云南师范大学附属中学2023−2024学年高三下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份云南师范大学附属中学2023−2024学年高三下学期5月月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为等差数列的前n项和，，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．1080的不同正因子有（ ）个
A．12B．16C．20D．32
6．定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（ ）
A．B．C．D．1
7．已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．在棱长为1的正方体中，P在侧面（含边界）上运动，Q在底面（含边界）上运动，则下列说法不正确的是（ ）
A．若直线与直线所成角为，则P点的轨迹为椭圆的一部分
B．若过点Q作体对角线的垂线，垂足为H，满足，则点Q的轨迹为双曲线的一部分
C．若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分
D．若点P满足，则点P的轨迹为线段
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数满足（i是虚数单位），以下命题正确的是（ ）
A．B．的虚部为i
C．复平面上对应的点在第二象限D．复数是方程的一个根
10．已知函数是奇函数，将的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度，得到的图象．若曲线的两条相邻对称轴之间的距离为，则（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．若，则在区间上的最大值为
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．
C．若，则
D．若，则内切圆的半径为
三、填空题（本大题共3小题）
12．甲乙两名射击运动员进行射击训练．已知两名运动员射击的弹落点相对于靶心的左右偏差，都近似服从正态分布，，．如图为，的密度曲线，则甲乙二人中，成绩更稳定的是 ．
13．已知数列满足：，，，则的前n项积的最大值为 ．
14．已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为 ；若总存在直线与函数，图象均相切，则a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员在一批产品中随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
(1)求这组样本数据的上四分位数；
(2)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为优秀品，以频率估计概率．在这批产品中随机抽取5件产品，随机变量X表示：抽得的产品为优秀产品的个数，求X的分布列与数学期望．
16．已知抛物线，过的直线交抛物线C于A，B两点，O是坐标原点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若F点是抛物线C的焦点，求的最小值．
17．已知等比数列的前n项和，其中λ为常数．
(1)求λ的值；
(2)设，求数列的前n项和．
18．如图，已知四边形为矩形，，，E为的中点，将沿进行翻折，使点D与点P重合，且．
(1)证明：；
(2)设，的延长线交于点N，则线段上是否存在点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为．
19．帕德近似是利用分式有理函数逼近任意函数的一种方法，定义分式函数为的阶帕德逼近，其分子是m次多项式，分母是n次多项式，且满足，，，…，时，为在处的帕德逼近．
(1)求函数在处的阶帕德逼近；
(2)已知函数．
①讨论的单调性；
②若有3个不同零点，，，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】依题意，，，故，故选C．
2．【答案】D
【详解】在等差数列中，，．又，，故选D．
3．【答案】B
【详解】因为，
所以
.
故选：B．
4．【答案】A
【详解】由，则点P在圆上，
又有点P在圆C上，所以圆A和圆C有公共点（P)，
两圆半径分别为2、1，
所以，
所以.
故选：A．
5．【答案】D
【详解】，1080的正因子可写为，其中k，，，
故根据分步计数原理可得1080的不同正因子可共有个，
故选:D．
6．【答案】B
【详解】因为函数为奇函数，则，
即，可得．
又因为，则，
所以，可得，
则，即，
所以.
故选：B．
7．【答案】C
【详解】方法一：点O是内心的充要条件是：，其中，，，
理由如下：若，则，
整理得，
所以，即点在的角平分线上，
同理可证，点在，的角平分线上，即点为的内心.
故，
故．
因为角A为锐角，，
所以．由定理得到，
故．
又因为（当且仅当时取等号），
所以，所以，
故，
方法二：如图，延长，交于点D，
设，即，故，
设，
则，
，
作的内切圆与边切于点E，与切于点F，
设圆O半径为r，
且A为锐角，
，
故，解得或（舍去），
故，
又，解得，负值舍去，
，即，由图知，
.
故选：C．
8．【答案】B
【详解】
依题意，以A为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，假设，
则，，,
所以，
即，,故A正确；
设，，，，
为向量在向量上投影的长度，故，
由勾股定理，，
由得，，故B错误；
由条件得，点P到直线的距离为，
设点P到平面的距离为n，
由，化简得，故C正确；
，，可得，
，由，
化简得，故D正确.
故选：B．
9．【答案】ACD
【详解】，
对于A，，故A正确；
对于B，的虚部为1，故B错误；
对于C，对应的点在第二象限，故C正确；
对于D，因为，
所以复数是方程的一个根，故D正确，
故选：ACD．
10．【答案】ABD
【详解】由于函数是奇函数，
所以，
由于将的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
再将图象向右平移个单位长度，得到的图象，
则，
对于A，因为曲线的两条相邻对称轴之间的距离为，
故，解得，故A正确；
所以函数，
则或，
或；
对于B，令，
解得，
所以当时，的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，令，解得，
所以当时，所以的图象关于点对称，故C不正确；
对于D，当时，或，
所以，，
当，时，，
所以在上单调递增，
故函数的最大值为；
当，时，，
所以在上单调递减，故函数的最大值为，故D正确.
故选：ABD．
11．【答案】ACD
【详解】对于A，双曲线中，实半轴长，虚半轴长，半焦距，焦点，，双曲线C的渐近线方程为，A正确；
对于B，由于点A，B在双曲线的右支上，设直线的倾斜角为，则由双曲线的第二定义可得：，当时，，B错误；
对于C，由双曲线定义知，而，且，则，
即有，因此，C正确；
对于D，由双曲线定义知，因为，设内切圆的半径r，则由圆的切线性质知：
，D正确，
故选：ACD．
12．【答案】乙
【详解】由图知：，所以乙的成绩更稳定．
故答案为：乙
13．【答案】
【详解】，，两式作差得：，
数列是以3为周期的数列，又，，，
设数列的前n项积为，，
则当，时，则；
当，时，则；
当，时，则.
数列的前n项积的最大值为．
故答案为：.
14．【答案】 6
【详解】设直线与函数的切点为，
由，所以，
解得，所以切点为，
所以，解得，即切线方程为．
设直线与函数的切点为，
则，解得，
即，所以；
设切线方程l为，且l与的切点为，
l与的切点为，
则，，
整理可得，，
所以，
整理可得，
设，
则
.
设，则，
所以在上为增函数，又因为，
所以在上，即，所以单调递减；
在上，即，所以单调递增，
所以，
即，解得．
故答案为：;.
15．【答案】(1)85
(2)答案见解析
【详解】（1）由题知：，解得；
设x为样本数据的上四分位数，则：，
解得，故这组样本数据的上四分位数为85．
（2）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，
由题知：．
随机变量，
随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，4，5，
，，
，，
，．
故随机变量X的分布列为：
随机变量X的期望.
16．【答案】(1)
(2)10
【详解】（1）由题意知，直线的斜率不为零，设直线的方程为，
联立抛物线的方程得：，
恒成立，
设，，所以，．
又，
即，所以，即，
所以抛物线C的方程为．
（2）由（1）知：，，，
所以
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为10．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），当时，；
当时，，
．
数列是等比数列，对也成立，
，即．
（2）由（1）知：，
，
令，
．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）
证明：如图2，取的中点M，连接，，
由题意且，可得，且，
由余弦定理可得，
，．
由，，平面，可得平面．
又平面，．
又，由，、平面，
平面，又平面，．
（2）
如图3，以B为原点，，，过点B且与垂直的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设，
．
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得．
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
由平面与平面所成角的余弦值为，
可得，
即，，
两边同时平方，经整理化简可得，
解得或．
19．【答案】(1)
(2)①当时，在上单调递增；当时，上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；②证明见解析
【详解】（1）解：设，
，，
，，．
，，
，，．
，，，
．
（2）①解：．
当时，令，，对称轴，，恒成立，
在上递增；
当时，，，在上单调递增；
当时，，令，解得，，且，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②证明：，，，．
当时，在上单调递增，则存在唯一零点，不合题意；
当时，，所以，
极大值，
欲证，可证．
令，，
则，
在上单调递减，，即，
同理可得，极小值．
由零点存在性定理，有3个不同零点，，，且，
要证：，即证．
由（1）得，当时，．
下证：时，，
令，，
，，
，所以．
由，，
即，，，
又有，
所以，故．X
0
1
2
3
4
5
P