吉林省吉林市2024-2025学年高三下学期4月四模数学试题（Word版附答案）

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说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的。
1.已知命题, ，命题, ，则
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
2.已知复数为纯虚数，则实数的值为
A. B. C. D.
3.为了解教育改革制度出台后学生每周的锻炼时长情况，从某市中小学抽取样本，经分析得到
改革后学生每周的锻炼时长(单位：小时 )近似服从正态分布，若，
则
B. C. D.
4.直线的一个方向向量为，倾斜角为，则
A. B. C. D.
5.已知正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成角为，则该正四棱锥的体积为
A. B. C. D.
6.已知定义域为的奇函数满足，则
A. B.
C. 的最小正周期为D. 是曲线的一条对称轴
7.已知递减的等比数列前项和为， 且满足，， 若
恒成立，则的最小值为
A．B．C．2D．
8.设, ，定义余弦距离（为原点）.若
, ，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，则
从两批产品中各取件，都取到次品的概率为
从两批产品中各取件，都取到次品的概率为
两批产品混合后任取件，该产品是次品的概率为
两批产品混合后任取件，若取到的是次品，则它取自第一批产品的概率为
已知函数，则
A. 当时，函数的单调递减区间是
B. 当时，函数的单调递增区间是
C. 是函数的极大值
D. 函数有且只有一个零点
11.如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一
个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上、下底面及每条母线都相切的球），为该球与母线的切点. ，分别为铁桶上、下底面的直径，且，，为的中点，则
A. 铁桶的母线长为
B. 铁桶的侧面积为
C. 过，，三点的平面与桶盖的交线与直线所成角的正切值为
D. 桶中另一个球的半径的最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题的第一个空填对得2分，第
二个空填对得3分。
若函数是定义域为的偶函数，则 .
已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序构成数列，则数列的通项公式为 .
已知,,且动点满足. 则的取值范围为 ；若线段的垂直平分线与交于点，则的正切值的最大值为 .
四、解答题：本大题共小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知函数．
(Ⅰ)若点是曲线上的动点，求点到直线的最短距离；
(Ⅱ)若函数，求在上的最大值．
16.（本小题满分15分）
如图，四棱锥的底面是矩形，，平面，
，，，分别是，的中点.
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.
17．（本小题满分15分）
在中，角，，的对边分别为，，，且，．
(Ⅰ)若，求的周长；
(Ⅱ)若内切圆、外接圆的半径分别为，，求的取值范围.
18．（本小题满分17分）
在重伯努利试验中，用表示事件发生的次数，则称随机变量服从二项分布，它关注试验成功的总次数；用表示事件第一次发生时已经进行的试验次数，则称随机变量服从几何分布，它关注的是首次成功发生的时机．在某篮球训练的投篮环节中，运动员甲每次投篮均相互独立，每次投篮命中的概率为．
(Ⅰ)当时，求运动员甲进行次投篮，命中次数不少于次的概率；
(Ⅱ)设表示运动员甲首次命中时的投篮次数.
(ⅰ) 求及此概率取得最大值时的值；
(ⅱ) 若甲首次命中就结束投篮，且甲最多投篮次，第次未命中也结束投篮，设表 示甲投篮的次数，利用(ⅰ)中的值，求的数学期望.
（本小题满分17分）
已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量
，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.
(Ⅰ)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点
，求点的坐标；
(Ⅱ)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线.
(ⅰ) 求双曲线的标准方程及离心率；
(ⅱ) 双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于 ，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值.
命题、校对：高三数学核心组