2024-2025学年江苏省常州市六校联合体高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省常州市六校联合体高一（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=i1−2i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(3,m)，b=(1,−1)，|a+b|= 17，则m的值为( )
A. 0B. −2C. 0或−2D. 0或2
3.在△ABC中，已知a=8，B=30°，C=105°，则b等于( )
A. 323B. 4 3C. 4 6D. 4 2
4.要得到y=sin(2x−π3)的图象，只要将y=sin2x的图象( )
A. 向左平移π3个单位B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位
5. 3sin20°−1cs20∘=( )
A. −4B. −2C. 2D. 4
6.已知α，β∈(0,π)，且tanα=17，csβ=45，则α+β=( )
A. π4B. 3π4C. π6D. 2π3
7.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，P为线段BN上一点，若AP=(m+110)AB+110BC，则m=( )
A. 310
B. 25
C. 35
D. 710
8.已知△ABC的两个内角A，B(A≠B)都是关于x的方程cs2x+2mcsx+2m2−12=0的解，其中−10
C. 若m∈R，则z=m+1+(m2−2m−3)i不可能是纯虚数
D. 若|z|≤1，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为2π
10.已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2+b2−c2=4 33S△ABC，则下列条件能使△ABC成为锐角三角形的是( )
A. A=π6B. a=2，b=3C. a=2，c=3D. b=3，c=2
11.已知f(x)=sin(2x+π3)，则下列说法正确的是( )
A. f(x)在区间[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)上单调递增
B. 将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到曲线C，则曲线C关于原点对称
C. 若f(x+φ)是偶函数，则φ=kπ2+π12(k∈Z)
D. 若f(ωx)(ω>0)在区间[0,π]上恰有3个零点，则ω∈[43,116)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量，则e1与e1−2e2的夹角为 ．
13.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcsC+bsinC=a+c，则B= ______．
14.已知坐标平面内OA=(1,5),OB=(7,1),OM=(1,2),OP=λOM,λ∈R.当PA⋅PB取最小值时cs∠APB的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知m∈R，若z=(m+i)(−1+mi)为纯虚数，求m的值．
(2)已知复数z满足z+|z−|=8+4i，求z．
16.(本小题15分)
已知向量a=(−1,0)，b=(x,1)．
(1)若(3a+2b)⊥(3a−2b)，求x；
(2)若a在b方向上的投影向量为12b，且a+λb与a+2b的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
17.(本小题15分)
已知cs(α+β)=2 55，tanβ=17，且α、β∈(0,π2)．
(1)求cs2β−sin2β+sinβcsβ的值；
(2)求2α+β的值．
18.(本小题17分)
已知m=( 3sinωx,csωx)，n−=(csωx,−csωx)(ω>0,x∈R)，f(x)=m⋅n−12，且f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b= 3，f(B)=0，
(i)求a+csinA+sinC的值．
(ii)求△ABC面积的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0−35,且λ≠2}．
17.解：(1)已知cs(α+β)=2 55，tanβ=17，且α、β∈(0,π2)．
所以00，
所以α+β∈0,π2，
所以2α+β∈0,π，
又tan(2α+β)=1，
所以2α+β=π4．
18.(1)f(x)= 3sinωxcsωx−cs2ωx−12= 32sin2ωx−12cs2ωx−1=sin(2ωx−π6)−1，
由f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2，有T=2π2ω=π，得ω=1，
所以f(x)=sin(2x−π6)−1．
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ(k∈Z)，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)．
(2)(i)已知f(B)=sin(2B−π6)−1=0，由B∈(0,π2)，得B=π3，
由正弦定理asinA=csinC=bsinB= 3 32=2，得a=2sinA，c=2sinC，
所以a+csinA+sinC=2sinA+2sinCsinA+sinC=2；
(ii)由(i)可知a=2sinA，c=2sinC，S△ABC=12acsinB= 3sinAsinC= 3sinAsin(2π3−A)=32sinAcsA+ 32sin2A=34sin2A− 34cs2A+ 34= 32sin(2A−π6)+ 34，
由△ABC是锐角三角形，有0