四川省眉山中学2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题 含解析

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一、单选题：每小题 5 分，共 40 分
1 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合 ，求解 中的元素，即可求出集合 .
【详解】因为 ，所以 .
故选：C.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由指对数运算分别得出集合 ,再应用交集定义运算即可.
【详解】由题可知 , ,
,
因此 .
故选：A.
3. 命题 p：“函数 在区间 上单调递增”是命题 q：“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求出 恒成立时 的取值范围，再用集合法判断充要条件即可
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【详解】命题 在 内单调递增，
则 ，即 在 上恒成立，
令 ，由于 ，则 ，
则 ，
的最小值为 0，则必有 ，
所以 是 的充分不必要条件．
故选：A
4. 设函数 ，则不等式 的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】探讨函数的奇偶性、单调性，再求解不等式即得.
【详解】函数 的定义域为 R， ，则函数 为奇函数，
求导得 ，当且仅当 时取等号，
因此函数 为 R 上的增函数， ，
于是 ，即 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：D
5. 已知函数 （ 且 ），若函数 的值域为 ，则实数 a 的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】分析可知当 时， ，由题意可知当 时，则 值域包含 ，
分 和 两种情况，结合指数函数性质分析求解.
【详解】当 时，则 ，
且 ，所以 ，
若函数 的值域为 ，可知当 时，则 的值域包含 ，
若 ，则 在 内单调递减，
可得 ，不合题意；
若 ，则 在 内单调递增，
可得 ，则 ，解得 ；
综上所述：实数 a 的取值范围是 .
故选：B.
6. 已知函数 ，若 对 均有 成立，则实数
的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 分 析 可 知 ， ， 可 得 出 对 恒 成 立 ， 令
，由题意可得出 ，即可求得实数 的取值范围.
【详解】因为函数 ，则函数 在 上为增函数，
因为 对 均有 成立，
则 ，即 对 恒成立，
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令 ，则 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
7. 中国的 5G 技术领先世界，5G 技术中的数学原理之一是香农公式： ，它表示在被高
斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率 取决于信道带宽 、信道内所传信号的平均功率 S、信道内
部的高斯噪音功率 的大小，其中 叫做信噪比.已知当 比较大时， ，按
照香农公式，由于技术提升，宽带 在原来的基础上增加 ，信噪比从 1000 提升至 8000，则 大约增
加了（ ）（附： ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为 1000 和 8000 时 的比值即可求解.
【详解】由题意可得，当 时， ，
当 时， ，
所以
，
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所以 的增长率约为 .
故选：D
8. 已知定义在 上的奇函数 的导函数为 ， ，当 时， ，则不等
式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复合函数 和函数的奇偶性得到 的单调性，再分 的范围解不等式即可；
【详解】 时， 即 ，
在 上单增，
又 为奇函数，
为偶函数，
在 上单减，
，故 ，
所以 或 时 ，当 或 时 ，
当 时， ， ；
当 时， ，若 则 ， ，
若 则 ， ，
若 则 ， ，不符合题意；
综上， ，
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故选：A.
二、多选题，每小题 6 分，共 18 分
9. 已知定义在 上的函数 不恒等于 ，且对任意的 ，有
，则（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 的图象关于点 中心对称
D. 是 的一个周期
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用赋值法令 根据表达式可判断 A 正确，再根据偶函数定义可得 B 正确；取 并根
据对称中心定义可得 C 正确，由对称中心以及偶函数性质可判断 是 的一个周期，可得 D 错误.
【详解】对于 A,根据题意令 ，则由 可得
，解得 ，即 A 正确；
对于 B,令 可得 ，所以 ，
即可得对任意的 满足 ，即 是偶函数，所以 B 正确；
对于 C,令 ，则由 可得
，
即 满足 ，因此可得 的图象关于点 中心对称，即 C 正确；
对于 D,由于 是偶函数，所以满足 ，即 ，
可得 ，也即 ，所以 是 的一个周期，即 D 错误.
故选：ABC
10. 若 ，则（ ）
A. B.
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C D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由指数运算与对数运算进行比较大小即可．
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，A，B 均正确.
，
因为 ，所以 ，C 正确，D 错误.
故选：ABC
11. 设函数 ，则（ ）
A. 当 时， 是 的极小值点
B. 当 时， 有三个零点
C. 当 时，若 在 上有最大值，则 m 的取值范围为
D. 若 满足 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】求导，利用导数结合每个选项的条件计算可判断每个选项的正确性.
【详解】由 ，得 ，
对于 A：当 时，可得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 是 的极大值点，故 A 不正确；
对于 B：当 时，
若 时， ，若 时， ，若 ， ，
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又 ， ，
又 时， ；又 时， ，
所以当 时， 有三个零点，故 B 正确；
对于 C：当 时， ，
由 B 知若 时， ，若 时， ，若 ， ，
又 ，由 ，解得 ，
所以若 在 上有最大值，则 ，故 C 错误；
对于 D：由 ，可得 ，
所以 对 恒成立，所以 ，
解得 ，故 D 正确.
故选：BD.
三、填空题
12. 记函数 定义域为 A， 的定义域为 B．若
，则实数 a 的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】由 ，得 或 ，据真数大于零，求出函数 的定义域，再由
列出不等式，结合 求出 的范围即可.
【详解】由题意得 ，解得 或 ，
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即 或 ，
根据题意 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
即 ，
因为 ，
所以 或 ，
解得 或 ，
又 ，
所以 或 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为：
13. 函数 ， ，若 ， 使 成立，
则 的取值范围是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数以及二次函数单调性分别求得两函数值域，再根据题意得出两值域的包含关系即可
得出 的取值范围.
【详解】由 以及 可得 ；
再由 以及 可得 ；
若 ， 使 成立可得 ，
即 ，解得 ；
又 ，因此 的取值范围是 .
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故答案为：
14. 设 是定义在 R 上的偶函数，对任意的 ，都有 ，且当 时，
.若关于 x 的方程 在区间 内恰有三个不同实根，则实
数 a 的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数及 可以推出 的周期，在坐标平面中画出两个函数的图象，依
据它们有三个不同的交点得到 ，解这个不等式组可得 的取值范围.
【详解】因为 为偶函数，故
所以 ，
故 是函数且周期为 4，
因为 时， ，
故 在 上的图象如图所示：
因为 有 3 个不同的解，
所以 的图象与 的图象有 3 个不同的交点,
故 ，即 解得 .
故实数 a 的取值范围是 .
故答案为：
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四、解答题
15. 已知集合 、集合 （ ）.
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）设命题 ： ；命题 ： ，若命题 是命题 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分 、 讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；
（2）根据充分不必要条件分 、 讨论，即可求解.
【小问 1 详解】
由题意可知 ，
又 ，当 时， ，解得 ，
当 时， ， 或 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 ；
【小问 2 详解】
∵命题 是命题 的必要不充分条件，∴集合 是集合 的真子集，
当 时， ，解得 ，
当 时， （等号不能同时成立），解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 .
16. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）求函数 的解析式；
（2）判断并证明 在 上的单调性；
（3）解不等式 .
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【答案】（1） ， ．
（2） 在 上为减函数,证明见解析.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可得 ，结合 可得 ，故可求函数的解析式.
（2）根据单调性 定义可得 在 上为减函数；
（3）根据（2）中的单调性可求不等式的解.
【小问 1 详解】
函数 是定义在 上的奇函数， ，解得： ，
∴ ，而 ，解得 ，
∴ ， ．
【小问 2 详解】
函数 在 上为减函数；证明如下：
任意 ， 且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，所以函数 在 上为减函数．
【小问 3 详解】
由题意，不等式 可化为 ，
所以 ，解得 ，所以该不等式的解集为 ．
17. 已知函数 ，且曲线 在点 处的切线斜率为 .
（1）比较 和 的大小；
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（2）讨论 的单调性；
（3）若 有最小值，且最小值为 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；
（2）答案见详解； （3） .
【解析】
【分析】（1）根据导数意义列方程即可求解；
（2）求导，分 和 讨论导数符号即可得解；
（3）利用（2）中结论表示出最小值，然后利用导数求最值即可.
【小问 1 详解】
，由题知 ，
整理得 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时，在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问 3 详解】
由（2）知，当 时， 无最小值，
当 时， 在 处取得最小值，所以 ，
记 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
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所以 在 上单调递增，在 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
即 的最大值为 .
18. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 在区间 上的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义结合给定条件求解切线方程即可.
（2）利用导数结合零点存在性定理求出函数单调性，再求解最值即可.
【小问 1 详解】
由题意得， ，
所以 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ；
【小问 2 详解】
由上问得 ，
因为 和 均在区间 上单调递减，
所以 在区间 上单调递减，
因为 ，
，
所以 在 上有且只有一个零点，记为 ，
所以 时， ； 时， ，
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所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，
所以 在区间 上的最小值为 ．
19. 已知函数 ，
（1）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，试求 ；
（2）证明 ；
（3）设 是 的根，则证明：曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线.
【答案】（1） .
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由 ，得 ，再利用换元法求 ；
（2）分区间讨论各因式的符号或利用导数证明；
（3）取曲线 上的一点 ，设 在 处的切线即是 在 处的切线，证
明直线 的斜率等于 在 处的切线斜率和 在 处的切线斜率即可.
【小问 1 详解】
因为 的图象与 的图象关于直线 对称，所以 .
又因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
因此 .
【小问 2 详解】
证明：
解法 1：当 时， 且 ，此时 ；
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当 时， 且 ，此时 ，
故综上 .
解法 2： ，令 ， 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
因此当 时， ； 当 ；
因此 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 .
【小问 3 详解】
证明：不妨取曲线 上的一点 ，设 在 处的切线即是 在 处的切线，
则 ，得 ，则 的坐标 ，
由于 ，所以 ，
则有 ，
综上可知，直线 的斜率等于 在 处的切线斜率和 在 处的切线斜率，
所以直线 AB 既是曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线.
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