第三章 2026届高中数学（通用版）一轮复习 第七节　函数零点问题 课件

这是一份第三章 2026届高中数学（通用版）一轮复习 第七节　函数零点问题 课件，共43页。PPT课件主要包含了考点·分类突破，微突破隐零点问题，课时·跟踪检测等内容，欢迎下载使用。
　　利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式等结构的函数零点个数（或方程根的个数）问题的一般思路：（1）可转化为利用导数研究其函数的图象与x轴（或直线y＝k）在该区间上的交点问题；（2）证明有几个零点时，利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值（最值）、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明f（a）·f（b）＜0.
精选考点 | 课堂演练
数形结合法研究函数的零点（师生共研过关）
解题技法　　在借助函数图象研究函数零点问题时，要准确画出函数的图象，不仅要研究函数的单调性与极值的情况，还要关注函数值的正负以及变化趋势，把函数图象与x轴有无交点，哪一区间在x轴上方，哪一区间在x轴下方等情况分析清楚，这样才能准确地研究直线与图象交点的个数情况.
　若函数f（x）＝xln x－x＋｜x－a｜有且仅有两个零点，求a的取值范围.
解：由f（x）＝0可得｜x－a｜＝x－xln x，则函数y＝｜x－a｜与函数y＝x－xln x的图象有两个交点.设g（x）＝x－xln x，则g'（x）＝－ln x.令g'（x）＝－ln x＞0，解得0＜x＜1；令g'（x）＝－ln x＜0，解得x＞1.所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.
函数性质法研究函数的零点（师生共研过关）
（2025·郑州第三次质量检测）已知函数h（x）＝x2＋4－4（x sin x＋ cs x），试证明h（x）在R上有且仅有三个零点.
解题技法　　利用函数性质研究函数零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.
构造法研究函数的零点（师生共研过关）
解题技法　　在研究较复杂函数的零点（求较复杂方程的根）时，需构造出相应的函数，依据该函数的性质（单调性、极值等）求出函数的零点（方程的根），或利用零点（方程的根）求参数的取值范围.
　已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2ln x，若方程f（x）＝g（x）在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围.
　　在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f（x）在区间I上的零点，当所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可尝试这样求解：先证明函数f（x）在区间I上存在唯一的零点x0（例如，函数f（x）在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点），再进行解答即可.因为x0不易求出（当然，有时是可以求出但无需求出），所以把零点x0叫做隐零点（若x0容易求出，就叫做显零点）.
（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x＋y＝0，求实数a的值；
解： 因为f（x）＝ex sin x－ax，所以f'（x）＝ex（ sin x＋ cs x）－a，所以f'（0）＝1－a.因为曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x＋y＝0，所以f'（0）＝－1，所以1－a＝－1，所以a＝2.
（2024·茂名二模）已知函数f（x）＝ex sin x－ax.
点评 破解隐零点问题的一般思路：①确定隐零点的范围，隐零点一般不易求出，可用零点存在定理、数形结合等方法尽可能地缩小其范围，设出零点x0（设而不求）；②以零点x0为分界点，将函数划分为两类性质不同的单调区间（或导函数分为大于0、小于0两个区间）；③根据零点所满足的关系式，整体代入求解或证明.
已知函数f（x）＝xln x－ex＋1.讨论f（x）在（0，＋∞）上的单调性.
关键能力 | 课后练习
1. 已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋b2（b＜0）在x＝－1处有极值，且极值为8，则f（x）的零点个数为（　　）
2. 已知函数f（x）＝（x＋2）ex－m有两个零点，则m的取值范围是（　　）
3. 〔多选〕（2024·福州质检）已知函数f（x）＝x3－3ax＋2有两个极值点，则（　　）
5. 已知函数f（x）＝（x－1）ex－x2.（1）求函数的单调区间；
解： 由题可得f'（x）＝xex－2x＝x（ex－2），令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝ln 2，令f'（x）＜0，解得0＜x＜ln 2；令f'（x）＞0，解得x＜0或x＞ln 2，所以f（x）的单调递减区间为（0，ln 2）；单调递增区间为（－∞，0），（ln 2，＋∞）.
（2）求f（x）的零点个数.
解： 因为f（x）的单调递减区间为（0，ln 2）；单调递增区间为（－∞，0），（ln 2，＋∞），由于f（0）＝－1＜0，则f（x）在（－∞，0）上无零点；由于f（ln 2）＝2（ln 2－1）－（ln 2）2＜0，则f（x）在（0，ln 2）上无零点；由于f（2）＝e2－4＞0，则f（x）在（ln 2，2）上存在唯一零点，综上，函数f（x）在R上存在唯一零点.
6. 已知函数f（x）＝x3－12x＋m.
（1）若f（x）有两个零点，求m的值；
（1）若f（x）恰有两个零点，则16＋m＝0或－16＋m＝0，所以m＝－16或m＝16.
解：由f（x）＝x3－12x＋m得f'（x）＝3x2－12＝3（x＋2）（x－2）.令f'（x）＝0得x1＝－2，x2＝2，即得f（x）在区间（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在区间（－2，2）上单调递减，所以f（x）极大值＝f（－2）＝16＋m，f（x）极小值＝f（2）＝－16＋m.
（2）若f（x）仅有一个零点，求实数m的取值范围；
解：若f（x）仅有一个零点，则16＋m＜0或－16＋m＞0，所以m＜－16或m＞16.故实数m的取值范围为（－∞，－16）∪（16，＋∞）.
（3）若f（x）有三个零点，且m∈Z，求m的最大值与最小值.
7. 已知函数f（x）＝ln x－x＋2 sin x，f'（x）为f（x）的导函数.（1）求证：f'（x）在（0，π）上存在唯一零点；
（2）求证：f（x）有且仅有两个不同的零点.
所以φ（x）在[2π，＋∞）上单调递减，所以φ（x）≤φ（2π）＜0，所以当x∈[2π，＋∞）时，f（x）≤φ（x）≤φ（2π）＜0恒成立，所以f（x）在[2π，＋∞）上没有零点.综上，f（x）有且仅有两个不同的零点.