2025年高考押题预测卷：数学（新高考江苏专用03）（解析版）

这是一份2025年高考押题预测卷：数学（新高考江苏专用03）（解析版），共16页。试卷主要包含了已知纸的长宽比约为，已知，，则，已知双曲线，设函数，若，则的最小值为，若复数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题可知且，解得，
所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集，
因为只有选项A中的是的真子集，
故选：A
2．已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（ ）
A．114B．115C．120.5D．121
【答案】D
【详解】共10个数据，按顺序排列为：114，116，117，117，119，120，120，121，122，123，
，
则第75%分位数是第8个数据121，
故选：D.
3．已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【详解】因为为奇函数，所以，
用代替得，
又为定义在上的奇函数，所以，
所以，是以4为周期的周期函数，
因为，所以.
故选：D
4．在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（ ）.
A．1B．C．D．
【答案】A
【详解】
由图可知：，，
因为，所以，
整理得：，
根据平面向量基本定理可得：，解得，
所以，
故选：A．
5．已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】不妨设纸的长宽分别为；
当圆柱的高等于纸的长时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得，
故，
此时矩形轴截面的两条边长分别为，故；
当圆柱的高等于纸的宽时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得，
故，
此时矩形轴截面的两条边长分别为，故；
综上所述，，.
故选：B.
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
，
两边同时除以，
，
，
，
，解得，.
故选：C
7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设与渐近线的交点为，则为的中点，且，
又为的中点，所以，即，所以，
要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部，
根据对称性可知，即的取值范围是.
故选：B
8．设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，函数是增函数，且，
当时，，不合题意，故，函数是增函数，
令，得，由题意，
并结合，的图象，
则，即，
则，设，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，即的最小值为．
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数，则（ ）
A．
B．
C．z在复平面内对应的点位于第四象限
D．复数满足，则的最大值为
【答案】BCD
【详解】复数，，故A错误；
，，故B正确；
z的实部为4大于零，虚部为-1，小于零，则z在复平面内对应的点位于第四象限，故C正确；
因为复数满足，设在单位圆上，则表示和点z之间的距离，
其最大值为z到原点的距离加半径，最大值为，故D正确，
故选：BCD
10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），.记数列的前项和为，若，则（ ）
A．或32B．
C．当最小时的“雹程”是2步D．或4747
【答案】BC
【详解】对于A，因为，所以；
或；或，
，即或5或4，故A错误；
对于B，因为，所以从开始，周期为3，又，
所以，故B正确；
对于C，由A选项得的最小值为4，故雹程是2步，故C正确；
对于D，当时，；
当时，；
当时，，故D错误.
故选：BC.
11．已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（ ）
A．B．为偶函数
C．D．
【答案】ACD
【详解】，
令，得，解得；
令，则，又，
所以，得，
对于任意的都成立，所以为奇函数，故B错误；
令，得①，
把换成，得②，
又为奇函数，所以，又，
所以①②得，故D正确；
令，得，
所以，又，
所以，则，
所以函数的周期为4，得，故A正确；
，等式两边同时对求导，
得，
令，得，即③，
由，得，所以为偶函数，
由，得，
所以，所以函数的周期为4.
令，由③得，
同理可得，
所以，故C正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块．
（结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，）
【答案】
【详解】根据题意，所给模型中，
则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为，
因为，所以，
所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块.
故答案为：36.
13．某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则 ．
【答案】0.3
【详解】因为体重近似服从正态分布，
所以正态密度曲线关于对称，
所以，
则，
所以，
故答案为：0.3.
14．如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时之间的距离为，则 .

【答案】
【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴，轴的垂线相交于点，
连接，则，
由余弦定理得，
由上可知，轴垂直于，又平面，
所以轴垂直于平面，又轴，所以平面，
因为平面，所以，
因为的周期，所以，
由勾股定理得，解得
由图知，的图象过点，且在递减区间内，
所以即
因为，点在递减区间内，所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点.
(1)若AD平分，求证：；
(2)若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长.
【详解】（1）设，垂足为，
在中，，--------------------------------------------------------1分
在中，，---------------------------------------------------------3分
因为AD平分，
所以，于是有，------------------------------------------------------5分
因此有；---------------------------------------------------7分
（2）因为D为BC上靠近B的三等分点，
所以，-----------------------------------------------------------------------------------8分
因为，----------------------------------------------------10分
所以---13分
16．（15分）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围．
【详解】（1）依题意，，，
， ------------------------------------------------------------2分
故当时，，当时，， ----------------------------------------------4分
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．----------------------------------------6分
（2）依题意，， --------------------------------------------------------7分
令，得，---------------------------------------------------------------------------------9分
令，故问题转化为在区间上有两个不等的变号零点，
故--------------------------------------------------------------------------------------------12分
解得，-----------------------------------------------------------------------------------------------14分
综上所述，实数的取值范围为．-----------------------------------------------------------15分
17．（15分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
-------------------------------------3分
的分布列为
的数学期望．--------------------------------------------------------------------5分
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，--------------------------6分
．------------------------------------------------------------------------9分
即每位员工经过培训合格的概率为．----------------------------------------------------------------------------------10分
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，------------------------12分
，则（万元）---------------------------------------------------14分
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．---------------------15分
18．（17分）已知上下顶点分别为的椭圆经过点为直线上的动点，且不在椭圆上，与椭圆的另一交点为与椭圆的另一交点为（均不与椭圆上下顶点重合）.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线过定点；
(3)设（2）问中定点为，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【详解】（1）因为椭圆经过点，代入可得，解得，
所以椭圆的方程为；-------------------------------------------------------------------------------------------3分
（2）由题意，直线的斜率一定存在，设，直线的方程为，-----4分
联立椭圆和直线的方程得，--------------------------------------------------5分
由韦达定理可得，-----------------------------------------------------------------------6分
由点斜式可知直线的方程为，直线的方程为，------------------------7分
两式相比得，因为点在直线上，所以，-----------------------8分
又点在椭圆上，所以，变形得，所以，----------------9分
将直线方程代入得，即，-------10分
将韦达定理结果代入得，解得或，
因为均不与椭圆上下顶点重合，所以舍去，即，
直线的方程为，过定点.----------------------------------------------------------------------------------12分
（3）由题意可知，显然在直线的两侧，不妨设，
则，---------------------------------------13分
设存在常数，使得，，为等比数列，则，
即，-------------------------------------------------14分
由（2）可知，
代入化简可得，---------------------------------------------------------15分
由（2）知联立后的方程，
所以，解得，--------------------------------------------------------------16分
所以存在，使得，，总为等比数列.-----------------------------------------------------------------17分
19．（17分）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.

(1)若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值.
(2)在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为.
（i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值；
（ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长.
【详解】（1）因为球面三角形的三条边长均为，
所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体.-----------------------------1分
取的中点，连接，则，且，--------------------------------------2分
则为二面角的平面角.
由余弦定理可得
所以此球面三角形一个内角的余弦值为.---------------------------------------------------------------------------------3分
（2）因为平面，所以.
设，则，所以.------------------------------------------4分
由勾股定理的逆定理可得，又，
所以平面，又平面，所以，
因为直线与平面所成的角为，所以.-------------------------------------------------------5分
易知在和中，斜边的中点到点的距离相等，即为球的直径，所以.----------------------------------------------------------------------------------------------------------6分
以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7分

由题可知，
.---------------------------------------------------------------------810分
设与都垂直的向量为，
则令，则，------------------------------------------------------------9分
所以线段长度的最小值为.----------------------------------------------------------------------10分
（ii）设，由题可知，
则.------------------------------------------------------------------11分
设平面的一个法向量为，
则取，可得.-------------------------------------------------12分
设平面的一个法向量为，
则取，可得.--------------------------------------------------------13分
设平面与平面的夹角为.
因为
，------------------------------------------------------------------------14分
令，则，
可得，------------------------------16分
当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值，
故.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17分
0
1
2