湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的值（ ）
A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在
【答案】A
【解析】，，．
故选：A
2. 如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长2，则，，，
，，，
设异面直线与所成角为,，
则,所以.
故选：C
3. 设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，在复平面内的对应点关于实轴对称,所以 ,所以,故选B.
4. 设向量满足， ，则= （ ）
A. 1B. 2C. 3D. 5
【答案】A
【解析】因为，，两式相加得：，所以，故选A.
考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识与基本题型是解答好本类题目的关键．
5. 已知、是球的球面上的两点，，点为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，
当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，.
因此，球的表面积为.
故选：A.
6. 若，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得，
，，
.
故选:D.
7. 设A，B，C，D是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若，则是（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形
【答案】D
【解析】，
即，，，
所以，为等腰三角形.
故选：D
8. 如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 与平面所成的角为
D. 四面体的体积为
【答案】B
【解析】对于A，因为，，所以，
若，因为，，平面，平面，所以平面，
可得，这与矛盾，故A错误；
对于B，因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
得，又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，所以，故B正确；
对于C，平面，所以就是与平面所成的角，
因为，所以与平面所成的角为，故C错误；
对于D，四面体的体积为，故D错误.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数z满足，则（ ）
A. 复数z虚部的最大值为2
B. 复数z实部的取值范围是
C. 的最小值为1
D. 复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
【答案】ABC
【解析】满足的复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，如图，
由图可知，虚部最大的复数，即复数z虚部的最大值为2．A正确；
实部最小的复数，实部最大的复数，所以实部的取值范围是，B正确；
表示复数在复平面内对应点到的距离，所以的最小值为，C正确；
由图可知，复数在复平面内对应点位于第一、二、三、四象限，故D错误．
故选：ABC
10. 下列四个选项中，化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】对于A项，，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，，故C项正确；
对于D项，，
故D项正确.
故选：BCD.
11. 已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法正确的是（ ）
A. 若平面，则，
B. 存在平面，使得，，
C. 有且只有一对互相平行的平面和，其中，
D. 至多有一对互相垂直的平面和，其中，
【答案】BC
【解析】对于A，如下图所示，
在正方体中取为，为，为，平面为平面，则，，故A错误；
对于B，在正方体中取为，为，为，平面为平面，此时，，，故B正确；
对于C，由线面垂直的判定可知，，，过直线且与垂直的平面只有一个，过直线且与垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面和，其中，，故C正确；
对于D，在正方体中取为，为，为，此时平面平面，平面平面，即至少存在两对互相垂直的平面和，其中，，故D错误；
故选：BC
三、填空题：（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是___________.
【答案】3
【解析】半径为的半圆弧长为，
圆锥的底面圆的周长为，圆锥底面半径为，
所以圆锥的高：，
故答案为：3.
13. 已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________.
【答案】或
【解析】法一 由，得.如图所示，

分别作,作，
由于是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以,
作，则,
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值,
故||的最大值是,
故答案为：
法二 由，得，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
设 ，由，
得 ，所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.
所以故答案为：
14. 已知，则_________．
【答案】
【解析】原式．
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 函数（）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
（1）求函数的解析式；
（2）设，则，求的值
解：（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2，
周期，∴f（x）=2sin（2x-）+1
（2），f（）=2∴2sin（-）+1=2,得sin（-）=，=
16. 在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点，
求证：（I）直线；
（II）．
证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点
．
（II） ⟹ ，又，
所以．
17. 在中，．
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）在中，根据正弦定理，，
于是.
（2）在中，根据余弦定理，得
于是，
从而，.
所以 .
18. 半径为1的圆内接，且．
（1）求数量积，，；
（2）求的面积．
解：（1），，
则，即得，
所以，同理，．
（2）由，，
由，，
得，
则，
同理，，
则，
所以．
19. 如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示．
（1）求证：；
（2）求四棱锥的体积；
（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
（1）证明：在平面图形中，连接CE，由勾股定理得，
因为且，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形ABCE为菱形，
在图中，连接AC交BE于点，则，
在立体图形中，，，
又，平面，
平面．
又平面，
；
（2）解：在平面图形中，由勾股定理得，
由（1）知，四边形ABCE为菱形，结合题设易得，故，
平面平面BCDE，且平面平面，平面，．
平面BCDE，
其中梯形的面积为，
；
（3）解：在立体图形中延长BE，CD，
设，连接．
平面，平面．
又平面，平面．
是平面与平面的交线，
平面平面BCDE，，平面平面，
平面，又平面，
，，
作，垂足为，连接CH，
又，平面，
平面OCH，又平面OCH，
．
即为平面与平面所成锐二面角的平面角．
由勾股定理得，，
故，为等边三角形，
在中，，，
所以，又，故，
由勾股定理得，
所以，
又，在中，，
．
平面与平面所成锐二面角的余弦值．