内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题 含解析

这是一份内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题 含解析，共17页。试卷主要包含了 在等差数列 中， ， ，则， 已知函数 ，则， 已知函数， 函数 的图象大致是等内容，欢迎下载使用。
注意：本试卷包含两卷，第一卷为选择题，所有答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置
.第二卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置，答案写在试卷上均无效，不予记
分.
第一卷
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知条件列方程组求出 ，从而可求出
【详解】设等差数列 的公差为 ，则由题意可得
，解得 ，
所以 ，
故选：C
2. 已知函数 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的定义计算可得.
【详解】因为 ，则
.
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故选：D
3. 已知函数 （ 是 的导函数），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于原函数和导函数，分别取 ，代入运算求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
又因为 ，
当 时， ，解得 ，
所以 .
故选：D.
4. 已知函数 存在单调递减区间，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数存在单调递减区间可转化为当 时， 有解，等价于 在 上有
解；令 ，利用导数求得 的最小值，从而可得 的取值范围.
【详解】由题意得：
函数 存在单调递减区间
当 时， 有解，即当 时， 有解
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等价于 在 上有解
令 ，则
当 时， ，当 时，
则 在 上单调递减，在 上单调递增 ；
本题正确选项：
【点睛】本题考查能成立问题 求解，关键是能够将函数存在单调递减区间转化为 有解的问题，
进而通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与函数最值之间的关系问题，属于常考题型.
5. 已知 在 处的极大值为 5，则 （ ）
A. B. 6
C. 或 6 D. 或 2
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数 的导数，利用极大值及极大值点求出 并验证即得.
【详解】函数 ，求导得 ，
依题意， ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，因此 在 处取得极小值，不符
题意；
当 时， ，
当 时， ，当 或 时， ，因此 在 处取得极大值，符合
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题意，
所以 ，所以 .
故选：B
6. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数奇偶性，以及求导判断函数的单调性，即可求解相应不等式.
【详解】 ，
， 为奇函数，
则 ，
， ，
， 为减函数，
又 ，
则 ，
，
或 .
故选：C
7. 函数 的图象大致是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断 的奇偶性和在 上的单调性，即可唯一确定正确选项.
【详解】设 ，则 的定义域是 ，同时
，故 是奇函数，排除 B 选项；
当 时， ， ，所以当 时， ；当 时， .
故 在 上递增，在 上递减，能够体现 在 上先递增后递减的图象只有 D 选项
.
故选：D.
8. 若过点 可以作三条直线与曲线 ： 相切，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求得切点 处的切线方程，根据经过 ，得到 关于 的函
数关系，然后利用导数研究单调性，结合最值和极限，可以得到 的取值范围.
【详解】设一个切点为 ，
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则由 ，可得该点处的切线方程 ，
当 经过点 时，有 ，即 ，
则过点 切线的条数即为方程 的解的个数.
设 ，则 ，
当 或 时 ，当 时， ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， ，当 时， ，
又由 ， ，可得 时， 有三个解，
故选：D.
二､多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）
A. 是函数 的极值点 B. 3 是函数 的极大值点
C. 在区间 上单调递减 D. 1 是函数 的极小值点
【答案】AC
【解析】
【分析】根据导函数的图象，得出函数的单调区间，进而即可得出函数的极值情况.
【详解】对于 A 项，由图象可知，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
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当 时， ，所以 在 上单调递减.
所以， 在 处取得极大值.故 A 正确；
对于 B 项，由图象可知，
当 时， 恒成立，且不恒为 0，所以 在 上单调递减.
所以，3 不是函数 的极大值点.故 B 错误；
对于 C 项，由 B 可知， 在区间 上单调递减.故 C 正确；
对于 D 项，由 B 可知， 在 上单调递减.
所以，1 不是函数 极小值点.故 D 错误.
故选：AC.
10. 已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
A. 的图象在 处的切线斜率大于 0
B. 的最大值为
C. 在区间 上单调递增
D 若 有两个零点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数的导数逐项判断求解即可.
【详解】由题得 ，则 ，故 A 错误；
当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递减，
所以 的极大值即最大值为 ，故 B 正确，C 错误；
令 ，则 ，
由 知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
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所以 的极大值为 ，且当 趋向于 时， 趋向于 ，当 趋向于 时， 趋
向于 ，
所以若 有两个零点，则 ，即 ，故 错误.
故选：ACD
11. 关于函数 ， ，下列说法不正确的是（ ）
A. 当 时， 在 上单调递增 B. 当 时， 恒成立
C. 当 时， 在 上单调递增 D. 当 恒成立，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用导数与函数的单调性可判断 AC 选项；当 时，解不等式 可判断 B 选项；由
恒成立求出 的取值范围，可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，当 时， ，则 ，解得 ，
故当 时，函数 的增区间为 ，A 错；
对于 B 选项，当 时，由 可得 ，解得 ，B 错；
对于 C 选项，当 时，则 对任意的 恒成立，
此时，函数 在 上单调递增，C 对；
对于 D 选项，当 时，函数 在 上 增函数， ，
此时不等式 不恒成立；
当 时， 恒成立；
当 时，由 可得 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，
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所以， ，可得 ，解得 .
综上所述，当 恒成立， ，D 正确.
故选：AB.
【点睛】方法点睛：求解函数不等式恒成立方法：
（1）分离参数法：若不等式 在区间 上恒成立，可将参数 与变量 分离，
转化 或 在区间 上恒成立问题；
（2）最值法；
（3）数形结合法：将函数恒成立问题转化为两个函数图像的位置关系问题；
（4）变更主元法：当函数中含有多个变量时，可根据具体情况选择一个变量作为主元，将问题转化为关于
主元的函数恒成立问题；
（5）构造函数法.：通过构造新函数，利用新函数的性质来解决原函数的恒成立问题.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的极小值点为______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用导数判断单调性，进而判断极小值点.
【详解】函数 的定义域为 R，
令 得 ， ，
当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增.
综上所述， 在 处取得极小值，即 的极小值点为 2．
故答案为：2.
13. 已知函数 在区间 上不单调，则 m 的取值范围是______
．
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【答案】
【解析】
【分析】即导函数在在区间 内有零点.
【详解】由题意知 ，
因为 在区间 上不单调，
即 在区间 有零点，
又 ，即为 的零点 在区间 内，
所以 解得 ，即 m 的取值范围是 ．
故答案为：
14. 若直线 与曲线 相切，则 的最大值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】设切点坐标为 ，利用导数的几何意义可得 ，结合切点 在切线
与曲线上，得到 ，令 ，构造函数 ，然后求函数最值即可
得答案.
【详解】设切点坐标为 ，因为 ，所以 ，故切线的斜率为： ，
，则 ．又由于切点 在切线 与曲线 上，
所以 ，所以
令 ，则 ，设 ，
，令 得： ，
所以当 时， ， 是增函数；当 时， ， 是减函数．
所以 ．所以 的最大值为 1,
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故答案为：1.
四､解答题：本题共 6 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ，a 为实数.
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 在区间 上是减函数，求 a 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求出函数 的导函数 ，对 和 进行比较即可得到 的单调性；
（2）根据 的取值范围，分 和 进行求解，当 时分离出 ，根据 的单调性，
即可得出 的取值范围.
【详解】（1） ，
当 ，即 时， ， 在 R 上单调递增，
当 ，即 时，由 得 或 ，由 得 .
分别在 与 上单调递增，在 单调递减，
综上所述，当 时， 在 R 上单调递增；
当 时， 分别在 与 单调递增，在 单调递减.
（2）由已知得 在区间 上恒成立，
在区间 上恒成立，
当 时， ；当 时， .
而 在 上单调递增， 时， ，则 .
综上 .
【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，本题将 分离是
解题的关键，考查学生的分析能力，和计算能力，属于中档题.
16. 已知函数 ， ．
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（1）讨论函数 的单调性；
（2）求函数 在区间 上的最小值．
【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析；
【解析】
【分析】（1）求出导函数 ，分类讨论确定 和 的解，得单调性；
（2）结合（1）的单调性分类讨论得最小值．
【小问 1 详解】
的定义域是 ，
，
时， 恒成立， 在 上是减函数；
时， 时， ， 时， ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，
综上， 时， 在 上是减函数； 时， 在 上是减函数，在 上是增函
数．
【小问 2 详解】
由（1）当 时， 在 上递减， ；
时，即 时， 在 上递减， ；
，即 时， 在 上是减函数，在 上是增函数， ．
综上， 或 时， ， 时， ．
17. 已知函数 .
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（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的极值；
（3）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）极小值为 ，无极大值
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，即可得斜率，进而可求直线方程，
（2）求导，根据导数求解单调性，即可求解极值，
（3）将恒成立问题参数分离，构造函数 即可求导求解最值求解.
【小问 1 详解】
由 得 ，又 ，
所以 在 切线为
【小问 2 详解】
令 ，则 ，故 在 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以当 时， 取极小值 ，无极大值，
【小问 3 详解】
由 得 ，
故 ，
构造函数 则 ，令 ，则 ，
故当 时， ， 单调递增， 时， 单调递减，
故当 取极小值也是最小值， ，
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所以 ，即
18. 已知函数 .
（1）当 时，求函数 在 上的值域；
（2）若函数 在 上仅有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数求得 的单调区间，进而求得函数 在 上的值域；
（2）由 ，构造函数 ，利用导数，结合对 进行分类讨论来求得 的
取值范围.
【小问 1 详解】
当 时， ，所以 ，
令 ，则 ，
0
单调递减 极小值 单调递增
所以 ，又 ，
所以 在 上的值域为 .
【小问 2 详解】
函数 在 上仅有两个零点，
令 ，则问题等价于 在 上仅有两个零点，
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易求 ，因为 ，所以 .
①当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上没有零点，不符合题意；
②当 时，令 ，得 ，
所以在 上 ，在 上 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
因为 在 上有两个零点，
所以 ，所以 .
因为 ，
令 ，
所以在 上 ，在 上， ，所以 在 上单调递减，在 上单调
递增；
所以 ，所以 ，
所以当 时， 在 和 内各有一个零点，即当 时， 在 上仅有两
个零点.
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定 的定义域；（2）计算导数 ；（3）求出
的根；（4）用 的根将 的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内 的符号，进而
确定 的单调区间： ，则 在对应区间上是增函数，对应区间为增区间； ，则
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分
类讨论要做到不重不漏.
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19. 已知函数 ， .
（1）若函数 存在两个极值，求 的取值范围；并证明：函数 存在唯一零点.
（2）若存在实数 ， ，使 ，且 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；证明见解析；(2)
【解析】
【分析】(1)求出 的导数，结合二次函数的性质得到关于 的不等式组，解出即得 的范围；令
，求出 ，得到 至多有一个零点，再验证
，即可证明；
(2)求出 ，以及 ，设 ，记
，根据导数与单调性，最值的应用，即可求解.
【详解】由题意 ，
所以方程 有两个不相等的正实数根 ，不妨设 ，则
，解得： ，
所以 的取值范围为 ；
由题易知 在 处取得极大值，当 处取得极小值，且有
，故 ，
令 ，故 ，
令 ，解得 ，
由导数与函数的最值可知：
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故 ，所以 至多有一个零点，
又因 ，
所以函数 存在唯一零点；
由题意知： ，
即 ，
故 ，
设 ，记
则 ，
所以 在定义域上单调递减，所以 ，
即 ，
故 的取值范围.为 .
【点睛】本题考查函数的单调性，最值问题，导数的应用，考查了换元思想及转化思想，是一道综合题，
属于难题.
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