内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题含解析

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这是一份内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120 分钟满分：150 分命卷人：闫智审核人：数学组
一、选择题（每小题 5 分，共 8 小题 40 分）
1. 已知集合，，若，则实数的值为（）
A. B. 0
C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，得到，再由集合元素的互异性求解.
【详解】因为，所以，
又，所以且，
所以，所以或（舍去），
此时满足 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念，集合中元素的互异性，属于基础题.
2. 函数的定义域是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义需满足的条件，解不等式组，即得答案.
【详解】函数要有意义，需满足，
解得且，即函数的定义域是，
故选：D
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3. 计算（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的定义及对数的运算性质，求解即可.
【详解】因为，
故选：B.
4. 已知的终边经过点，则下列不正确的是（）
A. B. 可能等于
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据可得选项 A 正确；写出与终边相同的角可得选项 B 正确；根据可得选
项 C 错误；根据可得选项 D 正确.
【详解】由题意得， .
A. ，选项 A 正确.
B.由题意得，为第四象限角，由得，可能等于，选项 B 正确.
C. ，选项 C 错误.
D. ，选项 D 正确.
故选：C.
5. 45°角的弧度数是（）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】根据弧度数和角度之间的关系进行转化即可．
【详解】∵ 弧度，
∴ 弧度，
则弧度弧度，
故选：C．
6. 若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据任意角的概念及终边相同角的表示求解.
【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影内部分对应角的
范围是，
所以角的取值范围是．
故选：D．
7. 已知，且，则的值是（）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到
答案.
【详解】因为，则，
且，可得，
所以 .
故选：A.
8. 函数的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于的二次函数，结合二次函数性质可得值域．
【详解】，
因为，所以．即值域为，
故选：C．
二、多选题（每小题 6 分，共 3 小题 18 分）
9. 对于非零向量，下列命题正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
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D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算律以及有关概念对各个选项进行判断即可.
【详解】A. 若，则 ,故错误；
B. 若，则，所以成立，故正确；
C. 当为零向量时，满足，但是推不出，故错误；
D. 若，则，可得，
整理即可得到，故正确；
故选：BD
10. 已知向量，则下列结论正确的是（）
A. 向量是单位向量
B. 与可以作为基底
C. 在上的投影向量为
D. 与的夹角为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据单位向量的定义及向量模长的坐标运算即可判断选项 A；根据基底的定义即可判断选项 B；根
据投影向量的定义与计算公式即可判断选项 C；根据向量夹角的定义及坐标运算即可判断选项 D.
【详解】对于 A，，，故向量不是单位向量，选项 A 错误；
对于 B，∵向量与是不共线的非零向量，故向量与可以作为基底，选项 B 正确；
对于 C，在上的投影向量为，选项 C 正确；
对于 D，由题知 .
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，，即与的夹角为，选项 D 正确；
故选：BCD.
11. 若向量，则（）
A. B.
C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为
【答案】BC
【解析】
【分析】用坐标表示出向量，用模长公式求出模长即可判断 A 选项；用向量坐标求向量的数量积判断 B 选
项；由向量的投影向量的公式判断 C 选项；由坐标求出模长和向量的数量积，求出向量的夹角判断 D 选项.
【详解】由题，
所以，故 A 错；
又，故 B 正确；
，所以在上的投影向量为：，故 C
正确；
因，又，所以，故 D 错误.
故选：BC.
三、填空题（每小题 5 分，共 3 小题 15 分）
12. 已知向量与的夹角为 120°，，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义直接求解即可.
【详解】由，得，而向量与的夹角为 120°，且，
所以 .
故答案为：
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13. 已知扇形的周长为，面积为，则该扇形所在圆的半径是__________ .
【答案】2
【解析】
【分析】设该扇形的弧长为，半径为，根据已知条件可得出关于、的方程组，即可得解.
【详解】设该扇形的弧长为，半径为，
则，解得，
所以扇形所在圆的半径为 2.
故答案为：2.
14. 若为锐角，且，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】通过平方关系求出和的值，再根据两角和的余弦公式即可得解.
【详解】因为为锐角，且，所以，
所以．
故答案为： .
四、解答题（每小题 13．14．15．16．17 分，共 5 小题 77 分）
15. 已知函数满足 .
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用换元法求函数解析式即可；
（2）根据二次函数的图象与性质计算即可求解.
【小问 1 详解】
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设，则，
所以，
则 .
【小问 2 详解】
由（1）可知，则的图象关于直线对称.
由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
则 .
因为，，所以 .
故在上的值域是 .
16. 已知向量，满足，，且与的夹角为．
（1）求及的值；
（2）若，求值．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由数量积的定义和模长的计算求出结果即可；
（2）由向量垂直时数量积为零和数量积的运算律求出结果即可.
【小问 1 详解】
因为，，与的夹角为，
所以，
则
．
【小问 2 详解】
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由，得，
即，
得，
解得．
17. 已知函数．
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）当时函数的最小值为 2，求实数的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【小问 1 详解】
，
，，
减区间为．
【小问 2 详解】
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，，
当时，有最小值为，
由已知，．
18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列
表并填入了部分数据如下：
0
0 0
（1）求，，；
（2）求函数在区间上最值及取得最值时的值．
【答案】（1），，
（2）当时，取得最大值 2，当时，取得最小值
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求解即可.
（2）由范围求得的范围，进而可求得函数最值.
【小问 1 详解】
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由题表可知，，解得，， .
【小问 2 详解】
由（1）知，，
∵ ，∴ ．
令，得，令，得，
∴当时，取得最大值为 2，当时，取得最小值为 .
19. 已知函数，将函数的图象上的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再
将得到的图象向右平移个单位长度，最后再将得到的图象上点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），
得到函数的图象．
（1）求函数的解析式；
（2）已知，若关于 x 的方程在区间上恰有两个实数根，求实数 a 的取值
范围．
【答案】（1）；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用图象变换求出函数解析式.
（2）由（1）求出的解析式，分析函数在的性质，作出图象，借助图象求出 a 的范围.
【小问 1 详解】
将函数的图象上的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得函数的图象，
再将得到的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，
最后将得到的图象上点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），得到函数的图象，
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所以函数的解析式是 .
【小问 2 详解】
由（1）知，，当时，，
由，得，由，得，
因此函数在上递增，函数值从增大到，在上递减，函数值从减小到，
函数在上的图象，如图，
当时，直线与函数在上的图象有两个公共点，
所以方程在区间上恰有两个实数根，实数 a 的取值范围是 .
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