江西省抚州市金溪县第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份江西省抚州市金溪县第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了考查范围等内容，欢迎下载使用。
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．考查范围：选择性必修第一册第一章至第五章占，第六章、第七章占，选择性必修第二册第一章至第二章第三节占.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
2. 已知数列满足，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 已知数列满足，则其前10项和（ ）
A B. C. D.
4. 物理学上定义线密度为单位长度上的质量．某直鱼竿的总长度为6米，设为鱼竿上一点到鱼钩的距离（单位：米），表示该点到鱼钩这一整段鱼竿的质量（单位：克），则该鱼竿在处的线密度为（ ）
A. 8克每米B. 16克每米C. 24克每米D. 32克每米
5. 某超市有3种足量的水果，现某一买家想要买5个水果，且每种水果至少1个，则不同的买法种数为（ ）
A. 3B. 6C. 12D. 15
6. 细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（ ）
A. B. 0.596C. D. 0.206
7. 已知随机变量，，且，则（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
8. 设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，其中点A位于第一象限，当l斜率为正时，x轴上存在三点D，E，H满足，，，则（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 电动汽车产业是我国的优势新型产业之一．某款电动汽车在一次上路测试中，速度（单位：千米每小时）关于运行时间（单位：分钟）的关系可以用函数表示，则（ ）
A. 该车速度在前分钟内的平均变化率为
B. 该车速度的瞬时变化率逐渐减小
C. 该车速度在第分钟瞬时变化率为
D. 可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度
10. 化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度pH值时会造成一定的误差，甲组的实验数据误差和乙组的实验数据误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，则（ ）
A.
B. 甲组的实验数据误差相对于乙组更集中
C.
D.
11. 记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A.
B. 不存在正整数，对于任意的正整数，均有
C.
D. 对于任意的正整数，均有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等比数列中，是方程两个根，则______．
13. 记为数列的前项和，已知，且为公差为2的等差数列，则______．
14. 已知数列满足，现从中随机抽取两个不同项，则这两项之和为3的倍数的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知函数．
（1）求的导函数；
（2）求在处的切线方程．
16. 某高中开设“四季农耕”的劳动教育课程，课程包括播种和田间管理．学校对选择了这两类课程的学生人数分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有几项缺失，已知有的男生选择了播种课，统计表格如下．
（1）补全表格，并判断是否有的把握认为不同劳动教育课程的选择与性别有关；
（2）学校为了调研学生课程完成率是否存在与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数，现给出以下两种数据处理方式：①，②，已知随机调查了6名同学课程的完成率如下表，用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显．（数据处理方式的偏差系数越大，对大偏差数据的存在体现越明显）
附，．
17. 已知正项数列的前项和满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18. 如图，三棱锥中，，，，为棱的中点，点满足．
（1）证明：平面平面；
（2）当时．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．
19. 已知数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）现固定的值且，以为变量（且），设数列，求；
（3）在第（2）问的基础上，设数列，固定的值且满足，求取何值时，取得最大值．（结果用含的表达式表达）
江西省2024－2025学年第二学期期中统一检测
高二数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．考查范围：选择性必修第一册第一章至第五章占，第六章、第七章占，选择性必修第二册第一章至第二章第三节占.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的定义即可求解.
【详解】由题意有．
故选：C．
2. 已知数列满足，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推关系计算即可.
【详解】令可得，；令可得，．
故选：C．
3. 已知数列满足，则其前10项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】由列项相消法求和即可.
【详解】由题意可得，
故．
故选：D．
4. 物理学上定义线密度为单位长度上的质量．某直鱼竿的总长度为6米，设为鱼竿上一点到鱼钩的距离（单位：米），表示该点到鱼钩这一整段鱼竿的质量（单位：克），则该鱼竿在处的线密度为（ ）
A. 8克每米B. 16克每米C. 24克每米D. 32克每米
【答案】D
【解析】
【分析】据定义，线密度为单位长度上的质量，但点到鱼钩这一整段鱼竿的质量是非线性的，则当线的长度趋近于0时的质量即为线密度，故求极限值即可.
【详解】根据题设，可知鱼竿在处的线密度为，
所以鱼竿在处的线密度为．
故选：D．
5. 某超市有3种足量的水果，现某一买家想要买5个水果，且每种水果至少1个，则不同的买法种数为（ ）
A. 3B. 6C. 12D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】按照分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.
【详解】若3种水果按分配，有3种买法；
若3种水果按分配，有3种买法，
故共有6种买法．
故选：B．
6. 细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（ ）
A. B. 0.596C. D. 0.206
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，求出，从而可求得线性回归方程，给两边取对数化简，对照回归方程可求得答案.
【详解】由题意得，解得，
因此，
由两边取对数，得，
又，所以，即．
故选：A．
7. 已知随机变量，，且，则（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】利用服从二项分布结合已知可得，可求得，进而利用二项分布期望与方差公式求得期望与方差，结俣期望与方差的性质求解即可.
【详解】易得，，由，
得，即，由知，
故，，，
而，，
故．
故选：C．
8. 设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，其中点A位于第一象限，当l斜率为正时，x轴上存在三点D，E，H满足，，，则（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
分析】用设而不求法，然后联立抛物线和直线方程，用韦达定理表示计算即可.
【详解】如图，设l：，，，
联立得，所以，，
所以，依题意，，所以．
而，，所以．因为，，
所以，则，所以.
故选：B．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 电动汽车产业是我国的优势新型产业之一．某款电动汽车在一次上路测试中，速度（单位：千米每小时）关于运行时间（单位：分钟）的关系可以用函数表示，则（ ）
A. 该车速度在前分钟内的平均变化率为
B. 该车速度的瞬时变化率逐渐减小
C. 该车速度在第分钟的瞬时变化率为
D. 可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平均变化率定义可判断A选项；求出瞬时变化率的表达式，结合一次函数的单调性可判断B选项；求出的值，可判断C选项；利用瞬时速度的概念可判断D选项.
【详解】函数在上的平均变化率为，故A正确；
该车速度的瞬时变化率即，
所以该车速度的瞬时变化率逐渐增大，故B错误；
由，故当时，，故C错误；
函数在时的瞬时速度为，
在现实生活中，可以用很小的近似替代，而D中，符合条件，
可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度，故D正确．
故选：AD．
10. 化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度pH值时会造成一定的误差，甲组的实验数据误差和乙组的实验数据误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，则（ ）
A.
B. 甲组的实验数据误差相对于乙组更集中
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由正态分布密度函数曲线的图象及性质可判断A，B；利用正态分布密度函数曲线的对称性以及原则即可判断C，D.
【详解】对于A，B，由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大，
反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小，
对于两个小组的误差，甲组的标准差，乙组的标准差，
显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据误差相对乙组更集中，故A，B正确；
对于C,，，
，故C正确；
对于D，，
，
而对于任何正态分布都有，
故，故D错误．
故选：ABC．
11. 记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A.
B. 不存在正整数，对于任意的正整数，均有
C.
D. 对于任意的正整数，均有
【答案】ABD
【解析】
【分析】分别写出数列和数列的前三项，求出或，分别验证可判断A；判断数列是否存在唯一的最大值可判断B；令，利用裂项相消法可求出可判断C和D.
【详解】对于A，因为为等差数列，取前3项知成等差数列，即，
因为为等比数列，取前3项知成等比数列，即．
代入得，等价于，
也即，所以或．
若，那么，所以，
此时不为等比数列，所以不符合题意，
若，则，得，
检验得为等差数列，为等比数列，故A正确；
对于B，也就是验证数列是否存在唯一最大值，
令，解得，令，解得，当时，，．
所以，即最大值不唯一，因此不存在符合题意的正整数，故B正确；
对于C， ．
记，注意到．
所以，，
故，故C错误；
对于D，由C知，对于任意的正整数，均有，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等比数列中，是方程的两个根，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据韦达定理及等比中项的性质即可求解.
【详解】由韦达定理可得，由等比数列的性质可得．
故答案为：8.
13. 记为数列的前项和，已知，且为公差为2的等差数列，则______．
【答案】####
【解析】
【分析】根据等差数列的定义及与的关系可得，利用构造法可得，即是公比为、首项为的等比数列，根据等比数列的通项公式计算即可求解.
【详解】由题意可得，
故，而，
则是公比为、首项为的等比数列，
故，即．
故答案为：.
14. 已知数列满足，现从中随机抽取两个不同项，则这两项之和为3的倍数的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】分析数列中各项除以3的余数，发现余数以2,1为周期循环，因此，余数为1的项和余数为2的项数均为1012，要使两项之和为3的倍数，需要从余数为1或从余数为2的项中抽取2项，计算概率即可求解.
【详解】由题意可得．记抽到的两项为，
则，
其中，为整数，
当为奇数时，，此时二者之和为3的倍数；
当为偶数时，，此时二者之和不为3的倍数．
下面讨论，当为奇数时，共有个符合要求，
则符合要求的可能共有种，
当为偶数时，共有个符合要求，
则符合要求的可能共有种，
故总数为种，故所求概率．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的周期性、数列中各项除以3的余数及组合概率的计算。关键在于分析数列各项的余数规律，进而确定满足条件的组合数.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求的导函数；
（2）求在处的切线方程．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据导数的求导法则运算得解；
（2）根据导数的几何意义求解.
【小问1详解】
，.
【小问2详解】
由（1）可知在处的导数为，
又因为，
故在处的切线方程为，整理得．
16. 某高中开设“四季农耕”的劳动教育课程，课程包括播种和田间管理．学校对选择了这两类课程的学生人数分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有几项缺失，已知有的男生选择了播种课，统计表格如下．
（1）补全表格，并判断是否有的把握认为不同劳动教育课程的选择与性别有关；
（2）学校为了调研学生课程完成率是否存在与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数，现给出以下两种数据处理方式：①，②，已知随机调查了6名同学课程的完成率如下表，用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显．（数据处理方式的偏差系数越大，对大偏差数据的存在体现越明显）
附，．
【答案】（1）答案见解析，有关
（2），，方式②
【解析】
【分析】（1）设男生有人，根据题意有，解得，可补全表格，再根据卡方的计算可判断；
（2）先计算完成率的平均数，再根据①②公式计算比较即可.
【小问1详解】
设男生有人，则，解得，所以选择田间管理课的男生人数为40，
从而女生有200人，女生中选择播种课的人数为80人，
完善表格如图，
，
故有的把握认为不同劳动教育课程的选择与性别有关．
【小问2详解】
，
根据①的计算公式计算：；
根据②的计算公式计算：，
因此方式②的偏差系数更大，从而方式②对大偏差数据的体现更加明显．
17. 已知正项数列的前项和满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据关系式利用的关系式可证明是常数列，可求得的通项公式；
（2）利用错位相减法计算可得结果.
【小问1详解】
对于正项数列，令得，解得，
即可得，，
两式相减得到，
即，
故，于是是常数列，
可得，
故．
【小问2详解】
由（1）可得，
故，
，
两式相减得到
18. 如图，三棱锥中，，，，为棱的中点，点满足．
（1）证明：平面平面；
（2）当时．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得，进而可得，，由面面垂直的判定定理得证；
（2）（ⅰ）根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，记，，，，由，可得的关系，得解；（ⅱ）求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求解.
【小问1详解】
由，可知，
由，可得，
而点为棱的中点，故，同理可得，
由平面，平面，，可知平面，
又因为平面，故平面平面MAC．
【小问2详解】
（ⅰ）由题易知两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，记，，，，
则，，
，，
由，可知，解得，
由，知，解得，
故．
（ⅱ）不妨设，则，，于是，，，，
则，，．
设平面的法向量，平面的法向量，
则，即，可取，
由，即，可取，
记平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
19. 已知数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）现固定的值且，以为变量（且），设数列，求；
（3）在第（2）问的基础上，设数列，固定的值且满足，求取何值时，取得最大值．（结果用含的表达式表达）
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据递推公式利用累乘法计算可得结果；
（2）根据表达式定义利用组合数计算即可得;
（3）由化简计算可得，再由固定的的取值利用作商法可得不等式，再对的取值进行分类与讨论即可得出结论.
【小问1详解】
由题意得，，…，
故，，
将代入也同样满足，
故的通项公式为．
【小问2详解】
因为，由题意可得，
故，
故．
【小问3详解】
因为，可得，
由题意得，
当时，，当时，，
当时，要让取得最大值，则有，，
即，，
即，，
当时，由于，不存在，故分母不可能为0，即
对于①，有，分析可得当时，，
而，故在此之前数列一直递增，
对于②当时，，
而，故在此之后数列一直递减，
即，
又题干中满足，故，
因此，当或时，取得最大值．
课程
性别
合计
男生
女生
播种
160
田间管理
120
合计
400
学生编号
1
2
3
4
5
6
完成率
50
70
60
66
72
84
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
课程
性别
合计
男生
女生
播种
160
田间管理
120
合计
400
学生编号
1
2
3
4
5
6
完成率
50
70
60
66
72
84
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
课程
性别
合计
男生
女生
播种
160
80
240
田间管理
40
120
160
合计
200
200
400