2025年高考押题预测卷：数学（上海卷03）（解析版）

这是一份2025年高考押题预测卷：数学（上海卷03）（解析版），共16页。试卷主要包含了若，则的值为 .等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（（1-6题，每小题4分，7-12题，每小题5分，共54分））
1．已知全集 ，集合 ，则 .
1.【答案】
【解析】因为，，
所以.故答案为：.
2．已知向量，，若与垂直，则的值为 ．
2.【答案】/
【解析】因向量，，则，
则，解得：.故答案为：.
3．直线被圆截得的弦长为 ．
3.【答案】
【解析】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
所以所求弦长为. 故答案为：.
4．若，则的值为 .
4.【答案】
【解析】.
故答案为：
5．复数在复平面内对应的点的坐标为 ．
5.【答案】
【解析】依题意，，所以点的坐标为.
故答案为：
6．记为正项等比数列的公比，若，则 .
6.【答案】5
【解析】由题意，，则，因为，所以 ，
由可知，则有，即，解得或.
因为数列是正项等比数列，则，所以. 故答案为：5.
7．在的展开式中，项的系数为60，则的值为 .
7.【答案】
【解析】展开式的通项公式，
令，可得，则项的系数为，可得.故答案为：
8．已知双曲线（，）的上、下焦点分别为，，过的直线l与双曲线C的上、下两支分别交于点P，Q.若，，则双曲线C的离心率为 .
8.【答案】
【解析】因为，，
所以设所以，
则，所以，
所以，又因为，所以，
则双曲线C的离心率为.
故答案为：.
9．某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为 .
9.【答案】32
【解析】设丢失的数据为，
则平均数为，众数是8，
若，则中位数为8，此时，解得舍去）；
若，则中位数为，此时，解得；
若，则中位数为10，此时，解得；
所有可能的值为9，23，其和为32. 故答案为：32.
10．如图，某香包挂件是正四棱锥形状，其高为，底面边长为，若将此棱锥放在一球内可任意转动，则该球表面积的最小值为 .
10. 【答案】/
【解析】如图，设该香包挂件的直观图为正四棱锥，其底面的中心为，则为正四棱锥的高，所以，由题可知在正方形中，，所以，所以.由题可知正四棱锥的外接球即为所求，易知正四棱锥外接球的球心在直线上，设其外接球的直径为，因为点在正四棱锥外接球的球面上，所以，
又，所以由几何性质可得，则，
所以，故外接球的表面积为，即所求球的表面积的最小值为.
故答案为：.
11．棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为 .

11.【答案】
【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，设，，
所以，
，
因为平面，
所以，
故，
，故，
其中，
故，
故当时，，此时满足要求，
所以线段PQ的最小值为.
故答案为：
12．项数为的数列满足，当且仅当时（其中），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为 ．
12. 【答案】/
【解析】由题意，因为项数为6且，
所以每一项都有两种选择，根据分布乘法计数原理，
可构成的数列个数为个，
由题意，若为“好数列”，则意味着若，其前一项与后一项相等，
①则若中没有0，则数列为，不符合题意，
②若中有1个0，不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意，
③若中有2个0，则，，符合“好数列”定义；
④若中有3个及以上0，若0相邻，根据定义，数列只能为，
若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意，
综上，符合题意的“好数列”只有4个，
所以数列是“好数列”的概率为.
故答案为：
二、选择题（13-14题，每小题4分，15-16题，每小题5分，共18分）
13．“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分条件D．既不充分也不必要条件
13.【答案】B
【解析】同向不等式可以相加，所以“且”“”，必要性满足；
若时，取，此时且不成立，即充分性不成立；
则“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B
14．下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
14.【答案】C
【解析】对于A选项，函数在区间上为减函数；
对于B选项，函数在区间上为减函数；
对于C选项，函数在区间上为增函数；
对于D选项，函数在区间上为减函数.
故选：C.
15．经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为，则（ ）
A．当胸径时，树高y的预测值为14B．
C．表中的树高观测数据y的40%分位数为10D．当胸径时，树高y的离差为0.32
15.【答案】B
【解析】由题意可知，，，
经验回归方程过点，，解，故B正确；
对于A，由B可知，当胸径时，树高y的预测值为，A错误；
对于C，，表中的树高观测数据y的40%分位数为，C错误；
对于D，由B可知，当胸径时，树高y的预测值为，
树高y离差为，D错误.
故选：B.
16．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题：
①已知点，直线，则；
②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ）
A．命题①成立，命题②不成立B．命题①不成立，命题②成立
C．命题①②都成立D．命题①②都不成立
16.【答案】C
【解析】对于①，设点Q是直线上一点，且，可得，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最值，
综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故①正确；
对于②，定点、，动点，
满足，
则：，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设，.
当时，有，得：；
当时，有，此时无解；
当时，有，；
则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.
结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，因此②正确，
故选：C.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．已知函数，其中．
(1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.【答案】(1)，证明见解析；(2)
【解析】（1）函数定义域为R，若是奇函数，则，解得，
此时，，符合题意，
故.
（2）当时，，
由，则，当且仅当，即时等号成立，
所以，又不等式恒成立，得，
则实数的取值范围为.
18．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，且.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
18. 【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】（1），
，且，
又
面PBD 又是平行四边形 面PBD
（2） 设与BD交点为O，
则为中点，，
面面，
面
法一：建系：如图建系，
，
，
设平面的法向量为，
则，
设平面的法向量为，
则，
设二面角的平面角为
二面角的余弦值为．
法二：即求直接找角：作面PBD，
面，作，连即为所求角
二面角的余弦值为．
法三：等积法：角度转化+等体积公式
设二面角的平面角为
二面角的余弦值为．
19．为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
(1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
(2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附：；
(3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布和期望.
19.【答案】(1)列联表见解析，0.35；(2)有；(3)分布见解析，期望为.
【解析】（1）完善列联表，如下：
每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为.
（2）由（1）得，
所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”.
（3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，
的所有可能值为0，1，2，3，
，
，
所以的分布为：
0 1 2 3 91228 3576 538 1114
期望.
20．设双曲线的方程为(常数.
(1)若双曲线的焦距为4，求两条渐近线的夹角；
(2)设是第一象限内双曲线上一点，是双曲线右顶点，当为等腰三角形时，求点的坐标；
(3)设是直线上一点.已知过点的直线、的斜率分别为，分别与交于和，当时，求的值.
20.【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）对于双曲线，其标准方程为，其中.
双曲线的焦距，则.
根据双曲线的性质，已知，，代入可得，即，解得，则.
对于双曲线，其渐近线方程为.
已知，，则双曲线的渐近线方程为.
设渐近线的倾斜角为，则，
因为倾斜角，所以.
设渐近线的倾斜角为，则，
因为倾斜角，所以.
两条直线夹角的范围是.
两条渐近线倾斜角相差，所以两条渐近线的夹角为.
（2）对于双曲线，则.
已知，则双曲线方程为.
分情况讨论为等腰三角形时点的坐标：
情况一：当时，
已知，，则.
设（，），因为，根据两点间距离公式可得.
又因为点在双曲线上，所以，联立方程组，解方程组：
由可得，即.
将代入中得：，
解得或（舍去）.
当时，，（），所以.
情况二：当时
，则，即，.
联立方程组，将代入中得：
，解得或（舍去）.
当时，，（不满足在第一象限，舍去）.
情况三：当时
，两边同时平方可得，即，展开得，移项可得，解得（不满足在第一象限，舍去）.
综上所得，点的坐标为.
（3）设，直线的方程为（为参数），其中.
直线的方程为（为参数），其中.
将直线的方程代入双曲线方程
把代入双曲线方程，可得：
展开并整理得：
设、对应的参数分别为、，根据韦达定理，.
由直线方程中参数的几何意义可知.
因为，则，，代入上式可得：.
同理将直线的方程代入双曲线方程，按照上述步骤可得.
因为，所以.
由于，则，即.
又因为，而（因为）.
由可得，即.
因为，所以.
21．若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线．
(1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明）
(2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条；
(3)试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由．
21．【答案】(1)；（答案不唯一，满足的均可）；(2)证明见解析；
(3)存在，
【解析】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，所以，
令，则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
综上所述，，
所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可）
（2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，
则在上恒成立，即在上恒成立，
因为，所以，
因为，所以，
综上所述，
所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条；
（3）若存在，则恒成立，
令，则，所以，
因此，恒成立，即恒成立，
由得，，
现在只要判断是否恒成立，
设，则，
当时，，，，
当时，，，
所以，即恒成立
所以函数和函数在上存在分界线，
其方程为．
胸径x/cm
8
9
10
11
12
树高y/m
8.2
10
11
12
13.8
数学成绩总评优秀人数
数学成绩总评非优秀人数
合计
每天都整理数学错题人数
14
不是每天都整理数学错题人数
15
20
合计
40
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
数学成绩总评优秀人数
数学成绩总评非优秀人数
合计
每天都整理数学错题人数
14
6
20
不是每天都整理数学错题人数
5
15
20
合计
19
21
40