湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 分值：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A.4B.3C.2D.1
2.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.命题“，有实数解”的否定是（ ）
A.，有实数解B.，无实数解
C.，无实数解D.，有实数解
4.已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ）
A.①②B.①③C.②④D.③④
5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）
A.B.
C.D.
6.若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.B.C.D.
7.已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.若函数，为在上的单调增函数，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.对于函数，下列说法正确的是（ ）
A.若，则函数的最小值为2B.若，则函数在上单调递增
C.若，则函数的值域为D.若，则函数是奇函数
10.已知二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ）
A.B.
C.D.不等式的解集为
11.定义在上的函数满足，当时，.则下列说法正确的是（ ）
A.B.为奇函数
C.在区间上有最大值D.的解集为
三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，，则的范围为________.
13.定义在上的函数满足：①为偶函数；②在上单调递减；③，请写出一个满足条件的函数________.
14.对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”.已知集合，则的“小和数”为________，的“大和数”为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知集合，集合或，全集.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围.
16.（15分）已知幂函数是定义在上的偶函数.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，恒成立，求实数的取值范围.
17.（15分）已知关于的不等式.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）当时，求关于的不等式的解集.
18.（17分）为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：
第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；
第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元部分打8折；
第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分打8折，超过500元的部分打7折.
若某顾客一次性购买商品金额为元，实际支付金额为元.
（1）求关于的函数解析式；
（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为、元，且、满足关系式，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．
（提示：折扣省下的钱甲购买商品的金额乙购买商品的金额甲乙拼单后实际支付的总额）
19.（17分）经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“是奇函数”.
（1）若为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式；
（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“为奇函数”.若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，.
（i）求的解析式；
（ii）若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为函数的“保值”区间，若函数在上存在保值区间，求的取值范围.
雅礼教育集团2024年下学期期中考试参考答案高一数学
1.B 2.A 3.C
4.D 【详解】对于①，，当时，，故①不满足题意；
对于②，，当时，，故②不满足题意；
对于③，，当时，，当时，，故③满足题意；
对于④，，当时，，当时，，故④满足题意. D.
5.A
6.C 【详解】因为，，当，时，，，，所以ABC选项错误.由基本不等式，得，选C.
7.A 【详解】定义在上的奇函数在上单调递减，故函数在上单调递减，且，故，
函数在和上满足，在和上满足.
，当时，，即；当时，，即.
综上所述：.故选A.
8.C 【详解】，解得.实数的取值范围是，故选C.
9.BCD 10.ACD
11.ABD 解：因为函数满足，所以，
即，则；令，则，
故为奇函数；设，且，则，
即，所以在上是减函数，
所以在区间上有最大值；由，得，
由在上减函数，得，即，解得，
所以的解集为，故选ABD.
12. 13.（答案不唯一）
14.5，80 【详解】由题意可知，的“小和数”为，
集合中一共有5个元素，则一共有个子集，
对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，且无重复，
则与的“小和数”之和为的“小和数”，这样的子集对共有个，
其中时，，考虑非空子集，则子集对有对，
则的“大和数”为.故答案为：5；80.
15.【详解】（1）因为对任意恒成立，所以，
又，则，解得；
（2）若，是真命题，则有，则或，所以或.
16.【详解】（1）因为是幂函数，所以，
解得或，又函数为偶函数，故，；
（2）原题可等价转化为对恒成立，
分离参数得，因为对恒成立，则，
当时，，
当且仅当即时取得最小值.故.
17.【详解】（1）解：当时，不等式可化为解得或，
所以当时，不等式的解集是或.
（2）①当时，原式可化为，解得；
②当时，原式可化为，令，解得或1；
1）当时，.故原不等式的解为；
2）当时，解得；
3）当时，，原不等式的解为；
③当时，原式可化为，
1）当时，，或；
2）当时，不等式为，；
3）当时，，或.
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，不等式的解集是或；
当时，不等式的解集为；当时，解集是或.
18.【详解】（1）由题意，当时，；
当时，；
当时，.
综上，.
（2）甲乙购买商品的金额之和为.
（元）
当且仅当即时，原式取得最小值.
此时（或，舍去），（元）
因为，则拼单后实付总金额（元）
故折扣省下来的钱为（元）.
则甲乙拼单后，甲实际支付（元），乙实际支付（元）
而若甲乙不拼单，因为，故甲实际应付（元）；
，乙应付（元）.
因为420元422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则乙实付金额比不拼单时的实付金额还要高，因此该分配方式不公平.
（能够答出“乙购买的商品的金额是甲购买商品的金额的4.5倍，则乙应减的价钱应是甲的4.5倍，故不公平”之类的答案的可酌情给分）
答：当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方式对乙不公平.
19.【详解】（1）为定义在上的奇函数，当时，，所以，又，所以；
（2）（i）因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，
所以为奇函数，所以，即，
时，，所以.
所以；
（ii），
a）当时，在单调递增，
当时，则，即方程在有两个不相等的根，
即在有两个不相等的根，
令，因为，
所以不可能在有两个不相等的根；
b）当时，在单调递增，
当时，则，即方程在有两个不相等的根，
即在有两个不相等的根，
令，则有，解得.
c）当时，易知在上单调递增，
所以在单调递增，此时，
即
令，则易知在递减，
所以即，又时，，
当且仅当，即时取等，以，
此时无解；的范围是.