吉林省长春市2023届高三数学下学期5月四模试题（Word版附答案）

这是一份吉林省长春市2023届高三数学下学期5月四模试题（Word版附答案），共10页。
长春市2023届高三质量监测（四）
数学本试卷共4页．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，，则（    ）．A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数的图象可能是（    ）．A．B．C．D．
3．已知复数，则复数（    ）．A． B．10 C． D．2
4．某高中社会实践小组为课题“高中生作业情况研究”进行周末作业时长调研，利用课间分别对高一、高二、高三年级进行随机采访，按年级人数比例进行抽样，各年级分别有效采访56人、62人、52人，经计算各年级周末作业完成时间分别为（平均）3小时、3.5小时、4.5小时，则估计总体平均数是（    ）．A．3.54小时 B．3.64小时 C．3.67小时 D．3.72小时
5．设，曲线，则下列说法正确的为（    ）．A．曲线C表示双曲线的概率为 B．曲线C表示椭圆的概率为C．曲线C表示圆的概率为 D．曲线C表示两条直线的概率为6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为、，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（    ）倍．A．1 B． C． D．7．如图，在平行四边形中，M，N分别为，上的点，且，，连接，交于P点，若，，则（    ）A． B． C． D．8．已知正方体的棱长为1，点M，N分别为线段，上的动点，点T在平面内，则的最小值是（    ）A． B． C． D．1
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多个选项是符合题目要求的．9．若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（    ）．A．  B．展开式中各项系数和为C．展开式中常数项为 D．展开式中各二项式系数和为10．有两批种子，甲批种子15粒，能发芽的占80％，乙批种子10粒，能发芽的占70％，则下列说法正确的有（    ）．A．从甲批种子中任取两粒，至少一粒能发芽的概率是B．从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是C．从甲乙两批中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是D．如果将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为11．下列命题中正确的是（    ）．A．已知随机变量，且满足，则B．已知一组数据：7，8，4，7，2，4，5，8，6，4，则这组数据的第60百分位数是6C．已知随机变量，则D．某学校有A，B两家餐厅，某同学第1天午餐时间随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，如果第一天去B餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去B餐厅的概率为0.3
12．已知正项数列的前n项和为，且有，则下列结论正确的是（    ）．A．  B．数列为等差数列C．  D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，，，则a，b，c的大小关系为__________．
14．若，，则的最小值为__________．
15．已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是__________．
16．已知圆C的圆心在抛物线上运动，且圆C过定点，圆C被x轴所截得的弦为，设，，则的取值范围是__________．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数的最小值为．（1）求函数的最大值；（2）把函数的图像向右平移个单位，可得函数的图像，且函数在上为增函数，求的最大值．
18．（本小题满分12分）已知数列是公差为正数的等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）求证：．19．（本小题满分12分）现有两个口袋，A口袋中有m个球，一部分是红球，另一部分是白球，从中取出一个球恰好是白球的概率为，B口袋中有6个球，4个红球，2个白球．若将两个口袋混合在一起，从中取出一个球，恰好是白球的概率为．（1）若甲从B口袋中每次有放回地取一个球，直到取到白球停止，则恰好第三次后停止的概率；（2）甲乙两人进行游戏，由第三人从两个口袋中各取一个球，若同色甲胜，否则乙胜，通过计算说明这个游戏对两人是否公平；（3）从B口袋中一次取3个球，取到一个白球得2分，取到一个红球得1分，求得分的期望．
20．（本小题满分12分）在三棱锥，底面是边长为4的正三角形，平面平面，且．（1）若，求证：平面平面；（2）若底面，垂足为O，，求平面与平面夹角的余弦值．
21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形面积为．（1）求椭圆方程；（2）若直线交椭圆于，，且，求证为定值．
22．（本小题满分12分）函数．（1）求证：；（2）若方程恰有两个根，求证：． 长春市2023届高三质量监测（四）参考答案与评分标准数学一、单项选择题：12345678BABBBACB二、多项选择题：9101112ABCACDACDCD三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13． 14．8      15．      16．四、解答题：17．（本小题满分10分）（1），因为的最小值为，所以，∴，∴，从而得最大值为2．（2），∵在上为增函数，∴，∴，∴的最大值为4．18．（本小题满分12分）解：（1）设的公差为，∴，∴，∵，∴解得或（舍），∴，∴．（2）∵，∴∴，即证．19．（本小题满分12分）（1）设A口袋中有n个白球，则，解得，，设事件表示从B口袋中第i次取出的是红球，有，设事件C表示从B口袋中有放回的各取1球恰好第3次后停止，则．（2）设事件表示从A口袋中取出一个球是红球，，表示从B口袋中取出一个球是红球，，事件E表示第三人从两个口袋中各取一球是同色球，有，所以游戏不公平．（3）设X表示从B口袋中一次取3个球的得分，则X的可取值为3，4，5，有，，，从而．20．（本小题满分12分）解：（1）在中做于D，则，中，，则，，则，即，中，，即二面角的大小为，故平面平面．（2）过点P做于H，由平面平面，且平面平面可知，平面，又平面，则点H即为点O．以O为原点，方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴，建立空间坐标系，则，，，,平面中，，，，平面中，，，，，即平面与平面夹角的余弦值为．21．（本小题满分12分）解：（1）由椭圆的离心率为，可设，，则．四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为，即，即椭圆的方程为：．（2），联立直线与椭圆消去y可得，，可得，而，为定值．22．（本小题满分12分）解：（1）令，，解得或，故当时，，∴在减，又，∴．（2）是方程一个根，时，恰1根，令，，设，，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，∴在单调递增，单调递减，单调递增，又，∴只需，∴，，设，，由，，，∴，因此．