北京市第二十七中学2024-2025学年高二下学期期中调研数学试题（原卷版+解析版）

这是一份北京市第二十七中学2024-2025学年高二下学期期中调研数学试题（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了 下列求导的运算中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
2025.4
班级 姓名 学号
本试卷共6页，150分，考试时长120分钟.考生务必将答案作答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题纸交回.
第一部分
一、选择题.共10小题，每小题5分，共50分.
1. “壮锦”、“芒果”、“荔浦芋”、“沙田柚”是深受游客喜欢的4种广西特产．若某游客从中任选2种进行购买，则选择购买的方法种数为（ ）
A. 12种B. 8种C. 6种D. 4种
2. 设离散型随机变量ξ的概率分布如表：则p的值为（ ）
A B.
C. D.
3. 已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 若曲线在处的导数值为1，则该曲线不可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，其导函数图象如图，则对于函数的描述正确的是
A. 在上为减函数
B. 在处取得最大值
C. 在上为减函数
D. 在处取得最小值
7. 下列求导的运算中，正确的是（ ）
A. B.
C D.
8. 已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A. 18种B. 24种C. 36种D. 72种
10. 函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分
二、填空题.共5小题，每小题5分，25分.
11. 甲，乙，丙，丁四位同学想报名运动会跳高，跳远，100米跑三个项目，若每人限报一项且必须报名，则共有_________________种不同的报名方法；若每个项目限报一人且必须有人报名（允许兼项）则共有_________________种不同的报名方法.
12. 用、、、、、这六个数字，能组成_________个没有重复数字的五位数.
13. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________．
14. 若双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为______.
15. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分3组各进行一场比赛，胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为______；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为______.
三、解答题.共6小题，共75分.
16. 已知
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的展开式中含项的系数.
17. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间.
18. 某市2019年一季度全市居民人均消费支出情况如下表所示．全市居民分为城镇居民和农村居民，人均消费支出分为食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通和通信、教育文化和娱乐、医疗保健、其他用品及服务共8类．
2019年一季度（单位：元）
（1）从全市居民的8类人均消费支出中随机选取1类，求这类人均消费支出超过1000元概率；
（2）从城镇居民的8类人均消费支出中随机选取3类，记表示其中不超过2000元数，求的分布列及数学期望；
（3）请直接写出这8类人均消费支出中，农村居民人均消费支出增速大于城镇居民人均消费支出增速的类别．
19. 非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）求a的值；
（2）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望；
（3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（结论不要求证明）
20. 已知函数.（）
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，证明：当时，恒成立.
21. 已知：椭圆过点，且离心率是，过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，M是AB中点，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点，．若与的面积相等，求直线的斜率.
北京市第27中学2024—2025学年第二学期期中调研试卷
高二数学
2025.4
班级 姓名 学号
本试卷共6页，150分，考试时长120分钟.考生务必将答案作答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题纸交回.
第一部分
一、选择题.共10小题，每小题5分，共50分.
1. “壮锦”、“芒果”、“荔浦芋”、“沙田柚”是深受游客喜欢的4种广西特产．若某游客从中任选2种进行购买，则选择购买的方法种数为（ ）
A. 12种B. 8种C. 6种D. 4种
【答案】C
【解析】
【分析】
直接列举即得解.
【详解】某游客从中任选2种进行购买的结果有：“壮锦”和“芒果”， “壮锦”和“荔浦芋”， “壮锦”和“沙田柚”， “芒果”和“荔浦芋”， “芒果”和“沙田柚”， “荔浦芋”和“沙田柚”.共6种.
故选：C
【点睛】本题主要考查组合的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2. 设离散型随机变量ξ的概率分布如表：则p的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分布列的性质建立方程，求解参数即可.
【详解】由分布列的性质得，解得，故A正确.
故选：A
3. 已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用准线的性质求出，再求出标准方程即可.
【详解】因为抛物线的准线方程为，所以，
解得，则该抛物线的标准方程为，故D正确.
故选：D
4. 若曲线在处的导数值为1，则该曲线不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D；
【详解】选项A：，则，由，可得，
则在处的切线的斜率为1；
选项B：，则，则，则不存在斜率为1的切线；
选项C：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1；
选项D：，则，当时，，
则在处的切线的斜率为1，
故选：B
5. 一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
一个家庭的两个小孩只有4种可能：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），由题意知，这4个事件是等可能的，由此利用条件概率公式能求出结果.
【详解】一个家庭的两个小孩只有4种可能：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），
已知这个家庭有一个是女孩的条件下，基本事件总数，这时另一个也是女孩包含的基本事件个数，
已知这个家庭有一个女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率.
故选：D
【点睛】本题主要考查条件概率的计算，属于基础题.
6. 已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是
A. 在上为减函数
B. 在处取得最大值
C. 在上为减函数
D. 在处取得最小值
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．
详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知：
f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可知C正确，A错误；
由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误．
故选C．
点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变.
7. 下列求导的运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的导数公式逐个判断即可
【详解】对A，，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D错误；
故选：A
8. 已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程，结合，即可求解.
【详解】由条件可知，，，，
所以，得，
故选：C
9. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A. 18种B. 24种C. 36种D. 72种
【答案】C
【解析】
【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解.
【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有，
再将商、角插入4个空中的2个，有，
所以共有种．
故选：C．
10. 函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将当时，恒成立，转化为 时恒成立，再令，用导数法求最小值即可.
【详解】因为函数，当时，恒成立，
所以 时，恒成立，
令，
，
当 时，，当 时，，
所以当时取得最小值e.
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
第二部分
二、填空题.共5小题，每小题5分，25分.
11. 甲，乙，丙，丁四位同学想报名运动会跳高，跳远，100米跑三个项目，若每人限报一项且必须报名，则共有_________________种不同的报名方法；若每个项目限报一人且必须有人报名（允许兼项）则共有_________________种不同的报名方法.
【答案】 ① 81 ②. 64
【解析】
【分析】由分步乘法计数原理即得.
【详解】要完成的是“甲，乙，丙，丁四位同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，由分步乘法计数原理可得，共有3×3×3×3＝81(种)报名方法；
要完成的是“三个项目每个项目限报一人且必须有人报名（允许兼项）”这件事，因为每个项目必须有人报名，三个项目都被报名完才算完成，所以按项目分步，且分为三步，又每个项目限一人报名，所以项目可被报名的种数为4种，由分步乘法计数原理可得，共有4×4×4＝64(种)报名方法；
故答案：81；64
12. 用、、、、、这六个数字，能组成_________个没有重复数字的五位数.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知五位数的首位不能排，然后从剩余个数字选择个数字排剩余个数位，结合分步乘法计数原理可求得结果.
【详解】由题意可知，五位数的首位不能排，有种选择，
然后从剩余个数字选择个数字排剩余个数位，
因此，满足条件没有重复数字的五位数的个数为.
故答案为：.
13. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式求概率.
【详解】两个零件中恰有一个一等品的概率为
故答案为：
【点睛】本题考查独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
14. 若双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据离心率求得，然后求得双曲线的渐近线方程.
【详解】依题意，，
，
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
15. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分3组各进行一场比赛，胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为______；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为______.
【答案】 ①. ②. ##0.5
【解析】
【分析】列举出齐王与田忌赛马的每组马对阵的所有情况，即可求出双方均不知对方马的出场顺序时田忌获胜的概率，列举出田忌的上等马与齐王的中等马分在一组时的对阵情况，可求得田忌获胜的概率.
【详解】设齐王的三匹马分别记为，田忌的三匹马分别记为，
齐王与田忌赛马，双方每组对阵情况有∶
，齐王获胜；
，齐王获胜；
，齐王获胜；
，田忌获胜；
，齐王获胜；
，齐王获胜,共6种；
其中田忌获胜的只有一种
则田忌获胜的概率为；
若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，
此时情况为和共两种，
时，齐王获胜，，田忌获胜，
此时田忌获胜的概率为 ，
故答案为：
三、解答题.共6小题，共75分.
16. 已知
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的展开式中含项的系数.
【答案】（1）16 （2）41
（3）7
【解析】
【分析】（1）令即可得解；
（2）分别令，得两个式子，将它们相加即可求解；
（3）根据的展开式的通项公式，即可列式求解.
【小问1详解】
令得.
【小问2详解】
令，可得，
令，可得，
两式相加除以2，可得
【小问3详解】
的展开式的通项公式为，
所以的展开式中含项的系数为
17. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间.
【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，的单调递减区间为.
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；
（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解.
【详解】函数的定义域为，
，
求导，.
由点斜式得切线方程为：，即.
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）知，，
令，得，.
当x变化时，，的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为.
【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题.
18. 某市2019年一季度全市居民人均消费支出情况如下表所示．全市居民分为城镇居民和农村居民，人均消费支出分为食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通和通信、教育文化和娱乐、医疗保健、其他用品及服务共8类．
2019年一季度（单位：元）
（1）从全市居民的8类人均消费支出中随机选取1类，求这类人均消费支出超过1000元概率；
（2）从城镇居民的8类人均消费支出中随机选取3类，记表示其中不超过2000元数，求的分布列及数学期望；
（3）请直接写出这8类人均消费支出中，农村居民人均消费支出增速大于城镇居民人均消费支出增速类别．
【答案】（1）；（2）分布列见详解，；（3）答案见详解．
【解析】
【分析】（1）8类人均消费支出中有3类人均消费支出超过1000元，故概率可求；
（2）列出变量的可能取值，结合超几何分布求解相应概率即可得分布列及数学期望；
（3）根据表格数据即可得出结果．
【详解】（1）8类人均消费支出中有3类人均消费支出超过1000元，故所求概率为；
（2）依题意知的可能取值为1，2，3则

则的分布列为
；
（3）农村居民人均消费支出增速大于城镇居民人均消费支出增速的类别有
衣着，居住，交通和通信，医疗保健．
【点睛】求离散型随机变量的分布列时，关键要判断随机变量是否服从二项分布或超几何分布等特殊的分布．
19. 非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）求a的值；
（2）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望；
（3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列详见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为求得.
（2）根据二项分布的知识求得分布列以及数学期望.
（3）根据平均数、中位数的求法求得，并比较出两者的大小关系.
【小问1详解】
，
解得.
【小问2详解】
不超过40岁的人的频率为，
所以，的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
【小问3详解】
岁.
，
所以.
20. 已知函数.（）
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，证明：当时，恒成立.
【答案】（1）上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导可得解析式，令，解得，分别讨论和时，的正负，可得的单调区间.
（2）令，可得，再令，利用导数求得的单调区间和最值，即可得恒成立，可得的单调性和最值，即可得证.
【详解】解：（1），
当时，令，解得.
当变化时，，的变化情况如下表：
所以时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：令
则.
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
所以，即恒成立.
所以在上单调递增，所以，
所以，即当时，恒成立.
21. 已知：椭圆过点，且离心率是，过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，M是AB中点，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点，．若与的面积相等，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意建立关于的方程组，解方程组即可得解.
（2）根据线段的垂直平分线求出点的坐标，即可求出的面积，再表示出的面积，由 与 的面积相等列式，即可解出直线的斜率．
【小问1详解】
因为椭圆过点，所以，又，且，
解得，所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
由题意，得，直线，
设，，，，
联立，消去，得，
显然△，，
则点的横坐标，
点的纵坐标．
即，
所以线段的垂直平分线方程为：，
令，得；令，得，
所以的面积，
的面积．
因为与的面积相等，
所以，解得，
所以当与的面积相等时，直线的斜率．
ξ
0
1
2
3
P
p
指标名称
全市居民
城镇居民
2019年一季度
增速（%）
2019年一季度
增速（%）
人均消费支出
10637
7.4
11440
7.4
食品烟酒
2292
8.2
2401
8.2
衣着
628
0.0
670
-1.0
居住
3846
5.7
4200
5.6
生活用品及服务
546
6.8
588
8.3
交通和通信
1219
11.0
1303
10.5
教育文化和娱乐
927
10.5
1020
11.0
医疗保健
874
142
920
13.6
其他用品及服务
305
1.0
338
2.7
ξ
0
1
2
3
P
p
x
3
0
单调递减
极小值
单调递增
指标名称
全市居民
城镇居民
2019年一季度
增速（%）
2019年一季度
增速（%）
人均消费支出
10637
7.4
11440
7.4
食品烟酒
2292
8.2
2401
8.2
衣着
628
0.0
670
-1.0
居住
3846
57
4200
5.6
生活用品及服务
546
6.8
588
8.3
交通和通信
1219
11.0
1303
10.5
教育文化和娱乐
927
10.5
1020
11.0
医疗保健
874
14.2
920
13.6
其他用品及服务
305
1.0
338
2.7
1
2
3
减
极小值
增