2023年浙江省杭州市高考数学二模试卷（含答案解析）

2023年浙江省杭州市高考数学二模试卷

1.  设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设复数z满足是虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在数列中，“数列是等比数列”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  已知平面向量，，且，则(    )

A. 1 B. 14 C.  D.

5.  某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量颗之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉后，下列说法正确的是(    )

A. 相关系数r变小 B. 决定系数变小
C. 残差平方和变大 D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强

6.  已知，，且，则ab的最小值为(    )

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

7.  如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知满足，且在上单调，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若直线与圆C：相交于A，B两点，则的长度可能等于(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

10.  已知函数是奇函数，且，是的导函数，则(    )

A.  B. 的周期是4 C. 是偶函数 D.

11.  一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则(    )

A. 事件，为互斥事件 B. 事件B，C为独立事件
C.  D.

12.  如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则(    )

A. 球与圆柱的体积之比为2：3
B. 四面体CDEF的体积的取值范围为
C. 平面DEF截得球的截面面积最小值为
D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
 

13.  在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为______ .

14.  已知，，则______ .

15.  费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点P为双曲线为焦点上一点，点P处的切线平分已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则______ .

16.  已知函数在点处的切线方程为l：，若对任意，都有成立，则______ .

17.  在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求角B的大小；
若a：：5，且AC边上的高为，求的周长.

18.  设公差不为0的等差数列的前n项和为，，
求数列的通项公式；
若数列满足，，求数列的前n项和

19.  在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，
求证：；
若，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值.

20.  已知椭圆C：的离心率为，左，右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，面积的最大值为
求椭圆C的方程；
设直线AP，QB的斜率分别为，，且
求证：直线PQ经过定点.
设和的面积分别为，，求的最大值.

21.  马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即…，，，
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为，赌博过程如图的数轴所示.

当赌徒手中有n元时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
请直接写出与的数值.
证明是一个等差数列，并写出公差
当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义.

22.  已知函数
讨论函数零点个数；
若恒成立，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：集合，
，
则
故选：
利用不等式的解法化简集合A，求解函数的定义域求出集合B，再利用集合的运算性质即可得出结论．
本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：是虚数单位，则，
则
故选：
根据题意，得到，再计算模长即可．
本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：数列是等比数列，得，
若数列中，
则数列不一定是等比数列，如数列1，2，4，6，8，10，12，14，⋯，
所以反之不成立，
则“数列是等比数列”是“”的充分不必要条件．
故选：
利用等比数列的性质及充分不必要条件的定义即可判断．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：因为，，，
所以，
，
所以
故选：
根据向量的模长公式以及数量积的运算律即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：由散点图知，去掉点后，y与x的线性相关性加强，
则相关系数r变大，错误，
相关指数变大，错误，
残差平方和变小，错误，
解释变量x与预报变量y的相关性变强，正确．
故选：
由散点图知，去掉离群点D后，y与x的线性相关加强，由相关系数r，相关指数及残差平方和与相关性的关系求解即可．
本题考查两个变量相关性强弱的判断：涉及相关系数r，相关指数及残差平方和，是基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：，
，，，，
，则，
当且仅当时，等号成立，
的最小值为16，
故选：
先利用对数的运算法则得到，再利用基本不等式求最值即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，对数的运算法则，属于中档题．
 

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查空间中线面平行的判定定理，考查了数形结合思想的应用，注意解题方法的积累，属于基础题．
根据正方体的性质相应作出完整的截面，然后根据正方体的性质及线面平行的判定即可得解．

【解答】

解：对于A，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得，可得直线平面ABC，能满足；

对于B，作出完整的截面ABDCEF，由正方体的性质可得，可得直线平面ABC，能满足；

对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得，可得直线平面ABC，能满足；

对于D，作出完整的截面，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足．

故选：

8.【答案】B 

【解析】解：满足，，
，即，
，
在上单调，
，即，
当时最小，最小值为，
故选：
通过对称轴与对称点得出的式子，再通过单调得出的范围，即可得出答案．
本题主要考查了正弦函数单调性的应用，属于基础题．
 

9.【答案】CD 

【解析】解：由圆C：，可得圆心，半径，
由直线l方程，可知直线l过定点，
由，点D在圆内，
当CD垂直直线l时，的长最短，
又，，
直线l过圆心时，的最大值为圆的直径，
的长度的取值范围为
故选：
求得圆心与半径，直线过的定点坐标，可求直线与圆相交的弦的取值范围．
本题考查直线圆的位置关系，考查圆中的弦长的求法，属中档题．
 

10.【答案】BC 

【解析】解：根据题意，函数满足，则，即函数是周期为4的周期函数，B正确；
而函数是奇函数，则，A错误；
为奇函数，则，等式两边同时求导，可得，即，是偶函数，C正确；
，则有，等式两边同时求导，可得，令可得，，
又由为偶函数，则，综合可得，D错误；
故选：
根据题意，分析函数的周期可得B正确，结合函数的奇偶性求出的值，可得A错误，对等式两边同时求导，可得，可得C正确，结合函数的奇偶性分析的值，可得D错误，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
 

11.【答案】ACD 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，事件，不会同时发生，则两个事件是互斥事件，A正确；
对于B，事件B发生或不发生时，事件C的概率不一样，则事件B，C不是独立事件，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，若事件发生，即第一次取出的是白球，此时袋中有3个红球和1个白球，若事件C发生，第二次必须为红球，则
故选：
根据题意，由互斥事件的定义可得A正确，由相互独立事件的定义可得B错误，由全概率公式计算，可得C正确，由条件概率公式求出，可得D正确．
本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件的性质，属于基础题．
 

12.【答案】AD 

【解析】解：球的半径为，可知圆柱的底面半径，圆柱的高为，
则球的体积为，圆柱的体积为，
则球与圆柱的体积之比为2：3，故A正确；
由题可知四面体CDEF的体积等于，点E到平面的距离
又，故B错误；
过O作于G，则由题可得，

设O到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为，
则，，
平面DEF截得球的截面面积最小值为，故C错误；
由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的射影为，

则，，，，
设，则，
，可得
，
，，故D正确．
故选：
利用球与圆柱的体积公式判断A；由题可得四面体CDEF的体积等于，求解体积判断B；由题可得O到平面DEF的距离为，进而可得平面DEF截得球的截面面积最小值判断C；设P在底面的射影为，设，则，然后利用二次函数的性质可得的取值范围判断
本题考查圆柱与球的表面积、体积以及折线段的最值问题，考查逻辑推理能力与运算求解能力，难度较大．
 

13.【答案】70 

【解析】解：由只有第5项的二项式系数最大可得：，
通项公式，
令，解得，
展开式中含项的系数为
故答案为：
先由二项式系数最大确定n，再由通项公式求含项的系数即可．
本题主要考查了二项式系数的性质，属于基础题．
 

14.【答案】0 

【解析】解：，
则，
，，
，
，，
，两边同时平方可得，，
故
故答案为：
根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及二倍角公式，即可求解．
本题主要卡槽三角函数的同角公式，以及二倍角公式，属于基础题．
 

15.【答案】2 

【解析】解：延长，交于点Q，
由题意可得≌，
即，且M为的中点，
由双曲线的定义可得，
又为的中点，

故答案为：
由双曲线的性质，结合双曲线的定义求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，，
所以，
令，
则，
则，
，
令，则，
令，得，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
当，时，，
则，单调递增，
，即，
所以当，时，成立，
当，时，，
则，单调递增，
，即，
所以当，时，成立，
综上所述，
故答案为：
根据条件表示出，再令，求导分类研究函数的单调性，进而求出结果．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查运算求解，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，
所以由得，
所以，解得或，
因为，
所以，
则，故，
则，解得；
因为c：：3，令，
则，
由三角形面积公式可得，则，故，
由余弦定理可得，则，解得，
从而，，，
故的周长为 

【解析】利用三角形内角和及诱导公式得到，再利用余弦的倍角公式得到，解得，即可解出角B；
由a，c比例引入常数m，利用三角形面积相等得到，从而利用余弦定理得到关于m的方程，解之即可得到a，b，c，由此得解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为，，，
，，，
联立解得，，

数列满足，，
，，
，
时，，，
……
数列的前n项和 

【解析】设等差数列的公差为，由，，利用通项公式与求和公式可得关于，d的方程组，联立解得，d，即可得出
数列满足，，可得，，相减可得，时，可得，利用累加求和可得…，利用求和公式可得数列的前n项和
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：取AC的中点为E，连结SE，BE，
易得，
又，，，
，
则且E为AC的中点，
，
，面SBE，
面SBE，；


解：

过S作面ABC，垂足为D，连接AD，CD，
，
，，，平面SAD，
，同理可证，
为等腰直角三角形，，
四边形ABCD为正方形且边长为
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面SAC的法向量，则，解得，
取，则，，
，
设平面SBC的法向量，则，解得，
取，则，，
，
设平面SAC与平面SBC夹角为，
，
故平面SAC与平面SBC夹角的余弦值为 

【解析】根据题意，可证，即，从而证得面SBE，即可得到结果；
根据题意，过S作面ABC，垂足为D，连接AD，CD，以D为原点，DA，DC，DS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算以及二面角的计算公式，即可得到结果．
本题主要考查了线线垂直关系与线面垂直关系的转化，还考查了向量在空间角的求解中的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：当点P为椭圆C短轴顶点时，的面积取最大值，
且最大值为，
由题意可得，解得，
所以椭圆C的标准方程为
证明：设点、，
若直线PQ的斜率为零，则点P、Q关于y轴对称，则，不合乎题意；
设直线PQ的方程为，由于直线PQ不过椭圆C的左、右焦点，则，
联立，消去x可得，
，可得，
由韦达定理可得，
则，
所以，，解得，
即直线PQ的方程为，故直线PQ过定点
由韦达定理可得，
所以，，
，则，
因为函数在上单调递增，故，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为 

【解析】根据题意可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；
分析可知直线PQ不与y轴垂直，设直线PQ的方程为，可知，设点，将直线PQ的方程的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用求出n的值，即可得出直线PQ所过定点的坐标；
写出关于t的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值．
本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，椭圆中三角形面积的最值问题，属于较难题目．
 

21.【答案】解：当时，赌徒已经输光了，因此
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率
证明：记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元下一场赢的事件，
，
即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，
则，⋯，，
累加得，
故，得；
，由得，即，
当时，，
当时，，
当时，，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会的概率输光． 

【解析】明确和的含义，即可得答案；
由全概率公式可得，整理为，即可证明结论；
由结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义．
此题很新颖，将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解，属于中档题．
 

22.【答案】解：令函数，得，其中，
设，则，
令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以时，取得极小值，也是最小值，
所以；
又因为时，，
所以时，，画出函数的图象，如图所示：

所以，当或时，无零点；
当或时，有1个零点；
当时，有2个零点．
时，不等式化为，不等式恒成立，满足题意；
当时，由，可得，则，
所以，所以不等式化为，即恒成立，
设，，则，令，解得，
所以时，，单调递减；时，，单调递增；
所以时，取到极小值，也是最小值，所以；
所以当时，，即恒成立，即满足题意；
当时，由知，在上单调递增，
又，，所以存在，使得；
①当时，，即，
设，则，所以在上单调递减，
所以当时，；
②当时，，即，设，则，
设，，则，
设，，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递增；
所以当时，，
又因为时，，
所以当时，，，解得，
由此知，，在上单调递增，此时，
所以a的取值范围是 

【解析】令，可得，其中，设，利用导数研究函数的性质，作出函数的图象，结合图象容易得解；
分，以及三种情况讨论，综合即可得到答案．
本题考查函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．