云南省昆明市五华区云南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（全卷共三部分，共19个小题，4页；满分150分，考试时间120分钟）
命题：高一备课组 审题：高一备课组
注意事项：
1．本卷为试题卷，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将答题卡交回．
第I卷（选择题）
一、单选题；本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若, 则c等于（ ）
A. 1B. C. D. 2
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3. 欧拉恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的公式之一，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底数，圆周率，两个单位：虚数单位和自然数的单位1，以及数学里常见的0．因此，数学家们评价它是“上帝创造的公式，我们只能看它而不能理解它”．根据该公式，引出了复数的三角表示： ，由此建立了三角函数与指数函数的关系，是复数体系发展的里程碑．根据上述信息，下列结论正确的是（ ）
A. 的实部为1B. 对应的点在复平面的第二象限
C. 的虚部为1D. 对应的点在复平面的第二象限
4. 如图，在圆中，已知弦，弦，那么的值为（ ）

A. B. C. D.
5. 若单位向量，的夹角为，则与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点为重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ）
A. B. 7C. D. 6
7. 若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（ ）
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形
8. 已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得得0分．
9. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 是图象的一条对称轴
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最小值为
10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，则符合条件的有两个
D. 若，则钝角三角形
11. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 存在最大值为9D. 最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
13. 已知为锐角，若，则_____.
14. 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 平面内给出三个向量，，，求解下列问题：
（1）求向量在向量方向上投影向量的坐标；
（2）若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围；
16. 在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
17. 如图，在中，，DAC边上一点且．
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围．
18. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．