江苏省徐州市九里中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省徐州市九里中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了 函数的导函数， 已知曲线在点处切线方程为，则， 设，，则的大小关系为， 下列命题正确的是， 函数满足，则正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A 10种B. 20种C. 25种D. 32种
2. 函数的导函数（ ）
A. B. C. D.
3. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极大值
4. 已知曲线在点处切线方程为，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
5. 函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若函数在内无极值，则实数a取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 设，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二．多选题（共3小题，每题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A.
B. 已知函数在R上可导，且，则
C. 若函数都是可导函数，，则
D. 一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s
10. 函数满足，则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. （多选）如果函数对定义域内的任意两实数（）都有，则称函数为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是（ ）
A B.
C. D.
三．填空题（共3小题，每题5分）
12. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为___________(结果用数值表示).
13. 函数在区间上的最大值为______
14. 若函数在上是增函数，求实数的取值范围是__________．
四．解答题（共5小题）
15. 从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？
（1）三位数；
（2）三位数的偶数．
16. 已知函数，x∈R．
（1）过点做曲线的切线，求切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
17. 已知函数在处有极大值.
（1）求实数的值；
（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
18. 已知函数（a为常数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）不等式在上恒成立，求实数a的最小整数值．
19. 已知函数．
（1）当时，求的单调增区间；
（2）证明：当时，．
高二数学月考试卷
一．选择题（共8小题，每题5分）
1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A. 10种B. 20种C. 25种D. 32种
【答案】D
【解析】
【分析】由分步乘法原理计算．
【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.
故选：D
2. 函数的导函数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据除法求导法则以及基本初等函数的求导公式即可求解.
【详解】由得，
故选：B
3. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极大值
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C、D的结论．
【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；
在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；
当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，
故选：A.
4. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】通过求导数，得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】由题可得，
∴，
，
将代入，得，
∴.
故选：C．
5. 函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把三个数值看成三个斜率，即可用数形结合比较大小.
【详解】设点
则可以把看成两点的斜率，
把看成曲线在点的切线斜率，
把看成曲线在点的切线斜率，
再作出图形进行数形结合分析：
由图可得，
即.
故选：B.
6. 若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧单调性并确定其值域下界，即可得参数范围.
【详解】因为在区间上单调递增，
所以，即在上恒成立，
令且，则，即在上单调递增，
所以，故.
故选：C
7. 若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出导数，再由导函数在内无变号零点，结合函数单调性确定最小值和最大值的范围即可求解.
【详解】由函数在内无极值，得在内无变号零点，
而函数在上单调递增，则或，解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：C
8. 设，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得．
【详解】设，（），则.
令得，所以函数在区间单调递增.
因为，所以，
即，即，所以．
故选：B
二．多选题（共3小题，每题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A.
B. 已知函数在R上可导，且，则
C. 若函数都是可导函数，，则
D. 一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用导数运算法则判断AC；利用导数的定义计算判断B；利用瞬时速度的定义求解判断D.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，由导数运算法则知，C正确.
对于D，由，求导得，因此质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s，D正确.
故选：
10. 函数满足，则正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调，再比较大小即得.
【详解】依题意，令函数，求导得，函数在R上递减，
对于A，，，则，A正确；
对于B，，，则，B错误；
对于C，，，则，C正确；
对于D，，，则，D错误.
故选：AC
11. （多选）如果函数对定义域内的任意两实数（）都有，则称函数为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令，则结合题意根据单调性的定义可得，函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”，利用导数法逐项验证可得答案．
【详解】令，对于定义域上的任意，当，恒有，
即，可得函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”．
对于A，，，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故A正确；
对于B，，，，
所以单调递增函数，则函数是“F函数”．故B错误；
对于C，，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故C正确；
对于D，，，，
当时，，单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，
则函数不“F函数”．故D正确.
故选：ACD.
三．填空题（共3小题，每题5分）
12. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为___________(结果用数值表示).
【答案】24
【解析】
【分析】根据排列的知识可得答案.
【详解】4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为
故答案为：24
13. 函数在区间上的最大值为______
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可得为偶函数，利用导数求解上的单调性，即可求解最值.
【详解】因为，所以为偶函数，
当时，，.
易知当时，，，则，
所以在上单调递增，所以在上的最大值为，
根据偶函数的性质可知，函数在区间上的最大值为.
故答案为：
14. 若函数在上是增函数，求实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】求导，则在上恒成立，参变分离，转化为函数最值问题求解即可.
【详解】由已知在上恒成立，
即在上恒成立，设，
则，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以.
故答案为：.
四．解答题（共5小题）
15. 从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？
（1）三位数；
（2）三位数的偶数．
【答案】（1）24 （2）12
【解析】
【分析】（1）根据乘法原理分步完成即可；
（2）先排个位，再排十位与百位,根据乘法原理得出结果即可.
【小问1详解】
三位数有三个数位，故可分三个步骤完成：
第1步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法；
第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理， 共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．
【小问2详解】
分三个步骤完成：
第1步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；
第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．
故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．
16. 已知函数，x∈R．
（1）过点做曲线的切线，求切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）；
（2）最大值是，最小值是1.
【解析】
【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）利用导数求出函数上的单调性，再求出最值.
【小问1详解】
函数，求导得，设过点的曲线的切线切点为，
而点不曲线上，则，解得，
因此，，切线方程为，
所以所求切线方程为.
【小问2详解】
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
则，又，，
所以函数在区间上的最大值是，最小值是1.
17. 已知函数在处有极大值.
（1）求实数的值；
（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案；
（2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案.
【小问1详解】
由函数，求导可得，
由函数在处取极大值，则，解得或，
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极大值，符合题意.
综上所述，.
【小问2详解】
由（1）可得函数，求导可得，
令，解得或，可得下表：
所以函数的极大值为，极小值为，
函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，
如下图：
由图可得，则.
18. 已知函数（a为常数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）不等式在上恒成立，求实数a的最小整数值．
【答案】（1）答案见解析；
（2）2
【解析】
【分析】（1）求函数的定义域和导函数，分，结合导函数的零点及取值的正负区间研究函数的单调性.
（2）变量分离得，再构造函数并利用导数求其最值即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得
当时，，函数在上单调递增，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，.
【小问2详解】
当时，不等式，
令，依题意，，恒成立，
求导得，当时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数的最小整数值是.
19. 已知函数．
（1）当时，求的单调增区间；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求得，根据导数的正负求解即可；
（2）首先根据导数得出在单调递减，在单调递增，则，再构造函数说明，再用作差法及基本不等式得出即可证明．
【小问1详解】
的定义域为，
当时，，则，解得，
当时，，故在单调递减；
当时，，故在单调递增，
故的单调增区间为．
【小问2详解】
由，解得，
当时，，故在单调递减；
当时，，故在单调递增；
故，
设，
则，解得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以，即，
所以，当时等号成立，
又，当时等号成立，
故，得证．
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增