新疆喀什市2024−2025学年高三下学期4月三校联考 数学试卷（含解析）

这是一份新疆喀什市2024−2025学年高三下学期4月三校联考 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，R，则（ ）
A．B．C．D．0
3．在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（ ）
A．B．1C．2D．3
4．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知则（ ）
A．B．C．D．
6．若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则样本数据的平均数与方差分别为（ ）
A．3，4B．2，4C．3，D．2，
7．已知，，且，则（ ）
A．3B．2C．D．
8．直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为B．F的坐标为
C．若，则D．
10．已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知数列 满足：，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，为等比数列D．若，
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，的夹角为，则 .
13．五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到 的概率为 ；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为 .
14．若将半径为1，6，9的三个球放入一个正方体的容器中，则该容器的棱长的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知为等比数列，是，的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
17．如图，P为圆台的上底面的圆心，为圆台下底面的圆心，为下底面直径.是下底面圆的内接正三角形，
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
18．已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交于两点.
(1)若离心率时，求的渐近线方程；
(2)若，点在第一象限且为等腰三角形，求点的坐标；
(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．
19．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若.
①求的最小值；
②证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
参考答案
1．【答案】C
【详解】，，
.
故选C.
2．【答案】B
【详解】由，即，
，解得.
故选B.
3．【答案】C
【详解】如图，，
，
，.
故选C.
4．【答案】A
【详解】由题可得，则，
所以切线的斜率，
所以在处的切线方程为，即.
故选A.
5．【答案】B
【详解】由，得，
又，得，即，
可得，，
.
故选B.
6．【答案】D
【详解】样本数据的平均数，
因为，
所以样本数据的方差.
故选D.
7．【答案】A
【详解】由，可得，又，
，解得.
故选A.
8．【答案】D
【详解】设椭圆的半焦距为，则，
所以直线的方程为，即，
所以直线的斜率为，
过作的垂线，则为的中点，
，，则，
又，所以是的中点，
所以直线的斜率，
，则，
.
故选D.

9．【答案】BC
【详解】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确；
对于C，将代入，得，则，故C正确；
对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误.
故选BC.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，由，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，由选项C知，且，
，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，由，，则，，
可得，故A正确；
对于B，C，D，由，则，
，，
是以1为公差的等差数列，故C错误；
若，，则，即，故B正确；
若，则，，
，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】1
【详解】依题意，.
13．【答案】 /0.6 /0.5
【详解】设事件 表示 “选到 ”，事件 表示 “选到 ”，
则甲从中选 3 个. 甲选到 的概率为 ，
乙选了 活动，他再选择 活动的概率为:
14．【答案】
【详解】因为不共线三点可唯一确定一个平面，而过三个球球心截三个球所得球的截面面积最大，
所以由正方体结构特征可知要使该容器的棱长达到最小，则两大球相切，
且三个球球心均在正方体体对角面内，两个大球均分别与与自己同侧的正方体角落所在的三个面相切，
如图为截正方体体对角面和两个大球所得截面，
则，
假设最小球球心在上，且小球与该侧正方体的三个面均相切，
则，
所以求该容器的棱长的最小值只需考虑两个大球即可，

延长和相交于点B，设该正方体容器棱长为a，则，
所以，
化简解得.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公比为，因为为，的等差中项，
所以，即，
则，解得，
所以.
（2）设的前项和为，又，
，①
，②
①②得，
所以.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，则，又，
所以，则，
又，所以，
因为，解得．
（2）因为是锐角三角形，又，
所以，
所以
，
因为，所以，则，
从而，
故面积的取值范围是.
17．【答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）由题设，在圆O中，直径，又是下底面圆的内接正三角形，
故可得，所以，
因为，可得，
故
同理，可得，又，平面，
所以平面.
（2）过O作交于点N，因为平面，
以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
所以，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
所以，
故，
设二面角的大小为，由图可知二面角为锐二面角，
所以.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，
则，，
所以渐近线方程为.
（2）当时，双曲线， 其中，，
因为为等腰三角形，
当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；
当以为底时，若点P在第一象限时，，所以这样的点不存在；
当以为底时，，设，其中，
则有，解得，即；
综上，点的坐标为.

（3）由题知，
当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则直线的斜率，
则设直线，
设点，根据延长线交双曲线于点，
根据双曲线对称性知，
联立有，得，
显然，其中，
则①，②，
，
则，又，，
则，
即，
将①②代入有，
即，
化简得，
所以，代入到，得，所以，
且，
解得，又因为，则，
所以.
19．【答案】(1)单调增区间为，减区间为；
(2)①1；②证明见解析
【详解】（1）的定义域为，而，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
所以，的单调增区间为，减区间为.
（2）①，，则，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以.
②由（1）和①可得和的最小值为.
当时，考虑的解的个数，的解的个数；
设，，
由（1）得，
而，，
设，其中，则，
故在上为增函数，故，
故，故有两个不同的零点，
即的解的个数为2.
设，，
有①可得，
而，，
有两个不同的零点即的解的个数为2.
当，由（1）讨论可得、仅有一个解，
当时，由（1）讨论可得、均无根，
故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则.
设，其中，故，
设，，则，
故在上为增函数，故即，
所以，所以在上为增函数，
而，，
故在上有且只有一个零点，；
且当时，，即，即，
当时，，即，即，
因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
故，
此时有两个不同的根，
此时有两个不同的根，
故，，，
所以，即，即，
故为方程的解，同理也为方程的解
又可化为，即，即，
故为方程的解，同理也为方程的解，
所以，而，
故，即.
所以从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．