浙江省杭州第二中学2025届高三模拟预测 数学试题（含解析）

这是一份浙江省杭州第二中学2025届高三模拟预测 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，有两个棱长均为1的正四棱锥等内容，欢迎下载使用。
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z⋅z=（ ）
A．1B．2C．2D．4
2．已知x,y∈R，则xy2,，则下列结论正确的是（ ）
A．f4=0B．f5=2
C．f100>100D．函数fx的值域为[0,+∞)
10．已知π4≤α≤π,π≤β≤3π2,sin2α=45,csα+β=−210，则下列结论正确的是（ ）
A．cs2α=35B．sinα−csα=55
C．sinα+β=7210D．β−α=3π4
11．已知动点Px,y，其到直线x=−34的距离与其到点34,0的距离相等，设其轨迹为Γ．Γ上有两个关于x轴对称的点A,B（A在B的上方）．记直线OA的斜率为k，坐标轴原点记为O，△OAB的外接圆记为Γ′．则下列结论正确的是（ ）
A．当k=1时，△OAB的面积为92
B．cs∠AOB=1−k21+k2
C．Γ′的周长大于3π
D．过点A分别作Γ,Γ′的切线，且与x轴交于点C1,C2，则C1C2最小值为24
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．圆x2+y2−4=0与圆x2+y2−4x+4y−12=0的公共弦长等于 ．
13．有5个集合：{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,5,6}，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为X，则P13≤X≤18= ．
14．已知△ABC面积为1，边AC,AB上的中线为BD,CE，且BD=43CE，则边AC的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
在三棱锥S−ABC中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠SAB=∠SCB=∠ABC=90∘．
（1）求证：AC⊥SB；
（2）若AB=2,SC=22，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值．
16．（本小题15分）
在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足ab=b+ca=3sinAcsB，
（1）求C．
（2）若b=1，点M,N是边AB上的两个动点，当∠MCN=π3时，求△MCN面积的取值范围．
17．（本小题15分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=22，且椭圆E过点A2,0，过点A作斜率为kk≠0的直线l交椭圆E于点B，交y轴于点C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知P为AB的中点，是否存在定点Q，对于任意的kk≠0都有OP⊥CQ，若存在，求出点Q的坐标：若不存在说明理由．
18．（本小题17分）
已知函数fx=ex−ax，其中e为自然对数的底数
（1）当a=1时，求fx的单调区间；
（2）若当a=2时，关于x的方程：fx=k有两个不同的根：x1,x2且x1