黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（Word版附解析）

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考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】计算出，则可选出答案.
【详解】，
所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限.
故选：B
2. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标运算公式直接求解即可.
【详解】因为向量，，
所以，得.
故选：C
3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理即可得到答案.
【详解】由正弦定理，得.
故选：A.
4. 如图，已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出．
【详解】由，得，而，
所以.
故选：B
5. 已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用数量积的运算得到，再利用投影向量的定义，即可求解.
【详解】因为，，则，
即得到，
所以在上的投影向量是，
故选：C.
6. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A. 船头方向与水流方向垂直B.
C. D. 该船到达对岸所需时间为3分钟
【答案】C
【解析】
【分析】先根据航程最短的条件确定船头方向，再利用向量关系求、合速度以及渡河时间.
【详解】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误.
设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得.
已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误.
由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得.
将，代入，可得，C选项正确.
河宽米千米，合速度，可得.
将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误.
故选：C.
7. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，求出角，再结合正弦定理求出边，最后根据三角函数的性质求出周长的最大值．
【详解】已知，由正弦定理可得，，．
将其代入已知条件可得:．
因为，那么．
则，移项可得．
因为，所以，两边同时除以可得．
又因为，所以．
已知的外接圆直径为，即，由正弦定理可得．
，．且．
则的周长．
根据两角差的正弦公式和辅助角公式，可得：
因为，所以．
当，即时，取得最大值．
此时周长的最大值为．
故选：Ｂ．
8. 在中，已知，，若点为的外心，点满足，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】将用与表示出来，再利用外心的性质求出与，最后根据向量数量积的运算求出．
【详解】已知，即．
根据向量加法的三角形法则可得，将代入可得：

设为中点，因为点为的外心，则，即．
又因为．
由于，且，则．
已知，所以．
同理，设为中点，则．
因为，且，所以．
已知，所以．
将代入可得：
故选：A．
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若且，则
C. 在中，内角，，的对边分别为，，，是的充要条件
D. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，则是等腰三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项零向量和任意向量平行，若，即便且，与也不一定平行．
B选项可化为，这只能说明与垂直，不能得出．
C选项正弦定理，大角对大边，则，能推出；反之也成立，所以是充要条件．
D选项由正弦定理把化为，因为，所以或，三角形可能是等腰或直角三角形．
【详解】当时，对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行．所以选项错误．
由可得，根据向量数量积的分配律，即．
当时，只能说明与垂直或者，选项错误．
在中，根据正弦定理（为外接圆半径），可得，．
若，则（大角对大边），即，所以；反之，若，则，即，所以．
因此，是的充要条件，选项正确．
已知，由正弦定理，可得，，则，即．
因为，所以，那么或．
当时，，是等腰三角形；
当时，，是直角三角形．
所以仅由不能得出一定是等腰三角形，选项错误．
故选：ABD．
10. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，角的平分线交于，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C D.
【答案】AD
【解析】
【分析】对于选项A，用角平分线定理得，推出，再把用与表示．对于选项B，用三角形面积公式，代入，，计算面积判断．对于选项C，根据，分别表示出三个三角形面积列方程求．对于选项D，先在用余弦定理求，再求、，最后在用余弦定理求．
【详解】在中，是角的平分线，则．
已知，，即，，所以，那么．
因为，所以选项A正确．
根据三角形面积公式．
已知，，，则，所以选项B错误．
因为．
由，，，可得．
即，，解得，所以选项C错误．
在中，根据余弦定理．
由前面计算可知，，，则，所以．
在中，再根据余弦定理求，，，，所以，．
则，所以选项D正确．
故选：AD．
11. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若为锐角三角形，且，则该三角形面积的范围为
C. 设，且，则的最小值为
D. 若的面积为2，，，边上的高分别为，，，且，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦定理和三角恒等变换得到，从而得到，求出判断A，利用为锐角三角形求出，再结合正弦定理和三角形面积公式表示出，最后利用正切函数性质求解取值范围判断B，将变形为，两边平方后得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最值判断C，利用三角形面积公式，得到，，利用余弦定理及基本不等式求出，从而求出的最大值判断D即可.
【详解】对于A，由题意得，
由正弦定理可得，
而，
故，因为且位于分母位置，
所以，得到，
即，又，所以，故A正确，
对于B，因为为锐角三角形，所以，，
而，解得，
由三角形面积公式得，
由正弦定理得，解得，
，
则，因为，所以，
则，故，即，故B正确，
对于C，因，即，
得到，故，
两边平方并化简得，
则，得到，
故，，
得到，则，
，
当且仅当时取等号，所以的最小值不为，故C错误，
对于D，结合三角形面积公式得，，，
则，
又因为，所以，
结合余弦定理得，
当且仅当时等号成立，则，
得到，故D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12. 设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的模的几何意义确定点的集合所表示的图形，再根据圆的面积公式计算该图形的面积．
【详解】根据复数模的几何意义，复数在复平面内对应的点到原点的距离为．
已知，这表示点到原点的距离大于等于且小于等于，所以点的集合形成的图形是以原点为圆心，半径和半径的两个圆所夹的圆环（包括内外圆周）．
半径为的圆的面积，半径为的圆的面积．
所以圆环面积．
故答案为：．
13. 已知的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，则的最小角的余弦值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由题设可得最小，利用余弦定理可求其余弦值.
【详解】因为，故可设，
因为，故最小，从而.
故答案为：.
14. 在中，，，，，则面积的最大值为______，此时的最小值为______．
【答案】 ①. 12 ②.
【解析】
【分析】作出辅助线，利用向量线性运算得到，利用三角形面积公式求出最值.再建立坐标系，得到点的坐标，运用坐标运算，结合二次函数知识求最值即可.
【详解】设点为线段的三等分点，因为，
，
则，
当且仅当时，等号成立，
故面积的最大值为12.
由于，，，则点为线段的三等分点，
则，设，由得，
，即，
则，，得，
整理得到，，则.
则，
即，，则，则.
当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：12；.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，向量，．
（1）求函数周期及其单调递增区间；
（2）当，求函数的值域．
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算和三角恒等变换得，从而得到其最小正周期和单调增区间；
（2）利用整体法得，从而得到其值域.
【小问1详解】
，
则其最小正周期为，
令，
解得，
则其单调递增区间.
【小问2详解】
因为，则，
则其值域为，即.
16. 已知向量，，，且．
（1）求；
（2）求向量与的夹角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量加减运算、数乘运算、数量积的坐标表示，求出的值，再利用向量的模长公式计算即可.
（2）根据向量数量积的定义计算向量的夹角.
【小问1详解】
由题意，，，
因为，所以，解得.
则，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，故.
所以.
故向量与的夹角的余弦值为.
17. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，为线段中点，且．
（1）求；
（2）求值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理得，再利用向量中线定理和数量积运算律即可得到答案；
（2）首先求出，再利用正弦定理即可得到答案.
【小问1详解】
因为，则，
则，
因为，所以.
因为，则，
即，
即，代入，化简得，解得或（舍去），则.
【小问2详解】
因为，即，解得.
根据正弦定理得，即，解得.
18. 为响应习总书记关于“绿水青山就是金山银山”的生态发展理念，哈三中学生发展中心开展“播种校园绿色，守护绿色校园”种植活动．已知教学楼下有一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为学生的休息区域，阴影区域为“绿植”区域，点在弧上，点和点分别在线段和线段上，且，，设．
（1）当时，求的值；
（2）请用表示线段的长度，并写出学生的休息区域的面积关于的函数关系式；
（3）拟在阴影区域种植一些花草，费用为6元，求总费用关于的函数关系式，并求其最小值．
【答案】（1）
（2）；.
（3）；
【解析】
【分析】（1）在中由正弦定理求得，即可由数量积的定义求得结果；
（2）在中由正弦定理用表示，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的.
（3）根据扇形面积公式计算出扇形面积，进而求出阴影部分面积，得到费用函数关系式，借助三角函数性质求最值即可.
【小问1详解】
根据题意，在中，，又，
故由正弦定理可得：，
解得，
故.
【小问2详解】
在中，，
由正弦定理得，即，即，
则停车场面积，
即，其中，
.
则.
【小问3详解】
设阴影部分面积为， 扇形空地面积为，则.并且.
则.
则，则.
因为，所以，
则当，即时，取得最小值，则总费用取得最小值.
求得.
19. 定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
（1）若向量为函数的伴随向量，求的坐标；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，内角，，的对边分别为，，，恰好为函数的最大值．
（ⅰ）若的角平分线交于点，，求的最大值；
（ⅱ）在锐角中，求的范围．
【答案】（1）;
（2）（i）;
(ii) .
【解析】
【分析】（1）利用两角和正弦公式展开结合题意即可求解；
（2）(i)利用辅助角公式结合题意可求角，利用等面积法可表达出角平分线长，结合余弦定理和基本不等式可求出最大值；
(ii)利用正弦定理边化角，再利用内角和消元，再利用和差化积和积化和差公式，再利用熟悉函数的单调性可求出值域.
【小问1详解】
由已知得：，
根据题意可知：；
【小问2详解】
(i)根据题意由可知：，
利用辅助角公式得：，
其中，
当时，取到最大值，
所以，则
同理
由二倍角公式得：，
如图，由三角形面积可得：
可得：，
再由余弦定理得：，
因为，
所以有，
则；
当且仅当时取等号.
(ii)利用正弦定理角化边可得：，
因为再利用和差化积和积化和差可得：
，
代入则，
当时，取最大值1，
利用已知函数在上单调递减，可知是单调递减函数所以可得：，
当时，可得：，
此时可得，
由于此三角形是锐角三角形，所以根据单调递减性可得：
.
【点睛】方法点睛：(i)利用是等腰三角形时取到最大值，所以可利用基本不等式进行两次放缩证明即可；
(ii)利用边化角思想，再用内角和消元，最后化归到一个角的三角复合型函数上来，可利用函数单调性来求值域.