2025届浙江省杭州第二中学高三下模拟预测数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）
2. 如果是实数，那么“”是“”的（ ）
3. 在四边形中，若，则该四边形的面积为（ ）
4. 函数，的值域为（ ）
5. 已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和
6. 已知某数据的平均数为，方差为，现再加入一个数据，则这个数据的方差为（ ）
7. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于（ ）
8. 有两个棱长均为1的正四棱锥（木制实心玩具），底面中心分别为，另有一个棱长为1的正四面体（木制实心玩具），现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全重合并用胶水粘合（胶水厚度不计）从而拼接成一个新的玩具，对所有的拼接方式，线段长度的集合有（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（ ）
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
11. 已知动点，其到直线的距离与其到点的距离相等，设其轨迹为.上有两个关于轴对称的点（在的上方）.记直线的斜率为，坐标原点记为，的外接圆记为．则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 圆与圆的公共弦长为______.
13. 有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则_____________．
14. 已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为___________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
16. 在中内角的对边分别为，满足，
(1)求．
(2)若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围．
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．

(1)求椭圆的方程；
(2)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由．
18. 已知函数，其中为自然对数的底数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若当时，关于的方程：有两个不同的根：且，
（i）求的范围；
（ii）当最小时，求的值．
19. 已知元正整数集合，取出的个互不相同的非空子集：构成集合，若中任意个元素的并集均真包含于，任意个元素的并集均等于，我们称合理覆盖
(1)若，问是否合理覆盖？请简要说明理由；
(2)若存在合理覆盖，求的最小值；
(3)是否存在合理覆盖，且构成公差为1的等差数列（表示集合中的元素个数）？若存在请给出一个，若不存在请说明理由．
2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、平面向量、三角函数与解三角形、数列、计数原理与概率统计、平面解析几何、空间向量与立体几何、函数与导数、不等式选讲
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．10
D．20
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．4
B．2
C．2
D．3
A．1个元素
B．2个元素
C．3个元素
D．5个元素
A．
B．
C．
D．函数的值域为
A．
B．
C．
D．
A．当时，的面积为
B．
C．的周长大于
D．过点分别作的切线，且与轴交于点，则最小值为24
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
4
适中
7
较难
5
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
复数代数形式的乘法运算；复数的除法运算；共轭复数的概念及计算
2
0.65
判断命题的充分不必要条件；判断命题的必要不充分条件
3
0.94
坐标计算向量的模；向量垂直的坐标表示；三角形面积公式及其应用
4
0.85
求csx(型)函数的值域
5
0.85
等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和；等比中项的应用
6
0.65
计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差
7
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；椭圆上点到焦点的距离及最值；利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值
8
0.4
正棱锥及其有关计算
二、多选题
9
0.65
求分段函数解析式或求函数的值；分段函数的值域或最值
10
0.65
已知正（余）弦求余（正）弦；用和、差角的正弦公式化简、求值；三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
11
0.4
抛物线中的三角形或四边形面积问题；直线与抛物线交点相关问题；向量夹角的坐标表示
三、填空题
12
0.85
两圆的公共弦长
13
0.4
计算古典概型问题的概率；分类加法计数原理；代数中的组合计数问题
14
0.4
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；柯西不等式求最值
四、解答题
15
0.65
线面垂直证明线线垂直；面面角的向量求法
16
0.65
余弦定理解三角形；求含sinx(型)函数的值域和最值；正弦定理解三角形；正弦定理边角互化的应用
17
0.4
根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中存在定点满足某条件问题；根据离心率求椭圆的标准方程；根据韦达定理求参数
18
0.15
根据函数零点的个数求参数范围；函数单调性、极值与最值的综合应用；利用导数求函数的单调区间（不含参）
19
0.15
集合新定义
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2,19
3
平面向量
3,11
4
三角函数与解三角形
3,4,10,14,16
5
数列
5
6
计数原理与概率统计
6,13
7
平面解析几何
7,11,12,17
8
空间向量与立体几何
8,15
9
函数与导数
9,18
10
不等式选讲
14