湖北省武汉市江岸区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 （原卷版+解析版）

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A. B. C. D.
2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中可以判定是直角三角形的是（ ）
A ，，B. ，，
C. D.
5. 如图，当秋千静止时，踏板从点B到点A的距离（的长）为5m，将踏板往前推4m到C处时（即水平距离），它的绳索始终拉直，则此时踏板上升的高度（的长）为（ ）
A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米
6. 已知四边形，下列条件能判断它是平行四边形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ）
A. 一组对边平行而另一组对边不平行B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分
8. 如图，在菱形中，对角线交于点O，于点H，连接，若，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
9. 如图，矩形中，，H为对角线上一点，，连接并延长至点K，使得，连接，且，则的长为（ ）
A. B. C. D. 9
10. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形．连接，射线交边于点G．若小正方形的面积为1，阴影部分的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置．
11. 计算______．
12. 若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则______．
13. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、2、4，则最大正方形E的面积是______．
14. 两张全等的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为______．
15. 在矩形中，点E是的中点，连接、，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则______．
16. 如图，点是线段上的一个动点，，，且，则的最小值是______．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. 计算：
（1）
（2）
18. 已知，求下列各式的值：
（1）； （2）．
19. 如图，中，点E、F在对角线上，且．
求证：四边形是平行四边形．
20. 如图，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
21. 如图是由小正方形组成网格，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线，每个任务的画线不超过三条．
（1）在图1中，作出中点M；
（2）图1中，过点A作于点H；
（3）在图2中，点E为上一点，且点E为非格点，在上作点F，使；
（4）在图3中，点E为上一点，且点E为非格点，在上作点G，使得．
22. 定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”．
（1）关于的“美好数”是______；
（2）化简：；
（3）若是关于的“美好数”，请直接写出的值．
23. 问题背景 （1）在中，，，E，F分别是边所在直线上的两点，且．如图1，过点A作，且，连接，，可以证明，再可以证明．请直接写出，，之间的数量关系______．
尝试迁移 （2）在“问题背景”的条件下，将绕点A逆时针旋转至如图2所示位置，，，求的周长．
拓展创新 （3）如图3，在中，，点D，E在边上，，，若，，请直接写出的长______．
24. 已知四边形为矩形，点D为边上一动点，分别以点O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）如图1，若点B的坐标为，将沿翻折得到，并使得点B的对应点点E刚好落在y轴上．
①请直接写出点E坐标______；
②求出点D的坐标．
（2）如图2，当点D为边的中点时，仍将沿翻折得到，连接并延长交于点F，求证：点F为边的中点．
（3）如图3，若点D为边的中点，点B的坐标为），点P的坐标为．点Q为平面直角坐标系内一点，且，连接，请直接写出线段的范围______．
八年级数学
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故选：D．
2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式应满足两个条件：（1）被开方数不含开得尽方的因数或因式；（2）被开方数不含分数．据此逐项判断即可．
【详解】解：A．的被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B．满足最简二次根式的条件，故是最简二次根式；
C．的被开方数是分数，故不是最简二次根式；
D．的被开方数含有能开尽方的因数，故不是最简二次根式．
故选：B
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据二次根式的加法、减法、乘法运算法则计算后，再进行判断即可得到答案．
【详解】解：A.3与不是同类二次根式，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B. ，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，故原选项计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法以及乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4. 已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中可以判定是直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则可以判定是直角三角形，此项符合题意；
B、，则不可以判定是直角三角形，此项不符合题意；
C、∵，，
∴，则是等边三角形，不是直角三角形，此项不符合题意；
D、∵，，
∴，则是锐角三角形，不是直角三角形，此项不符合题意；
故选：A．
5. 如图，当秋千静止时，踏板从点B到点A的距离（的长）为5m，将踏板往前推4m到C处时（即水平距离），它的绳索始终拉直，则此时踏板上升的高度（的长）为（ ）
A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
由题意得，，，对运用勾股定理求出，再由即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∴，
故选：B．
6. 已知四边形，下列条件能判断它是平行四边形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定方法即可判断．
【详解】解：A、由，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、由，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、由，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D、由，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
7. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ）
A. 一组对边平行而另一组对边不平行B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，即可求解，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是对角线互相垂直，理由如下：
根据三角形的中位线定理得：
，，，，
∴，，
∴四边形一定是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
故选：C．
8. 如图，在菱形中，对角线交于点O，于点H，连接，若，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据菱形的性质和直角三角形的性质求出，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
故选：D．
9. 如图，矩形中，，H为对角线上一点，，连接并延长至点K，使得，连接，且，则的长为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】连接交与点O，过点A作与点E，由矩形的性质得出，，，，，，三角形中位线的定义以及性质，由含30度直角三角形的性质，，进一步根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接交与点O，过点A作与点E，
∵四边形是矩形，
∴，，，，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
在中，
，
∴，
故选∶A
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线的定义以及性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．
10. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形．连接，射线交边于点G．若小正方形的面积为1，阴影部分的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质，先根据正方形面积计算公式得到，设，根据三角形面积计算公式可得，则；过点B作交延长线于T，连接，证明是等腰直角三角形，得到，再证明四边形是矩形，得到，则；过点G分别作的垂线，垂足分别为F、H，则，即有．
【详解】解：∵小正方形的面积为1，
∴，
设，
∵阴影部分的面积为，
∴，
∴或（舍去），
∴；
如图所示，过点B作交延长线于T，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴；
如图所示，过点G分别作的垂线，垂足分别为F、H，
∴，
∴
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置．
11. 计算______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据，进行作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：2．
12. 若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式；掌握相关定义是解题关键．根据同类二次根式的定义计算求值即可．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故答案为：4．
13. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、2、4，则最大正方形E的面积是______．
【答案】72
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键．设另外两个正方形分别为F、G，且正方形E、F、G的边长分别为，利用勾股定理可得，，进而可得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，设另外两个正方形分别为F、G，且正方形E、F、G的边长分别为，
则有，，
∴，
即最大正方形E的面积是72．
故答案为：72．
14. 两张全等的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为______．
【答案】15
【解析】
【分析】先证四边形是菱形，再根据全等，得到．在中，根据勾股定理求出的长度，即可解决问题．
【详解】解：设交于点交于点，
∵四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形和四边形是全等的矩形，
，
在和中，
，
，
，
∴平行四边形是菱形，
，
，
设，
在中，，
，
解得：，
∴菱形的面积：．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理求解线段的长度是解题的关键．
15. 在矩形中，点E是的中点，连接、，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的性质证明，可得，，求解，，，延长交于，证明，可得，，，再结合等腰三角形的性质与三角形的外角的性质可得答案.
【详解】解：在矩形中，点E是的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵平分交于点G，平分，
∴，，，
延长交于，
则，而，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
16. 如图，点是线段上一个动点，，，且，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】作点关于线段的对称点，连接、，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点，由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而可得，当点与点重合时，则的最小值即为的长，由勾股定理以及含的直角三角形的性质求出的长度，进而可得的长度，即可得解．
【详解】解：作点关于线段的对称点，连接、，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点，如图所示：
由轴对称的性质可知：，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
当点与点重合时，则的最小值即为的长，
，
，
，
，，
，
，
，
，即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减法计算，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再计算加减法即可得到答案；
（2）先计算二次根式乘除法，再计算减法即可得到答案．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 已知，求下列各式的值：
（1）； （2）．
【答案】（1）12；（2）．
【解析】
【分析】先求出 ， ，
（1）然后利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；
（2）然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ， ，
∴（1）；
（2）．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的加减运算和乘法运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19. 如图，中，点E、F在对角线上，且．
求证：四边形是平行四边形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．连接交于，则可知，，又，所以，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】证明：连接交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
即．
∴四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
20. 如图，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．
（1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，即可得出结论；
（2）由三角形的面积公式即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
由勾股定理：，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，；
【小问2详解】
解：．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线，每个任务的画线不超过三条．
（1）在图1中，作出的中点M；
（2）在图1中，过点A作于点H；
（3）在图2中，点E为上一点，且点E为非格点，在上作点F，使；
（4）在图3中，点E为上一点，且点E为非格点，在上作点G，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，画三角形的高，等腰三角形的性质与判定等待，熟知相关知识是解题的关键．
（1）与格线的交点M即为所求；
（2）取格点T，连接交于H，则即为所求；
（3）设与格线交于O，连接并延长交于F，点F即为所求；
（4）取格点L、S，连接交于Q，连接并延长交于G，点G即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，与格线的交点M即为所求；
【小问2详解】
解；如图所示，取格点T，连接交于H，则即为所求；
【小问3详解】
解；如图所示，设与格线交于O，连接并延长交于F，点F即为所求；
可证明，则；
【小问4详解】
解；如图所示，取格点L、S，连接交于Q，连接并延长交于G，点G即为所求；
可证明，则垂直平分，且平分，
则可证明，
则可证明，则；
22. 定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”．
（1）关于的“美好数”是______；
（2）化简：；
（3）若是关于的“美好数”，请直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解；
（）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解；
（）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出，再把变形为，最后代入求值即可．
【小问1详解】
解：由“美好数”的新定义可得，
则关于的“美好数”是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：关于的“美好数”，
∴
．
23. 问题背景 （1）在中，，，E，F分别是边所在直线上的两点，且．如图1，过点A作，且，连接，，可以证明，再可以证明．请直接写出，，之间的数量关系______．
尝试迁移 （2）在“问题背景”的条件下，将绕点A逆时针旋转至如图2所示位置，，，求的周长．
拓展创新 （3）如图3，在中，，点D，E在边上，，，若，，请直接写出的长______．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
分析】（1）过点A作，且，连接，，证明，以及，再利用勾股定理求解即可；
（2）过点A作，且，连接，，证明，以及，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可；
（3）构造矩形，推出四边形是平行四边形，得到，在中，利用勾股定理求得，证明是等腰直角三角形，求得，再在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）过点A作，且，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2）过点A作，且，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）作，，交于点，连接，，，作交的延长线于点，作于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24. 已知四边形为矩形，点D为边上一动点，分别以点O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）如图1，若点B的坐标为，将沿翻折得到，并使得点B的对应点点E刚好落在y轴上．
①请直接写出点E的坐标______；
②求出点D的坐标．
（2）如图2，当点D为边的中点时，仍将沿翻折得到，连接并延长交于点F，求证：点F为边的中点．
（3）如图3，若点D为边的中点，点B的坐标为），点P的坐标为．点Q为平面直角坐标系内一点，且，连接，请直接写出线段的范围______．
【答案】（1）①，②
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）①根据矩形的性质、折叠的性质和勾股定理求出，即可得到答案；②设，则,利用折叠的性质和勾股定理列方程即可求出，即可得到的答案；
（2）连接交于点K，由轴对称可知是的垂直平分线，由点D为边的中点得到，证明四边形是平行四边形，则，由四边形是矩形得到，即可得到结论；
（3）证明点在以为直径的圆上，求出圆的半径，根据圆外一点到圆上所有点的距离的最小值和最大值进行解答即可．
【小问1详解】
解：①∵点B的坐标为，四边形为矩形，
∴
∵将沿翻折得到，并使得点B的对应点点E刚好落在y轴上．
∴
在中，，
∴，
∴点E的坐标为，
故答案为：
②由①可知，，
由折叠可知，
设，则,
在中，由勾股定理可得，
，
则
解得，
∴
【小问2详解】
连接交于点K，由轴对称可知是的垂直平分线，
∴，
∵点D为边的中点
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴点F为边的中点．
【小问3详解】
连接并取中点，连接，
∵，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
∵点B的坐标为，点P的坐标为．
∴中点为，，
∴圆的半径为，
∵点D为边的中点
∴，
∴到圆心的距离为，
∴的取值范围为
【点睛】此题考查了矩形的的性质、平行四边形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，数形结合和熟练掌握勾股定理是关键．