湖南省长沙市雅礼集团八校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市雅礼集团八校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析），文件包含湖南省长沙市雅礼集团八校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题原卷版docx、湖南省长沙市雅礼集团八校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量.若，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
3. 如图，在直角梯形中，，，，，，用斜二测画法画出水平放置的梯形的直观图为四边形，则四边形的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ）
A B. C. D. 或
5. 已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量共面，且满足，则（ ）
A B. C. D. 2
6. 如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（ ）（）

A. 8米B. 9米C. 40米D. 45米
8. 如图，在长方体中，，，，E､F分别为棱､的中点.动点P在长方体的表面上，且，则点P的轨迹的长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且，则
D. 若，，且，则
10. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A.
B. 的虚部为
C.
D. 在复平面内对应的点位于第四象限
11. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则与同向的单位向量为
C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则________．
13. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______．
14. 在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，，平面，则__________，四面体的外接球的表面积为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知、、在同一平面内，且，.
（1）若，且与共线，求的坐标；
（2）若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向？
16. 已知复数()实部与虚部的差为．
（1）若，且，求复数在复平面内对应的点的坐标；
（2）当取得最小值时，求复数的实部．
17. 如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.
（1）求证：；
（2）当时，求三棱锥的体积.
18. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且．
（1）求证：平面平面PAC；
（2）求证：平面PAC；
（3）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．
19. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
（1）求A；
（2）设的外接圆圆心为O，且，（为定值）.如图，ABP是以AB为半径，为圆心角的扇形，点D为BC边上的动点，点E为AC边上的动点，满足DE与相切，设.
①当，时，求；
②在点D、E的运动过程中，的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.