，故A正确；
B：当时，，故B正确；
C：，
又在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减.
若，则，由，得，即，
这与矛盾，所以不存在，故C错误；
D：因为为R上的奇函数，所以.
由选项C知，在上单调递增.
当时，，所以在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】根据题意，，
，
对于A，，A正确；
对于B，，
因为，所以等号不成立，即，B错误；
对于C，由，
，，则，
由
，
可得，C正确；
对于D，由于，，
所以，，则，，且，
由于为减函数，所以，
由于为增函数，所以，
所以，即，则，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点，若这两点中有且只有一点在幂函数的图象上，则的解析式可以为______．（写出一个满足条件的的解析式即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】由点，且这两点中有且只有一点在幂函数的图象上，
可取幂函数，
验证如下：点不在函数图象上，点在函数图象上，且函数为幂函数，满足题意.（答案不唯一）
13. 已知为第三象限角，且，则的值为______．
【答案】
【解析】因为为第三象限角，所以，
所以，
则，
又，所以，解得，
又，所以.
14. 已知函数，用表示中的较小者，记为，若函数的最大值小于1，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】当时，函数的草图如下图所示：
由图易知，此时函数的最大值为0，满足函数的最大值小于1，符合题意.
时，函数的草图如下图所示：
由图易知，此时函数的最大值小于1，符合题意.
当时，函数的草图如下图所示：
由图易知，此时函数的最大值等于1，不符合题意.
当时，函数的草图如下图所示：
由图易知，此时函数的最大值等于1，不符合题意.
综上所述，满足题意的实数的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）当时，集合，
即，，所以，故.
（2）若，则，
又，，
所以或，解得：或，
故实数取值范围为.
16. 已知函数是定义域为的偶函数，且时，．
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集．
解：（1）由题意知，当时，，
所以，又，所以，
得的解析式为.
（2）当时，，
又函数在上单调递减，所以在上单调递减，
由，得，
则，解得，
即不等式的解集为.
17. 已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为．
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的值．
解：（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，所以，
所以，
又
，
将，代入可得.
（2）由三角函数定义得，因为，
且，又为锐角，故，
所以，即，
因为，
又，所以，
所以.
故.
18. 已知某车厘子收购市场在过去的30天内对车厘子的日收购量（单位：百斤）与第天之间的函数关系为①；②；③这三种函数模型中的一个，且部分数据如下表：
（1）请确定的解析式，并说明理由；
（2）若第天平均每斤车厘子收购价格为（单位：元），且（，且），记过去30天内第天该市场收购车厘子的资金总额为（单位：百元），求的最小值．
解：（1）将表格中数据代入关系①中，
得到，此方程无解，舍去；
将表格中数据代入关系②中，
得到，解得，故方程为，
经验证，也符合上式，故函数解析式为；
由表格数据知，函数应该先增后减，不满足③；
综上所述：.
（2）因为，，故，
当时，，
因为，当且仅当时取等号，
所以；
当时，，
在区间上单调递减，故，
因为，所以
19. 已知函数在区间上有意义，若存在，且，使成立，则称为上的“可分函数”，为在上的“可分点”．
（1）设，证明：定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”；
（2）若存在，使为函数在上的“可分点”，求实数的取值范围；
（3）若，判断函数是否为上的“可分函数”？若是，判断满足条件的的个数；若不是，说明理由．
解：（1）由函数是上奇函数，得，，，
当，且时，，
因此函数是区间上的“可分函数”，
所以定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”.
（2）由为函数在上的“可分点”，得，
即，则，
令，由，得且，于是有不等于1的正根，
当时，，解得，此时方程另一根为，不符合题意；
当时，，符合题意，因此；
当且时，而，则，即，
解得或，因此，或，或；
当时，，而当时，，且时，，
有不等于1的正根，符合题意，因此，
所以实数的取值范围是.
（3）令，由，
得，
当时，函数单调递减，在上单调递减，
则函数在上单调递增，又单调递增，
因此在上单调递增，，
则存在唯一，使得，即存在唯一，使，
所以函数是上的“可分函数”，且满足条件的只有1个.