四川省眉山中学校2025届高三下学期第三次模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省眉山中学校2025届高三下学期第三次模拟考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．命题p：“函数在区间上单调递增”是命题q：“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．设函数，则不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
5．已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的奇函数的导函数为，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．是的一个周期
10．若，则（ ）
A．B．
C．D．
11．设函数，则（ ）
A．当时，是的极小值点
B．当时，有三个零点
C．当时，若在上有最大值，则m的取值范围为
D．若满足，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．记函数的定义域为A，的定义域为B．若，则实数a的取值范围为 .
13．函数，，若，使成立，则的取值范围是 ．
14．设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，.若关于x的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知集合、集合（）.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)解不等式.
17．已知函数，且曲线在点处的切线斜率为.
(1)比较和的大小；
(2)讨论的单调性；
(3)若有最小值，且最小值为，求的最大值.
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最小值．
19．已知函数，
(1)已知函数的图象与函数的图象关于直线 x=-1对称，试求；
(2)证明；
(3)设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，所以.
故选C.
2．【答案】A
【分析】先由指对数运算分别得出集合,再应用交集定义运算即可.
【详解】由题可知，
，
，
因此.
故选A.
3．【答案】A
【详解】命题在内单调递增，
则，即在上恒成立，
令，由于，则，
则，
的最小值为0，则必有，
所以是的充分不必要条件．
故选A.
4．【答案】D
【详解】函数的定义域为R，，则函数为奇函数，
求导得，当且仅当时取等号，
因此函数为R上的增函数，，
于是，即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选D.
5．【答案】B
【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解.
【详解】当时，则，
且，所以，
若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，
若，则在内单调递减，
可得，不合题意；
若，则在内单调递增，
可得，则，解得；
综上所述：实数a的取值范围是.
故选B.
6．【答案】B
【详解】因为函数，则函数在上为增函数，
因为对均有成立，
则，即对恒成立，
令，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选B.
7．【答案】D
【详解】由题意可得，当时，，
当时，，
所以
，
所以的增长率约为.
故选D.
8．【答案】A
【分析】由复合函数和函数的奇偶性得到的单调性，再分的范围解不等式即可.
【详解】时，即，
在上单调递增，
又为奇函数，
为偶函数，
在上单调递减，
，故，
或时，当或时，
当时，，；
当时，，若则，，
若则，，
若则，，不符合题意；
综上，，
故选A.
9．【答案】ABC
【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误.
【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确；
对于B,令可得，所以，
即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确；
对于C,令，则由可得，
即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确；
对于D,由于是偶函数且，所以满足，即，可得，也即，所以是的一个周期，即D错误.
故选ABC.
10．【答案】ABC
【详解】因为，所以，
所以，A，B均正确.
，
因为，所以，C正确，D错误.
故选ABC.
11．【答案】BD
【详解】由，得，
对于A：当时，可得，
当时，，当时，，
所以是的极大值点，故A不正确；
对于B：当时，
若时，，若时，，若，，
又，，
又时，；又时，，
所以当时，有三个零点，故B正确；
对于C：当时，，
由B知若时，，若时，，若，，
又，由，解得，
所以若在上有最大值，则，故C错误；
对于D：由，可得，
所以对恒成立，所以，
解得，故D正确.
故选BD.
12．【答案】
【详解】由题意得，解得或，
即或，
根据题意，
因为，所以，
则，
即，
因为，
所以或，
解得或，
又，
所以或，
即实数的取值范围是.
13．【答案】
【详解】由以及可得；
再由以及可得；
若，使成立可得，
即，解得；
又，因此的取值范围是.
14．【答案】
【详解】因为为偶函数，故
所以，
故是函数且周期为4，
因为时，，
故在上的图象如图所示：

因为有3个不同的解，
所以的图象与的图象有3个不同的交点,
故，即解得.
故实数a的取值范围是.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；
（2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解.
【详解】（1）由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）因为命题是命题的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为.
16．【答案】(1)，．
(2)在上为减函数,证明见解析.
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可得，结合可得，故可求函数的解析式.
（2）根据单调性的定义可得在上为减函数；
（3）根据（2）中的单调性可求不等式的解.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：，
∴，而，解得，
∴，．
（2）函数在上为减函数；证明如下：
任意，且，
则，
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上为减函数．
（3）由题意，不等式可化为，
所以，解得，所以该不等式的解集为．
17．【答案】(1)；
(2)答案见详解；
(3).
【详解】（1），由题知，
整理得.
（2）由（1）知，，
当时，恒成立，此时在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，无最小值，
当时，在处取得最小值，所以，
记，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，
即的最大值为.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义结合给定条件求解切线方程即可.
（2）利用导数结合零点存在性定理求出函数单调性，再求解最值即可.
【详解】（1）由题意得，，
所以，又，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为，
即；
（2）由上问得，
因为和均在区间上单调递减，
所以f'x在区间上单调递减，
因为，
，
所以在上有且只有一个零点，记为，
所以时，f'x>0；时，f'x