安徽省淮南第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答
题纸上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案
写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
1. 抛物线 的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知空间向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则实数 m 的值为（
）
A. 1 B. 0 C. D.
3. 已知椭圆 的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为 ，则椭圆的
离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 在空间直角坐标系中，已知 ，则 是 与 夹角为锐角的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知圆 经过点 ，则圆在点 P 处的切线方程为（ ）
A. B.
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C. D.
6. 已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，若
，则线段 中点的横坐标为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学
成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点 A，B，设点 P 在同一平面上，且满足
，当 且 时，点 P 的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在 中，
，且 ，当 面积取得最大值时， （ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在棱长为 1 的正方体 中， ， 分别是线段 ， 上的点， 是直线
上的点，满足 平面 ， ，且 、 不是正方体的顶点，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若 共线，则
B. 已知 ， ，若 ，则
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C. 若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面
D. 若向量 能构成空间的一个基底，则 也能构成空间的一个基底
10. 如图，在四棱锥 ， 平面 ，底面 平行四边形， 与 交于点 ，
则（ ）
A.
B.
C. 点 到 的距离为
D.
11. 已知椭圆 左右焦点分别为 ，点 是椭圆上任意一点， ，则
下列结论正确的是（ ）
A. 的内切圆半径的最大值为
B
C.
D. 的内心在一定圆上
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12 设 ，向量 ，且 ，则 ___________．
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13. 已知实数 x，y 满足 ，则 的取值范围为_________.
14. 已知曲线 与圆 交于 ， ， ， 四个点，且四边形 的面
积为 4，则圆 的面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆 经过点 和 ，且圆心在直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）过点 作圆 的切线，切点分别为 点，求四边形 的面积．
16. 如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面 ， 分别为 ，
中点， ， .
（1）求证：异面直线 和 垂直；
（2）求点 到平面 的距离
17. 已知椭圆 的离心率为 ，且短轴长为 ．
（1）求 的方程；
（2）若直线 与 交于 两点，且弦 的中点为 ，求 的一般式方程．
18. 如图，多面体 中，四边形 为等腰梯形，四边形 为矩形， 为 上一点，且
， ．
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（1）证明：平面 平面 ；
（2）若二面角 为直二面角，当三棱锥 的体积最大时，求：
①多面体 体积；
②平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
19. 如图，过椭圆的左､右焦点 分别作长轴的垂线 交椭圆于 ，将 两侧的椭圆弧删
除再分别以 为圆心， 线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在
之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”， 两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”．已知左右两个帽檐
段所在的圆方程分别为 ．
（1）求“帽体段”的方程；
（2）过 的直线 交“帽体段”于点 ，交“帽檐段”于点 ，点 在 轴的上方．设 与
的面积分别为 ：
①求 的最大值；
②求使得 取得最小值时的弦长 ．
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