2024-2025学年小升初数学奥数训练（通用版）--周期问题（含答案+解析）

这是一份2024-2025学年小升初数学奥数训练（通用版）--周期问题（含答案+解析），共23页。试卷主要包含了9320，解得n>5，375的最小倍数，它跳1次是0，15，2，等内容，欢迎下载使用。
第二宇宙速度又称为逃逸速度，指物体完全摆脱地球引力束缚，飞离地球的所需要的最小速度，地球上的“逃逸速度”是 11.2 千米秒，这意味着我们发射火箭，如果速度大于 11.2千米秒，它就能脱离地球的影响而飞到太空上去，大到火箭，小到分子的任何物体都适用。现有一个大气分子，太阳辐射把它的速度提高到 15 千米1秒，已知它与其他分子每碰撞一次，速度依次减少到碰撞前的1920,1819,1718……，则至少碰撞多少次次才能使它不“逃离”地球。
2．一条圆形跑道长 600 米，因铺设水管，其中跑道上 AB 一段被挖开，形成一个大坑， AB 的跑道长度为 150 米，有一机器人放在跑道上循环行走，前进的步长（跑道弧长）为 d 米，可调整步长 d 的大小，但调后不再改变，并且 d 小于 600 米，请设计出两种（ d 的不同长度）方案，使得机器人不断循环，并且永远不会落入炕里。（碰到 A 或 B 也算落入坑里），每种方案包括：
（1） 步长 d 的值（不同方案的 d 的值）；
（2） 机器人的出发点。
3．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管。要蓄满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时；要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有六分之一池水，小明突发奇想如果按甲、乙、丙、丁的顺序轮流开管，每管开1小时，直到水开始溢出水池为止，问多少小时后水开始溢出水池？
4．有甲、乙两个同样的杯子，甲杯装满水，乙杯是空的。第一次将甲杯里的12倒入乙杯，第二次将乙杯中水的13倒回甲杯，第三次将甲杯中的14倒回乙杯，第四次将乙杯中的15倒回甲杯，…，这样反复倒2021次后，甲杯中的水是原来的几分之几？
5．一个水池有两根进水管和一根出水管，单开甲管18小时注满空水池，单开乙管12小时注满空水池，单开丙管20小时排空水池。现在甲、乙、丙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，丙管打开1小时，甲管打开1小时……重复交替下去，那么注满空水池共需要几个小时?
6．（规律探索）30粒珠子按8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色……的次序串成一圈。一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上。这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上?
7．将五位数“12345”重复写403次组成一个2015位数，“” 从左往右删去这个数中所有位于奇数位上的数字后组成一个新数，再删去新数中所有位于奇数位的数字；按上述规则一直删下去，直到剩下一位数为止，则最后剩下的数字是多少？
8．实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一枚指针，而且都是每分钟跳一次，第一只钟一圈有12个格。格线上依次标着0-11，指针一次跳过2个格(例如从4跳到6)：第二只钟一圈有7个格。格线上 依次标着0至6，指针一次跳过3个格。开始时两个指针都指向0。如果把这看作两个指针第1次指向同一个标数，那么当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指者是哪个数字？
9．(周期问题)A、B两点把一个周长为1米的圆周等分成两部分，蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是38米。 如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向B点，并从B点继续起跳。当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍。已知蓝精灵跳了1000 次，那么跳完后圆周长等于多少米？
10．蜗牛王国2020年阅兵开幕式10点整准时开始了。1号蜗牛首先以1米/分的速度从起点出发沿阅兵道跑向另一端；1分钟后，2号蜗牛以2米/分的速度从起点出发跑向另一端；再过1分钟3号蜗牛以3米/分的进度从起点出发跑向另一端；…；一直到第100只蜗牛以100米/分的速度从起点出发跑向另一端。已知阅兵道全长2015米。
（1）请求出第100只蜗牛到达终点的时间；
（2）在这100只蜗牛中，哪几只同时到达终点？
11．30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、 ⋯⋯ 的次序串成一圈．一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上．这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上．

12．如图，有一种电子跳蚤游戏棋，棋盘为边长6厘米的等边三角形ABC，电子跳蚤开始位于P0点，P0点距离B点4厘米。接下来电子跳蚤开始逆时针跳动。它第一次跳到P1点，P1点与C点之间的距离等于P0点与C点之间的距离。第二次跳到P2点，P2点与A点之间的距离等于P1点与A点之间距离。第三次跳到P3点，P3点与B点之间的距离等于P2点与B点之间的距离。第四次将跳到P4点，P4点与C点之间的距离等于P3点与C点之间的距离。
（1）P0点与P1点之间的距离为 厘米。
（2）若电子跳蚤继续按这样的规律跳动，它跳完第2018次所达到的点P2018与点P1之间的距离为 厘米。
13． 某同学做跳棋游戏， 如图所示为 △ABC,AB=8,AC=9,BC=10 。 如果跳棋开始在 BC 边 上的 P0 点， BP0=4， 第一步跳棋跳到 AC 边上的 P1 点， 且 CP1=CP0 ～第二步跷棋从 P1 跳到 A B 边上 P2 点， 且 AP2=AP1； 第三步跳棋从 P2跳到BC 边上 P3 点， 且 BP3=BP2⋯ 。跳棋按上述规则跳下去， 第 2013 次落点为 P2013， 请计算 P0 与 P2013 之间的距离。
14．学校一个学期安排89节语文课，单数周，周一、三、五，每天两节；双数周，周二、四，每天两节。开学第一周报道，所以第一周的周一没有上语文课，从第一周的周三开始上语文课，那么最后两节课，是周几上的？
15．黑板上1,12,13,⋯,1100。每次操作先从黑板．上的数字中选取2个数a、b，然后删去a、b并在黑板上写上数a+b+ ab， 则经过99次操作后，黑板上剩下的数是多少？
16． 有两个容器，A容器中有1升水，B容器是空的。第一次将A容器里的水的12倒入B容器中，然后第二次将B容器里的水的13倒回A容器中；第三次再将A容器里的水的14倒入B容器中，然后第四次将B容器里的水的15倒回A容器中，……如此下去，倒了第九次后，A容器里有多少水？
17．在2023年“迎春杯”50年庆黄马拉松比赛上，甲、乙和一个助理机器人同时出发。甲保持每分钟 145 米的速度不变。乙出发时速度为每分钟 a 米. 两个多小时候佮恰过了整数分钟时， 乙将速度提高到分种 2a 米直到终点； 机器人以 10 分钟为行动周期， 如此循环， 直到终点， 结果甲、乙和机器人同时到达终点， 已知马拉松全程为 42195 米， 且 a，b，c 都是小于 400 的正整数，那么在比赛过程中，乙和机器人间的距离最远是多少米？
18．用符号f（x）表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶数时，fx=x2；当x为奇数时，f（x）=3x+1.例如：fx=3×1+1=4,f8=82=4. 设x1=8，x2=f（x1），x3=f（x2），……，xn=f（xn-1）. 以此规律，得到一列数x1,x2,x3,……,x2022,则这2022个数之和.x1+x2+x3+⋯+x2021+x2022是多少。
19．对于任意自然数n，定义△n为不超过n的所有自然数之和的个位数字，例如△4表示
0+1+2+3+4=10的个位数字，即△4=0；请回答下列问题；
（1）△2021= 。
（2）是否存在自然数n满足△(△n) =n，若存在，求出所有满足条件的自然数；若不存在，请说明理由：
（3）计算：(△1)+(△2)+(△3)+ ……+(02021)。
20． (周期问题)一本历史书共有2640页，张强每小时阅读16页。第一日到第十日，每日读5小时；第十一日到第二十日，每日读6小时；第二十一日到最后一日的前一日，每日读7小时。经过若干日全部读完。问：最后一日是第几日？最后一日读了几小时？
答案解析部分
1．解：将原速度看成单位“1”。
碰撞n次后速度就是原速度的：1920×1819×1718×⋯⋯×20−n20−n+1=20−n20
逃逸速度是原速度的：11.2÷15≈14.9320
设至少碰撞n次才能使它不“逃离”地球，即20−n205.07
所以至少碰撞6次才能使它不“逃离”地球。
答：至少碰撞6次次才能使它不“逃离”地球。
将原速度看成单位“1”，根据题目中的条件依次计算出n次碰撞后速度依次减少到碰撞前的1920，1819，1718⋯⋯计算出15千米/秒小于几次的碰撞后的速度即可。
2．解：方案一：令d= 300米，则只要机器人从跑道上除大坑外，距离A、B点小于150米任一处出发 ，就不会落入坑内。若在距离A或B点150米处出发，会到达A或B点从而落入坑内；若在距离4或B点超过150米处出发，会落入坑内。综上，取步长d= 300米，在跑道上除大坑外， 距离A、B点小于150米出发，满足要求。
方案二：令d= 200米，则只要机器人从跑道上除大坑外，距离A、B点小于5米任一处出发，就不会落入坑内。若在距离A或B点5米处出发，会到达A或B点从而落入坑内；若在距离A或B点超过5米处出发，会落入坑内。综上，取步长d= 200米，在跑道上除大坑外， 距离A、B点小于5米出发，满足要求
方案一：令d= 300米，则只要机器人从跑道上除大坑外，距离A、B点小于150米任一处出发 ，就不会落入坑内。若在距离A或B点150米处出发，会到达A或B点从而落入坑内；若在距离4或B点超过150米处出发，会落入坑内。综上，取步长d= 300米，在跑道上除大坑外， 距离A、B点小于150米出发，满足要求。
方案二：令d= 200米，则只要机器人从跑道上除大坑外，距离A、B点小于5米任一处出发，就不会落入坑内。若在距离A或B点5米处出发，会到达A或B点从而落入坑内；若在距离A或B点超过5米处出发，会落入坑内。综上，取步长d= 200米，在跑道上除大坑外， 距离A、B点小于5米出发，满足要求
3．解：13+15−14−16=760
[1−(16+13+15）÷760≈3（个周期）
760×3=720
（1−16−720−13）÷15=34（小时）
4×3+1+34=1334（小时）
答：1334小时后水开始溢出水池。
我们把甲乙丙丁每管轮流开1小时水量增加13+15−14−16=760，虽然轮流开1小时水量增加760，但不能超过1−（16+13+15）=310，原因是一轮过后甲乙再就溢出了。明白这一点，就可以求轮流几个周期，310÷760≈3（个周期），这时注入760×3=720，储水池有水，16+720=3160，还可注入1−3160=2960接着甲开1小时注13，还可以注入2960−13=320。乙注水时间320÷15=34（小时），共注水时间4×3+1+34=1334（小时）。
4．解：
第一次： 甲： 1−12=12， 乙： 12
第二次：甲： 12+12×13=23， 乙： 12×1−13=13
第三次：甲： 23×1−14=12， 乙 ： 13+23×14=12
第四次：甲： 12+12×15=35，乙：12×（1−15）=25
第五次： 甲： 35×1−16=12， 乙： 25+35×16=12
根据规律可知次数为奇数次的时候，两杯中的水一样多均为12，因为2021为奇数次所以倒2021次后，甲杯水是原来的12。
答：甲杯中的水是原来的12。
根据题意：把甲杯中的满杯水看作单位“1”，则第一次操作后：甲杯中的水－倒入乙杯中的水=1-12，所以甲、乙两杯一样多，都是12；
同理，第二次操作后：甲杯中剩下的水=第一次操作后甲杯中剩下的水+乙杯中第一次操作后剩下的水的13=23，乙杯中剩下的水=第一次操作后乙杯中的水×（1-13）=13；
第三次操作后：甲杯中剩下的水=第二次操作后甲杯中剩下的水×（1-14）=12，乙杯中剩下的水=第二次操作后乙杯中剩下的水+第二次操作后甲杯中剩下的水的14=12；
……，通过观察发现奇数次操作后，两杯中的水都是一样多的均为12，而2021是一个因数，所以甲杯中的水是原来的12，据此可以解答。
5．解：3 小时可注水 ：甲开1小时，乙开1 小时，丙开1小时。
118+112−120=445
11×445=4445（共需11个3小时，即33小时）
1−4445=145145÷118=25（小时）
33+25=3325（小时）
答：注满水池需要时间3325小时。
，甲每小时注入118，乙每小时注入112，丙每小时放120，一个周期（各开一小时）注入118+112−120=445，根据工作总量÷工作效率=工作时间，列式1÷445=1114，说明各工作1114小时。实际甲乙丙各工作11小时水池水占整个水池的4445，剩下145有甲单独注入，需要时间145÷118=25（小时），所以注满水池需要时间3325小时。
6．解：第2粒黑珠记为0，以后依次将珠子记为1，2，3，…，29， 其中0，9，10，19，20，29这6颗珠子是黑色。
蚱蜢跳到的珠子为0，7，14，21，28，35，42，49…。
其中35-30=5，42-30=12，49-30=19，再次落在标号为19的黑珠，即第7次跳到的。
这是一个周期性的问题，蚱蜢每次跳过6粒珠子，则隔7个珠子，把珠子编上号码，将第2粒黑色珠子记为0，以后依次将珠子记为1、2、3、…、29．其中0、9、10、19、20、29的6粒珠子是黑色。蚱蜢跳过的珠子号码依次是0、7、14、21、28、35、42、49、…，因为周期是30，再根据周期性的知识解决即可。
7．解：（2015+1）÷2
=2016÷2
=1008（个）
2015-1008=1007（个）；
同理，第二轮之后还剩下1007-504=503（个），第三轮之后还剩下503-252=251（个），……，第10轮还剩下3-2=1（个）；
最后留下的编号是1024的数字，1024÷5=204……4
答：最后剩下的数字是4。
分析已知可知2015位数奇数位数字比偶数位数字多1，所以第一轮删去的数字个数=（2015+1）÷2=1008（个），则剩下2015-1008=1007（个）；同理，第二轮之后还剩下1007-504=503（个），第三轮之后还剩下503-252=251（个），……，第10轮之后还剩下3-2=1（个）；则留下的编号是1024的数字，1024÷5=204……4，即剩下一组中的第4个数字，因此最后剩下的数字是4，据此可以解答。
8．解：42分钟一个循环，有4次指向相同的数字，顺序分别是0、 6、 4、 2；
30÷4=7……2，余数2对应的是数字6。
答：它们的指针指着6。
本题主要考查了周期问题的解答方法，关键在于找出两根指针的周期。根据题意可知，第一只钟的指针指的数字是按照0、2、4、6、8、10的顺序循环，而第二只钟的指针指的数字是按照0、3、6、2、5、1、4的顺序循环。这就说明第一只钟和第二只钟的公共周期是6乘以7等于42，而在这42分钟内，两根指针指向同一标数是3次，因此需要先计算出第30次指向同一标数时的数字是多少。
9．解：解：从B点到A点的距离必须是38=0.375的最小倍数，它跳1次是0.375米，跳2次是0.75米，超过A点0.25米，跳3次超过B点0.125米，跳4次就到A点。由此可得，
1.5÷0.375=4（次）
1000÷4=250，
因为圆的周长=2πr=1米
当r扩大250倍时，
圆的周长=2π×250r=250（米）
答：跳完后圆周长等于250米。
蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向作跳跃运动，它跳1次是0.375米，跳2次是0.75米，超过A点0.25米，跳3次超过B点0.125米，跳4次就到A点，从A点滑向B点，又从B点开始重复，也就是跳4次就到A点，那么1000次里面有几个4次，圆的半径就有扩大几倍，周长也扩大几倍。
10．（1）解：根据题意，可知
（100-1）+2015÷100
=99+20.15
=119.15（分）
=11点59分9秒
答：第100只蜗牛到达终点的时间为11点59分9秒。
（2）解：设a号蜗牛和b号蜗牛同时到达终点（a