安徽省卓越县中联盟（皖豫名校联盟）2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题（北师大版）（Word版附解析）

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数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 函数 的最小正周期为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
2. 值为（ ）
A. B. C. D.
3. 为了得到函数 图象，只需把函数 的图象（ ）
A. 向右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度
4. 已知平面向量 ， ， 满足 ， ，且 ，则 与 夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 若 ，则 （ ）
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A. B. C. D.
6. 如图，在平面四边形 中， ， ， ， ，则 的
长为（ ）
A. 1 B. C. D.
7. 已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. （ ）
A. B.
C. D.
10. 已知向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
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C. 若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围为
D. 与 夹角的余弦值为
11. 已知函数 ，则（ ）
A.
B. 直线 是曲线 的一条对称轴
C. 区间 上单调递增
D. 存在 ，使得 成立
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的最大值为_____.
13. 已知 ， 是两个互相垂直的单位向量，向量 满足 ， ，则对于任意的实数 ，
的最小值是_____.
14. 已知点 为 的重心， 分别为边 ， 上一点， 为 的中点，若 ， ， 三点
共线，且 ，则 的最大值为_____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 .
16. 已知函数 的最大值为 2，最小值为 0，且其图象的相邻两条
对称轴之间的距离为 .
（1）求 的解析式；
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（2）若函数 在区间 内有两个零点，求实数 的取值范围.
17. 在直角坐标系 中，已知点 ， ， ，点 满足 ，
，
（1）求 ；
（2）求 在 上的投影向量的坐标.
18. 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， ， 的平分线交 于点 ，求线段 的长；
（3）若 是锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
19. 已知 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为 的相伴向量，同时
称 为向量 的相伴函数.
（1）记 的相伴函数为 ，当 时，若 ，求 的值；
（2）已知动点 满足 ，且 的相伴函数 在 时取得最大值，求
的最小值；
（3）已知 为函数 相伴向量，在 中， ， ，且点 为
的外心，求 的最大值.
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