安徽省卓越县中联盟＆皖豫名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题（北师大版） 含解析

这是一份安徽省卓越县中联盟＆皖豫名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题（北师大版） 含解析，共16页。试卷主要包含了 若 ，则， 已知 ， ， ，则等内容，欢迎下载使用。
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 函数 的最小正周期为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦型函数的周期公式计算即得.
【详解】函数 的最小正周期为 .
故选：D.
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦的二倍角公式可得答案.
【详解】 .
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故选：A.
3. 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（ ）
A. 向右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数的平移变化即可得出的答案.
【详解】所以把函数 的图象向右平移 个单位长度可得：
，
故选：C.
4. 已知平面向量 ， ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 ，两边平方，由向量数量积运算得 ，再由夹角公式求解.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，得 ，
设 与 的夹角为θ，则 ，
因为 ，所以 .
故选：C
5. 若 ，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知式两边平方，可得 ，将所求式进行配方后，代入结论计算即得.
【详解】由 两边取平方，可得 ，解得
，
则 .
故选：B.
6. 如图，在平面四边形 中， ， ， ， ，则 的
长为（ ）
A 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在 中，由余弦定理得 ，在 中，由正弦定理得 .
【详解】在 中，由余弦定理得：
，
所以
在 中，由正弦定理得 ，
所以
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故选：B
7. 已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦函数的单调递减区间，利用整体代换的方法求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，
又因为函数 在区间 上单调递减，
所以 ， ,即 ，
故当 时， .
故选：A
8. 已知 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据同角三角函数关系得出 ，再结合切化弦计算两角和余弦值即可.
【详解】因为 ，所以 ，且 ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
则 .
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故选：C.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由三角形的诱导公式对选项一一化简即可得出答案.
【详解】对于 A， ，故 A 错误；
对于 B， ，故 B 正确；
对于 C， ，故 C 正确；
对于 D， ，故 D 正确.
故选：BD.
10. 已知向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围为
D. 与 夹角的余弦值为
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【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量的加法的坐标运算和模长公式可判断 A；根据垂直的坐标运算可判断 B；利用夹角余弦及
向量共线计算判断 C；利用向量坐标求模公式及求向量夹角公式即可判断选项 D.
【详解】对于 A， ，则 ，故 A 正确；
对于 B，因为
所以 故 B 正确；
对于 C， ，若 与 的夹角为锐角，
则得 且 与 不共线（同向），
，解得： 且
则 的取值范围为： ，故 C 错误；
对于 D， ， ，
，所以 与 夹角的余弦值为：
，故 D 正确.
故选：ABD.
11. 已知函数 ，则（ ）
A.
B. 直线 是曲线 的一条对称轴
C. 在区间 上单调递增
D. 存在 ，使得 成立
【答案】AC
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【解析】
【分析】先利用三角恒等变换化简函数成余弦型函数，再根据选项内容逐一判断即可.
【详解】对于 A，
，故 A 正确；
对于 B，当 时 故 B 错误；
对于 C，当 时 ，
因 在 上单调递增，则 在 上单调递增，故 C 正确；
对于 D，若 则 是函数 的一个周期，
因 的最小正周期为π，所以 即
显然不存在整数 ，使得 ，故 D 错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的最大值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用和角公式展开，再用辅助角公式将其化成正弦型函数即可求得最大值.
详解】由
，
可得 .
故答案为： .
13. 已知 ， 是两个互相垂直的单位向量，向量 满足 ， ，则对于任意的实数 ，
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的最小值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】先建立平面直角坐标系，根据已知条件得出向量 、 、 的坐标，再求出 的坐标，最
后根据向量模的计算公式求出 的表达式，进而求出其最小值.
【详解】因为 ， 是两个互相垂直的单位向量，所以可建立平面直角坐标系，不妨设 ，
. 设 ，
已知 ， ，可得： ，
，所以 .
.
根据向量模的计算公式：可得：
因为 ，所以 ，则 ，当且仅当 时取等号.
故答案为： .
14. 已知点 为 的重心， 分别为边 ， 上一点， 为 的中点，若 ， ， 三点
共线，且 ，则 的最大值为_____.
【答案】 ##0.5625
【解析】
【分析】利用三角形重心性质和共线向量基本定理推得 ，与已知式比较，得
到 ，再运用基本不等式求解即得.
【详解】因为点 为 的重心，所以 .
因为 三点共线，所以存在 使得 ，
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则 ，又
则得 即 .
由图可知 因 当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 ，得到关于 的一元二次方程，解方程即可得出
答案；
（2）先由二倍角的正切公式求出 ，再由两角和的正切公式计算 ，结合角的范围即可得
出答案.
【小问 1 详解】
已知 ，且 ，
所以 ，解得： 或 ，
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因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 .
因为 ， ， ，
所以 ，所以 .
16. 已知函数 的最大值为 2，最小值为 0，且其图象的相邻两条
对称轴之间的距离为 .
（1）求 的解析式；
（2）若函数 在区间 内有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的最大值和最小值求出 ，根据相邻两条对称轴间的距离求出 ，得出解析式；
（2）由第（1）问求解出的函数解析式，根据题中给的区间范围，先求解出 满足的范围，然后根据
已知条件列出不等关系，求解即可.
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【小问 1 详解】
由已知得 ,解得 .
由相邻两条对称轴间的距离为 可知周期 ,于是 ，
故函数 解析式为
小问 2 详解】
当 时， ，函数 在区间 内有两个零点，
则 在区间 上有两个根， ，
则 ，所以 .
17. 在直角坐标系 中，已知点 ， ， ，点 满足 ，
，
（1）求 ；
（2）求 在 上的投影向量的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将向量坐标代入已知式，求解方程组即得；
（2）分别求出 与 的坐标，代入投影向量计算公式即可.
【小问 1 详解】
由 ， ，可得 ，
即 ，则有 ，解得 ，
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故
【小问 2 详解】
由（1）可得 ，因 ，
则 ， ，
于是 在 上的投影向量为 ，
则 在 上的投影向量的坐标为 ，即 .
18. 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， ， 的平分线交 于点 ，求线段 的长；
（3）若 是锐角三角形，且 ，求 面积 取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简得到 ，借助于三角形内角范
围即可求得角 ；
（2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得；
（3）方法一：作 于点 ，过点 作 ，由题可得点 在 之间，根据图形得
，推得 ，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得
，求出 利用正切函数的单调性求得 ，代入三角形面积公式即可求得其
范围
【小问 1 详解】
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即
因 ，则 ，故 ，解得 .
【小问 2 详解】
由（1）已得 由 为 的平分线，可得
设 ，由 可得 ，
即 解得 ，即 .
【小问 3 详解】
方法一：如图，作 于点 ，过点 作 ，交直线 于点 ，
当点 在 之间时， 为锐角三角形
∴ ，即 ，因 ，则得 ，
的面积的取值范围为 .
方法二：由正弦定理，可得
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∵ 均为锐角 解得
故 可得 故
又 ， 的面积的取值范围为
19. 已知 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为 的相伴向量，同时
称 为向量 的相伴函数.
（1）记 的相伴函数为 ，当 时，若 ，求 的值；
（2）已知动点 满足 ，且 的相伴函数 在 时取得最大值，求
的最小值；
（3）已知 为函数 的相伴向量，在 中， ， ，且点 为
的外心，求 的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）6
【解析】
【分析】（1）由“相伴函数”定义和题设求得 ，利用同角的三角函数关系式求得
，再利用拆角变换与差角公式计算即可；
（ 2） 将 函 数 化 成 ， 由 题 意 推 得 ， 化 简
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可得 ，由 代入化简得 ，利用双勾函数的单调性即得；
（3）由题意先求出 ，作 于点 ，利用三角形的外心性质与向量数量积的几何意义化简
得 ，代入所求式，利用正弦定理将其化成
，借助于三角函数的性质即得.
【小问 1 详解】
依题意， ，
由 ，可得 ，
因 ，则 ，故 ，
于是 ；
【小问 2 详解】
依题意， ，其中 ， ，
因函数 在 时取得最大值，则 ，解得 ，
即 ，则 ， ，
由
，
因 ，函数 在 上单调递减，
故当 时， 取得最小值 ，此时 取得最小值为 ；
【小问 3 详解】
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依题 ，则 ，因 ，则 .
如图作 于点 ，因点 为 的外心，则 ，
如图，
，
则 ，
由正弦定理， ，则 ，则 ，
因 ，则当 时， 取得最大值为 .
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