黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了所有题目必须在答题卡上作答，考试结束后，只交试卷答题页， 在中，，，，则是， 在直角梯形中，，，，，，则， 下面的命题正确的有， 已知复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
数学
考试时间：120分钟 卷面分值：150分
注意事项：
1.答题前，务必将自已的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只交试卷答题页.
第I卷选择题（共58分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，且，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
2. 下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边中点，且，则
A. B. C. D.
5. 已知，，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，，，则是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 等边三角形
7. 在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则
A. B. C. D.
8. 在直角梯形中，，，，，，则（ ）
A B.
C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下面的命题正确的有（ ）
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 单位向量都相等
C 若，满足且与同向，则
D. “若A、B、C、D是不共线四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的实部为3B. 的虚部为2
C. D.
11. 对于中，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则符合条件的有两个
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则
D. 若，则是钝角三角形
第II卷非选择题（共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. i是虚数单位，则，则的值为________．
13. 已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角的大小为______.
14. 已知的外接圆半径为，，，则的面积为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量，．
（1）求的值；
（2）求值．
16. 设复数，其中.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.
17. 已知，，设，
（1）若，求实数k的值；
（2）当时，求与的夹角的余弦值；
（3）是否存在实数k，使，若存在k，求出k的值；若不存在，说明理由．
18. 在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：

（1）刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？
（2）缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
19. 在锐角中，分别是角的对边，若.
（1）求角的大小；
（2）求取值范围；
（3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，求面积的最大值.
哈田中（哈73中）2024-2025学年度下学期
高一学年第一次月考
数学
考试时间：120分钟 卷面分值：150分
注意事项：
1.答题前，务必将自已的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只交试卷答题页.
第I卷选择题（共58分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，且，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
分析】利用复数相等列方程组，由此求得.
【详解】由于，
所以.
故选：C
2. 下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；
对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；
对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；
对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.
故选：A
3. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数对应的点的坐标写出复数的代数形式，结合共轭复数的定义进行求解即可.
【详解】因为复数对应的点的坐标是，
所以，因此，
故选：B
4. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算可得的表示形式.
【详解】，
故选：A．
【点睛】本题考查向量的线性运算，用基底向量表示其余向量时，要注意围绕基底向量来实现向量的转化，本题属于容易题.
5. 已知，，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，，则在方向上的投影向量为，即可求解．
【详解】由，，，，得，，
所以在方向上的投影向量为
.
故选：A.
6. 在中，，，，则是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形三边的大小关系，可以判定角为最大角，结合余弦定理，求得，即得所求.
【详解】在中，因为，，，则，所以，
由余弦定理可知：，
所以角为钝角，则是钝角三角形.
故选：C.
7. 在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知及余弦定理可得，可得，利用三角函数恒等变换的应用可求，由，可得，进而可求，即可得解．
【详解】解：，
由余弦定理可得：，可得，
，
，可得：，可得：，
，由，可得：，，
．
故选D．
【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8. 在直角梯形中，，，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意得，，进而得，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案.
【详解】由题意可求得，，
所以，
又，
则
.
故选：C.
【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下面的命题正确的有（ ）
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 单位向量都相等
C. 若，满足且与同向，则
D. “若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【答案】AD
【解析】
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.
故选：AD.
10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的实部为3B. 的虚部为2
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案.
【详解】由于复数，所以z的实部为，虚部为2，所以，.
所以AC选项错误，BD选项正确.
故选：BD
11. 对于中，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则符合条件的有两个
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则
D. 若，则是钝角三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A选项，由于给出的条件是可以判断三角形全等的条件，所以符合条件的三角形只有一个；
对于B选项，由条件可得三角形两个角相等，所以可以判断三角形为等腰三角形；
对于C选项，由正弦定理先将角化为边，再换成角度的正弦值可判断；
对于D选项，边角转换后可由余弦定理判断.
【详解】A选项，给出的条件为SAS（两边一夹角），符合这个条件的三角形有且只有一个，所以A选项错误；B选项，由，可得，则为等腰三角形，所以B选项正确；C选项，∵，∴，∴，∴，所以C选项正确；D选项，边角转换得，∴，∴C为钝角，则是钝角三角形，所以D选项正确.
故选：BCD.
第II卷非选择题（共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. i是虚数单位，则，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的乘法法则化简得到，求出.
【详解】由题意得，即，
，
故，
故答案为：
13. 已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角的大小为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据向量垂直数量积等于，结合已知条件求出的值，利用向量夹角公式即可求解.
【详解】由，所以，即，
因为，，所以，
设向量的夹角为，所以，所以.
故答案为：.
14. 已知的外接圆半径为，，，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可求得，结合正弦定理可求得，即，进而可求得，再根据三角形面积公式即可求解.
【详解】由，，解得，
由正弦定理可得，，所以，
则，
所以的面积.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算的坐标，然后由向量模的公式可得；
（2）由数量积的坐标表示可得.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以．
16. 设复数，其中.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数定义可得到解方程即可；
（2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可.
【小问1详解】
是纯虚数，只需，解得.
【小问2详解】
由题意知，
解得，
故当时，所对应的点在复平面的第四象限内.
17. 已知，，设，
（1）若，求实数k的值；
（2）当时，求与的夹角的余弦值；
（3）是否存在实数k，使，若存在k，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）1 （2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由向量的坐标，可求向量的模和数量积，若，则，利用向量的模和数量积求实数k的值；
（2）由向量的夹角公式，利用向量的模和数量积求与的夹角的余弦值；
（3）由向量的平行条件，求实数k的值.
【小问1详解】
由题意，向量 ， ，可得 ，
由，
得，
解得；
【小问2详解】
时，，
，
．
∴，
∴与的夹角的余弦值为；
【小问3详解】
由，则成立，得，
因为不共线，故，解得．
∴存在实数，使得．
18. 在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：

（1）刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？
（2）缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
【答案】（1）缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向
（2）缉私船沿北偏西方向能最快追上走私船
【解析】
【分析】（1）根据题求得，由正弦定理求得，得到，得出为水平线，即可得到答案；
（2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，得到，结合正弦定理求得，进而得到答案.
【小问1详解】
由题意，可得，
则 ，
在中，由正弦定理，即，
解得，因为，所以，所以为水平线，
所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向．
【小问2详解】
设经过时间小时后，缉私船追上走私船，
在中，可得，
由正弦定理得，
因为为锐角，所以，
所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．
19. 在锐角中，分别是角的对边，若.
（1）求角的大小；
（2）求取值范围；
（3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，求面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数关系结合两角和的正弦公式化简，即可得出答案；
（2）确定锐角中角的范围，利用两角和的正弦公式化简，结合正弦函数的性质，即可得出答案；
（3）由题意得，可得为等边三角形，令，，，由正弦定理推出，结合余弦定理推出，利用三角形面积公式结合正弦函数最值，即可得出答案.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，，
即，
所以，
由，得，所以，即，
因为，所以.
【小问2详解】
在锐角中，由（1）得，所以，
所以，解得，
所以
，
由，得，所以
所以的取值范围为.
小问3详解】
由（2）知，当取得最大值时，，解得，
又，所以为等边三角形，
在中，令，，，
则，所以；
又，
所以，
所以，
所以
，而，
故当时等号成立，所以面积的最大值为.