湖南省长沙市雅礼集团八校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题 含解析

这是一份湖南省长沙市雅礼集团八校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题 含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
2. 已知向量.若，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据可求出结果.
【详解】因为，所以，，.
因为，所以，
所以，所以，解得.
故选：C
3. 如图，在直角梯形中，，，，，，用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图为四边形，则四边形的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得直观图，进而可得面积.
【详解】用斜二测画法画出的水平放置的直角梯形的直观图如图所示，
可知四边形是梯形，，，，且，
过点作于点，由，故，
所以.
故选：C.
4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，
又因为，所以．
故选：B．
5. 已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量共面，且满足，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设，然后由解方程组求出，再利用模长的定义求出即可.
【详解】设，
因为，
又，即，
解得，
所以，
所以，
故选：A.
6. 如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求.
【详解】取、的中点、，连接，，，
则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则，
，得，
在直角梯形中，，则，
则正四棱台的体积为.
故选：B
7. 如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（ ）（）

A. 8米B. 9米C. 40米D. 45米
【答案】D
【解析】
【分析】设，得到可得，在直角中，根据列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，设，由，可得，
因为且，
在直角中，可得，解得，
所以.
故选：D.
8. 如图，在长方体中，，，，E､F分别为棱､的中点.动点P在长方体的表面上，且，则点P的轨迹的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出过点，点的平面，使得平面，此时的轨迹即为平面与长方体表面的交线，据此可求解出轨迹的长度.
【详解】连接，过作交于点，过点作交于点，连接，如下图所示：
因为为的中点，所以，
又因为平面，所以平面，所以，
又因为，且，所以平面，
所以的轨迹为，
因为，所以可知，
所以，所以，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以，
所以轨迹长度为：，
故选：A.
【点睛】本题考查线面垂直的综合应用，涉及到求解点的轨迹的长度问题，对学生的分析与转化能力要求较高，难度较难.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且，则
D 若，，且，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A,垂直于同一平面的两个平面有可能相交或平行，据此可以判断A；对于B,由面面平行的性质定理可以判断B；对于C,由线面平行的判定定理可知，若，则m不在平面，但题目所给条件没说，据此可以判断C；对于D,由线面垂直的判定定理可以判断D.
【详解】对于A，若，则与相交或，所以A不正确;
对于B，若，由面面平行的性质定理可得，所以B正确;
对于C，若，且，则或，所以B不正确;
对于D，若，且，由线面垂直的判定定理可得，所以B正确.
故选:BD.
10. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A.
B. 的虚部为
C.
D. 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AC
【解析】
【分析】AB选项，由共轭复数和虚部概念进行判断；C选项，分别求出两复数的模长，比较大小；D选项，利用复数除法法则计算出，得到对应的点坐标，进行判断.
【详解】A选项，，故，A正确；
B选项，的虚部为-2，B错误；
C选项，，故，C正确；
D选项，，
故在复平面内对应的点坐标为，位于第二象限，D错误.
故选：AC
11. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则与同向的单位向量为
C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D. 若，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量坐标运算求出判断A；利用数乘向量结果求出，再求出单位向量判断B；利用向量夹角为锐角列出不等式求解判断C；利用向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解判断D.
【详解】对于A，，则，解得，
则，，显然不存在，使，即，不共线，A错误；
对于B，，则，解得，即，，
，则与同向的单位向量为，B正确；
对于C，当时，，又与的夹角为锐角，
则，解得，且，即，C正确；
对于D，由，得，即，
则，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】直接解二次方程得到两个虚数根，从而利用复数的几何意义得到关于的方程，注意检验，从而得解.
【详解】因为方程，有两个虚数根，
所以，则，
又由，得，即，
所以，即，
所以的两个虚数根分别为，
它们在复平面上对应的点分别为，
所以它们之间的距离为，解得，满足，
所以.
故答案为：.
13. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，利用向量坐标的运算公式进行计算.
【详解】以A作坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，设，
则，解得：，
所以.
故答案为：6
14. 在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，，平面，则__________，四面体的外接球的表面积为______.
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】根据线面平行的性质定理可得，即可求解E为的中点，即可得，利用补形法，即可根据长方体的外接球的半径求解.
【详解】连接交于点，连接，因为，共面，且平面，
平面,平面平面，所以.
由于O为的中点，所以E为的中点，所以.
四面体可以补形为一个长方体，所以四面体的外接球的半径，
故四面体的外接球的表面积为.
故答案为：，
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知、、在同一平面内，且，.
（1）若，且与共线，求的坐标；
（2）若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向？
【答案】（1）或
（2），同向.
【解析】
【分析】（1）由题设，根据题意得到方程，解出即可；
（2）写出，，根据共线得到，解出值，代回验证即可.
【小问1详解】
与共线，则可设，
，，解得，
当时，；当时，，
故或.
【小问2详解】
，，
则由题意得，解得，
此时，
故此时与同向.
16. 已知复数()的实部与虚部的差为．
（1）若，且，求复数在复平面内对应的点的坐标；
（2）当取得最小值时，求复数的实部．
【答案】（1）．（2）
【解析】
【分析】
（1）由复数的实部、虚部的运算，可得，再结合题意可得，再确定在复平面内对应的点的坐标即可；
（2）先求出函数取最小值时对应的值，再结合复数的除法运算即可得解.
【详解】解：（1）由题意可得，
因为，
所以，
又，
所以，
即，
则，
所以在复平面内对应的点的坐标为．
（2）因为，所以当时，取得最小值，
此时，，
则，
所以的实部为．
【点睛】本题考查了复数的乘法、除法运算，重点考查了复数的实部、虚部的运算，属基础题.
17. 如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.
（1）求证：；
（2）当时，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线线垂直证平面，再证；
（2）由等体积法求.
【小问1详解】
证明：A，C重合于P，∵，∴，∵，∴，
又平面，平面，，∴平面，
∵平面PEF，∴；
【小问2详解】
由已知得，，，
则在中，边上的高.
则，
∴.
18. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且．
（1）求证：平面平面PAC；
（2）求证：平面PAC；
（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先证明平面PAC，平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面平面PAC；
（2）利用线线垂直证明线面垂直；
（3）由（2）知面PAC，可得为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC，PB的长度可得结论．
【小问1详解】
证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，
所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，
因为，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，
因为，平面MOE，平面MOE，所以平面平面PAC.
【小问2详解】
证明：因为点C在以AB为直径圆O上，所以，
即BCAC，因为PA平面ABC，平面ABC，所以PABC，
因为，平面PAC，平面PAC，所以BC平面PAC.
【小问3详解】
由（2）知BC面PAC，所以为直线PB与平面PAC所成的角，
在中，，在中，，
在中，，所以.
直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为.
19. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
（1）求A；
（2）设的外接圆圆心为O，且，（为定值）.如图，ABP是以AB为半径，为圆心角的扇形，点D为BC边上的动点，点E为AC边上的动点，满足DE与相切，设.
①当，时，求；
②在点D、E的运动过程中，的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）①；值为定值，此定值为.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简已知式可得，由辅助角公式可得，即可求出A；
（2）①由题意可得，由，得，代入即可求解；
②根据正弦定理、三角形的恒等变换和平面向量的数量积公式，即可求解.
【小问1详解】
根据正弦定理可得：，
即，
整理得：，即，
因为为三角形的内角，所以，即.
【小问2详解】
①由知，为AC中点，因为外接圆圆心为，所以，
由（1）知，，由，得，
当时，点与重合，切点，且，.
②在中，，
，
故，
所以在点D、E的运动过程中，的值为定值，此定值为.