2025年高考押题预测卷：数学（上海卷02）（解析版）

这是一份2025年高考押题预测卷：数学（上海卷02）（解析版），共16页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知全集，集合，则
【答案】/
【详解】因为，
又全集，所以.
故答案为：
2．已知函数，则 ．
【答案】
【详解】，
所以
故答案为：.
3．不等式的解集为 ．
【答案】或
【详解】解：不等式可化为
，
即，
解得或，
所以不等式的解集为或．
故答案为：或．
4．已知函数为奇函数，则 ．
【答案】2或
【详解】函数为奇函数，其定义域为
由，解得或
当时，，则，满足条件.
当时，，则，满足条件.
故答案为：2或
5．已知平面向量，，若，则 .
【答案】
【详解】因为平面向量，，且，
所以，得，
故答案为：
6．的二项展开式中项的系数是20，则实数的值是 .
【答案】
【详解】根据二项式展开式的通项公式
则展开式中项为
又，则该项为，
已知项的系数是20，则，即，
解得.
故答案为：
7．已知抛物线的焦点为，为轴上一点，若，且抛物线经过线段的中点，则实数 ．
【答案】/
【详解】
抛物线的标准方程为，开口向上，焦点.
设坐标原点为，线段的中点为，抛物线的准线为，
因为点是中点，点到准线的距离为，则，由抛物线的定义知，
，所以，解得．
故答案为：
8．某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，
则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为，解得.
因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以.
故的取值范围是.
故答案为：.
9．已知复数满足，且为实数，则 ．
【答案】或或．
【详解】设
化简得
解得或
将代入可得，
（1）当时，即则有，此时
（2）当时，则，故有则有或
综上所述故或或．
故答案为： 或或．
10．已知全集，在中任取四个元素组成的集合记为，余下的四个元素组成的集合记为，若，则集合的取法共有 种.
【答案】31
【详解】集合中的原式和为，
若，
则，
当时，需从选取两个数字之和小于15，有种选法，
当时，需从选取两个数字之和小于14，有种选法，
当时，需从选取两个数字之和小于13，有种选法，
当时，需从选取两个数字之和小于13，有6种选法，
当时，需从选取两个数字之和小于12，有1种选法，
所以共有种选法.
故答案为：
11．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的作为单位来度量弦长．将圆心角所对的弦长记为．如图，在圆中，的圆心角所对的弦长恰好等于圆的半径，因此的圆心角所对的弦长为60个单位，即．若为圆心角，，则

【答案】
【详解】设圆的半径为，时圆心角所对应的弦长为，
利用余弦定理可知，即可得
又的圆心角所对的弦长恰好等于圆的半径，的圆心角所对的弦长为60个单位，
即与半径等长的弦所对的圆弧长为60个单位，
所以.
故答案为：
12．已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为 .
【答案】18
【详解】由知：或；
当时，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，解得；
当时，数列是以1为首项，为公比的等比数列，
，则，解得：（舍）；
若数列是等差与等比的交叉数列，又，；
若要最小，则，，，
，
，
此时，故的最小值为18.
故答案为：18.
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（ ）
A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
【答案】D
【详解】对于A：去掉图中右下方的点后，根据图象，两个变量还是负相关，A错误；
对于BCD：去掉图中右下方的点后，相对来说数据会集中，相关程度会更高，
但因为是负相关，相关系数会更接近线性相关系数会变小，故D正确，BC错误.
故选：D.
14．函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由二倍角公式得，
故设的最小正周期为，.
故选：A
15．已知空间任意一点和不共线的三点，若，则“”是“四点共面”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】当时，，
即，，
三点共线，四点共面，充分性成立；
当四点共面时，，
满足条件的数据不止，必要性不成立；
“”是“四点共面”的充分不必要条件.
故选：B.
16．若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记.下列命题中正确的是（ ）
A．已知，且，则
B．已知，若，则对任意，都有
C．已知，，则存在实数，使得
D．已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得
【答案】D
【详解】A选项，由，可得，，
因为，所以，，故A错误；
B选项，由知，且，
则且，
但是不一定成立，例如：，，故B错误；
C选项，由，，
当，即时，；
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，
所以不存在实数，使得，故C错误；
D选项，由，，取，
可得，对任意实数，总存在使之成立，故D正确.
故选：D.
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17．（14分）在正三棱锥中，是的中点且，.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）取BC中点为E，连接PE、AE.
∵，∴，∵，所以，
又∵，平面，∴面，
∵面，∴，
又∵且，平面，∴面，
平面，∴，，
又为正三角锥，，由，知
∴.（7分）
（2）作平面于，∵为正三棱锥，∴为正的中心.
取OB中点为F，连接FD、CF，
∵D是PB中点，F为OB中点，∴且，∴平面
∴是在平面上的投影，则为与平面所成角.
在中，，
在，
在中，
在中，，，则.
记与平面所成角为，.（7分）
18．（14分）已知．
(1)当时，求函数的定义域及不等式的解集；
(2)若函数只有一个零点，求实数a的取值范围．
【详解】（1）解：当时，，
∴的定义域为，
∴，即，
∴函数的定义域为，
不等式等价于，
∴，即，
∴不等式的解集为；（7分）
（2）解：，
∵函数只有一个零点，
∴只有一解，将代入，得，
∴关于x的方程只有一个正根，
当时，，符合题意；
当时，若有两个相等的实数根，
则，解得，此时，符合题意；
若方程有两个相异实数根，则，即，
∴两根之和与积均为，
∴方程两根只能异号，∴，即此时方程只有一个正根，符合题意．
综上，实数a的取值范围是：．（7分）
19．（14分）进入2020年冬季以来，猪肉价格出现了一定的回落，在这种情况下，某单位对其320名员工进行了问卷调查，其中男职工有200人，得到每周购买猪肉的花费情况如下：
女职工中每周购买猪肉的花费不低于30元者占.若每周购买猪肉的花费低于30元者视为“不喜欢吃肉”，否则视为“喜欢吃肉”
（1）若以每组数据的中点代替该组数据，求该单位男职工购买猪肉花费的平均数；
（2）①请根据条件填写下列的列联表；
②分析是否有99.5%以上的把握认为该公司的职工是否喜欢吃肉与性别有关?
参考公式：.
参考数据
【详解】（1）由题意，该单位男职工购买猪肉花费的平均数为：
（元）；（4分）
（2）①根据频率分布直方图可知，男职工中喜欢吃肉的人数为
，
女职工喜欢吃猪肉的人数为，列联表如下：
②由条件可得，
，
所以，有99.5%以上的把握认为该公司的职工是否喜欢吃肉与性别有关.（10分）
20．（18分）已知椭圆C：．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点．
(1)求的最小值；
(2)当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)若直线与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线与交于点E，求线段的取值范围．
【详解】（1）
由椭圆方程知，，所以右焦点，
设，则，由代入得：
，
由于，对称轴，
所以，
即的最小值为，此时点为椭圆的右顶点.（6分）
（2）
由直线的斜率为1且经过，可得直线方程，
与椭圆联立方程组，消元得：，
解得，则代入得：，所以，
则，
设平行于直线的直线方程为，则与椭圆联立方程组，消元得：
，当此直线与椭圆相切时，满足判别式为，
即，解得，
根据数形结合可得时，满足切点取到面积最大值，
此时方程为，
代入直线得，则，
由点到直线的距离公式得：
，
所以面积的最大值为，
此时点；（6分）
（3）
设过点直线为：，与椭圆联立方程组，消元得：
，
由，
再由于交点D不在x轴上，即，
设交点，则有，
代入得：，
由于Q关于原点的对称点为点R，所以，
则直线方程为，与直线相交得：
点纵坐标为，
而直线与直线相交得：
点纵坐标为，
所以可得
当且仅当，即时，取到最小值.
即的取值范围是（6分）
21．（18分）已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数.
(1)函数，是否为函数﹖请说明理由；
(2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；
(3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式.
【详解】（1）是函数，理由如下，
对任意，，
，故（6分）
（2）（ⅰ）若为在区间上仅存的一个极大值点，则在严格递增，在严格递减，
由，即，得，
又，，则，（构造时，等号成立），
所以；
（ⅱ）若为在区间上仅存的一个极小值点，则在严格递减，在严格增，
由，同理可得，
又，，则，（构造时，等号成立），
所以；
综上所述：所求取值范围为；（6分）
（3）显然为上的严格增函数，任意，不妨设，
此时，
由为函数，得恒成立，即
恒成立，
设，则为上的减函数，，得对恒成立，
易知上述不等号右边的函数为上的减函数，
所以，所以的取值范围为，
此时，
法1：当时，即，由，而，所以为上的增函数，
法2：，
因为，当，，所以为上的增函数，
由题意得，，.（6分）
喜欢吃肉
不喜欢吃肉
合计
男职工（单位:人）
女职工（单位:人）
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜欢吃肉
不喜欢吃肉
合计
男职工（单位:人）
100
100
200
女职工（单位:人）
40
80
120
合计
140
180
320