安徽省淮南第四中学2024—2025学年高三上学期期中考试数学试题 含解析

这是一份安徽省淮南第四中学2024—2025学年高三上学期期中考试数学试题 含解析，共20页。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题
纸上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写
在答题纸上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
1. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据含有一个量词命题的否定的原则，即可得答案.
【详解】含有一个量词的命题的否定的做法为“换量词，否结论”，
所以“ ， ”的否定为“ ， ”.
故选：D.
2. 若 成等比数列，则 （ ）
A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比中项的概念可得结果.
【详解】根据等比中项 概念可得， .
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故选：C.
3. 已知 z 是方程 的一个复数根，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可.
【详解】由题，因为 ，所以 z 和 是方程 的两个根，
所以 ，即 ，所以 .
故选：B.
4. 已知集合 ，则使得“ 且 ”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当 且 时求出 的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案.
【详解】由题可知 且 ，解得 ，
所以使得“ 且 ”成立的一个充分不必要条件是集合 的一个真子集，
因为只有选项 A 中的 是 的真子集，
故选：A
5. 若随机变量 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
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【分析】由正态分布的对称性有 ，再应用“1”的代换和基本不等式求目标式的最小值.
【详解】由题设 ，则 ，
当且仅当 时取等号，即 的最小值为 1.
故选：C
6. 在一个建筑工程中，工程师需要根据斜坡的倾斜角度来计算一些结构的受力情况.设斜坡的倾斜角度为
，经测算分析，发现 ，若该斜坡的摩擦系数为 ，则此系数
的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正切的二倍角公式由 求出 的值，再将所求式子 利用
三角函数的二倍角公式及同角三角函数的基本关系转化为关于 的式子，最后代入 的值进行计算.
【详解】已知 ，则 ，
即 ，解得 ，
因为 ，故 ，
故 ．
故选：B．
7. 已知抛物线 的焦点为 ，在直线 上任取一点 作抛物线的切线，切点分别为 ，
则 到直线 距离的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
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【解析】
【分析】设 , ,根据判别式求出 为切点的切线方程 和以 为切点的切线方程 ,设过直
线 上任一点为 ,将 代入 和 ,即可求得直线 的方程,进而求得点 到直线
的距离.
【详解】设 , ,可得 , ，
设以 为切点的切线方程为 ，
联立与抛物线的方程可得 ，
故 ，解得 ，
故以 为切点的切线方程为 : ,即 ——①
同理可得,以 为切点的切线方程为 : ——②
设过直线 上任一点为
代入①②得
所以直线 的方程为 ,即 ,
故 过定点 ,
当 时, 到 的距离的最大值为: .
故选:B
8. 已知 ， ，且对任意的 ， 恒成立，则
的最小值为（ ）
A B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量关系得到几何中的垂直关系，再把向量问题转化为将军饮马问题即可求解.
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【详解】如图，
设 ，则 恒成立，等价于 恒成立，
从而有 ，
故 ．
设 ， ，则 ．
作点 E 关于直线 的对称点 F，连接 由题可知 ， ， ,
则 ，
当且仅当 三点共线时取等号．
故选：D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知数列 的通项公式为 ，则（ ）
A.
B. 中的最小项为
C. 从第三项起， 的每一项都大于它的前一项
D. 数列 为等差数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据 ，写出相关项并确定最小项判断 A、B、C，再应用等差数列的定
义判断 D.
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【详解】 ，
对于 A， ，则 ，故 A 正确；
对于 B，当 时， 中的最小项为 ，故 B 正确；
对于 C，由上计算得 ，显然从第三项起， 的每一项不一定大于它的前一项，故 C 错误；
对于 D，由 ，
显然 ，
所以 是公差为 4 的等差数列，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 设函数 ，则（ ）
A. 一定有两个极值点
B. 若 ，则 或
C. 过点 作曲线 的切线有且仅有一条
D. 当 时，
【答案】AB
【解析】
【分析】利用导数研究函数的极值点判断 A；由 求 判断 B；利用导数几何意义得到
处的切线也过 ，结合 处切线判断 C；根据解析式得 ，利用对称性求
函数值判断 D.
【详解】由题设 ，
当 或 时， ，则 在 、 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
所以 分别为极大值点、极小值点，A 对；
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由 ，令 ，则 ，
所以 或 ，故对于 ，则 或 ，B 对；
由 且 ，则 处的切线为 ，过 ，
由 ，则 处的切线过 ，
所以过 的切线至少有两条，C 错；
由 ， ，
所以 ，故 ，D 错.
故选：AB
11. 已知函数 ， 为常数，则下列说法正确的有（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当 时， 的值域为
C. 在 ， 上单调递增
D. 若对于任意的 ，函数 （a 为常数）的图象均与曲线 总有公共点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用三角恒等变形化简得 ，然后利用三角函数的性质求解判定ABC
；利用分类讨论方法，研究函数 的值域，进而得到实数 的取值范围.
【详解】
，
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易得 的最小正周期为 ，故 A 正确；
当 时， ，其值域为 ，故 B 错误；
令 ，得 ，
故 在 上单调递增，故 C 正确；
当 时， ，
此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，
因函数 的图象均与曲线 总有公共点，
则 且 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ，
故 ，
综上所述， ，故 D 正确.
故选：ACD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 ，若 ，则 __________.
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【答案】2
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式分类讨论求解即可.
【详解】由题意知，当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，与 矛盾，此时 无解.
所以 .
故答案为：2
13. 已知函数 ， 的定义域均为 R，其中 是奇函数， 是偶函数，且
，若对于任意 ，都有 ，则实数 a 的取值范围
是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意有 和 ，又 得 ，
令 ，利用函数的单调性即可求解.
【详解】∵ 是奇函数， 是偶函数，在 中，
用 去代换 x，得 ，
∴ ， ，∵ ，
∴由 ，可得 ，
令 ，则 在 上单调递增．
若 ，则 的图象的对称轴为直线 ，图象开口向上，符合题意；
若 ，则 的图象的对称轴为直线 ，图象开口向下，
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则需 ，即 ；若 ，则 在 上单调递增，符合题意．
综上， ．
故答案为： .
14. 已知 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 ______；若
，则 面积的最大值为______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
分析】（1）法一：利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；法二：利用正、余弦定理边角转化分析求解；
（2）法一：利用余弦定理结合三角形面积公式可得 ，结合同角三角函数 基本关系可
得 ，最后利用换元法结合二次函数求最值求解即可；法二：建立平面直角坐标系，设
，根据题设可得建立 的关系式，从而求出点 的轨迹为一个圆，从而可分析求解.
【详解】（1）法一：因为 ，
可得 ，
由正弦定理可得： 所以 ；
法二：因为 ，由正弦定理可得 ，
由余弦定理得：
化简得： ，即 ，所以 .
（2）方法一： 可得 ，
由余弦定理可得 ，
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且 ，
所以
所以 ，即 时， 的最大值为 3，所以 面积的最大值为 ．
方法二：以 AB 边所在直线为 x 轴，以边 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，
因为 ，所以 ，化简得： ，
即顶点 C 在以 为圆心，以 为半径的圆（除去与 x 轴的交点）上，
所以 的 AB 边上的高最大值为 ，
所以 面积的最大值为 ．
故答案为：2；
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的 80 只小鼠随机均分为两组：对照组（不含药
物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小鼠的体重增加量（单位：g），并对数据进
行分析，得到如下频率分布直方图：
（1）估计实验组小鼠体重增加量的 80%分位数 ；
（2）将这两组小鼠的体重增加量，从低到高分为三个等级：
体重增加量 /g
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等级 较轻 中等 较重
假设对照组和实验组小鼠体重增加量的等级结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件
发生的概率.现从实验组和对照组中各随机抓取一只小鼠，求抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照
组小鼠体重增加量的等级的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据百分位数的定义结合频率计算求解；
（2）应用独立事件概率乘积公式结合互斥事件概率和公式计算求解.
【小问 1 详解】
因为 的频率为 ，且 的频率为 ，
所以 在 内，所以 ，所以 .
【小问 2 详解】
对照组较轻的概率为 ，中等的概率为 ，较重的概率为 ；
实验组较轻的概率为 ，中等的概率为 ，较重的概率为 ；
设抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级为事件 ，
则 .
所以抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率为 .
16. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 关于 n 的表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）令 可求得 ，再结合 可求出 ；
（2）利用累乘法结合已知条件可得 ，则当 时， ，两式相减化简可得
，从而可得 的奇数项、偶数项均成公差为 的等差数列，进而可求出其通项，则可求
得 关于 n 的表达式．
【小问 1 详解】
令 ，可得 ，故 ，
又 ，所以 ．
【小问 2 详解】
由 ，可得 ， ，…， ，
两边分别相乘得 ，所以 ．
当 时， ，所以 ，
即 ，即 ，
由题可知 ，所以 ，
所以 的奇数项、偶数项均成公差为 的等差数列．
所以 ， ，
所以 ．
所以
，
故 ．
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17. 如图，四棱锥 的所有顶点均在同一个球的球面上，且 ， ， 平
面 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求四棱锥 体积的最大值；
（3）当四棱锥 的体积最大时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由条件先证明 ， ，根据线面垂直判定定理证明 平面 ，根据面
面垂直判定定理证明平面 平面 ．
（2）过点 作 ，垂足为 ，根据面面垂直性质定理证明 平面 ，结合锥体体积公
式可得 ，再求 和 的面积的最大值，由此可得结论；
（3）建立空间直角坐标系，求直线 的方向向量与平面 的法向量，再结合向量夹角公式求结论.
【小问 1 详解】
由题意知四边形 存在外接圆，
故 ，
而 ，即 ，
所以 ，故 ，
由 平面 ， 平面 ，可得 ，
而 ， 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，
又因为 平面 ，故平面 平面 ．
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【小问 2 详解】
如图，过点 作 ，垂足为 ，
由（1）平面 平面 ，又平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
设四边形 的面积为 ，
则四棱锥 的体积 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，则点 P 在以 AB 为直径的圆上，
当 时，PH 最大，最大值为 ．
因为 ，所以点 在以 为直径的圆上，且 ，
当 时， 最大，最大值为 ，此时底面 ABCD 正方形．
所以四棱锥 体积的最大值为 ．
【小问 3 详解】
以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为 x，y 轴，过点 A 且与平面 ABCD 垂直的直线为 z 轴，
建立空间直角坐标系，如图．
由（2）可知 ， ， ， ．
所以 ， ， ．
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设平面 PBD 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，
所以 为平面 PBD 的一个法向量，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 已知 ，函数 ．
（1）若 ， ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ， ，求 的单调区间；
（3）若对任意 ， 至多有 2 个零点，求 a 的取值范围．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 ，单调递减区间为 和
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程.
（2）求导，利用导函数的符号求函数的单调区间.
（3）分 和 讨论.当 时，问题转化为方程 只有 1 解，求 的取值范围.
【小问 1 详解】
若 ， ，则 ， ，
所以 ， ，
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所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【小问 2 详解】
由题易知 ，所以 ．
令 ，得 ，
当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ．
【小问 3 详解】
若 ，则 ， 仅有 1 个零点，符合题意．
若 ，由 至多有 2 个零点，可知 至多有 1 个极值点，
则 至多有 1 个变号零点．
由 ，可得 ．
设 ，则 ，
可得 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
所以 的极大值为 ，极小值为 ，
且当 时， ，当 时， ，作出 的大致图象如下：
根据题意，直线 与 的图象至多有 1 个交点（切点除外），
所以 或 ，解得 或 ．
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综上，a 的取值范围是 ．
19. 已 知 是 椭 圆 的 右 焦 点 ， 是 上 一 点 ， 且 直 线 与 圆
相切于点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 上两点 满足 ．
（ⅰ）当直线 斜率不存在时，求直线 的方程；
（ⅱ）求直线 被圆 所截得弦长的最小值．
【答案】（1） ；
（2）（i） ；（ii） .
【解析】
【分析】（1）由点在椭圆上求出椭圆参数，即可得方程；
（2）（i）设 ，结合 及点在椭圆上求得 ，即可得直线方程；（ii）设
直线方程联立椭圆，应用韦达定理及 得到 ，再分类讨论求直
线所过的定点，注意直线斜率不存在的情况，进而求弦长最小值.
【小问 1 详解】
由题意，知 PF 与 x 轴垂直， ，
令 ，解得 ，即 ，解得 或 （舍去），
故 ，椭圆 C 的标准方程为 ．
【小问 2 详解】
（i）当直线 AB 斜率不存在时，设 ，
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则 ， ，
由 ，知 ，又 ，解得 或 1（舍去），
故直线 AB 的方程为 ；
（ii）当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ，
联立椭圆 C 的方程 ，得 ，
设 ，由韦达定理知 ，
于是 ，
由 知，
，
若 ，则直线 AB 为 ，直线 AB 恒过定点 ，不合题意，
若 ，则直线 AB 为 ，直线 AB 过定点 ，
当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 也过点 ，
于是直线 AB 恒过定点 ，
当直线 AB 与 OM 垂直时，圆心 O 到直线 AB 的距离最大，为 ，
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故直线 AB 被圆 O 所截得的弦的长度的最小值为 ．
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