专题03 分式（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（22-23下·成都·期末）2022年6月5日神舟十四号发射成功，神舟十四号飞行任务之一是建造国家太空实验室，该实验室将建立世界上第一套由氢钟、铷钟、光钟组成的空间冷原子钟组，其授时精度可达到0.0000000000000023秒，将0.0000000000000023用科学记数法表示为（ ）
A．2.3×10−15B．2.3×10−14C．23×10−14D．0.23×10−16
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：0.0000000000000023＝2.3×10−15．
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（22·23下·乐山·期末）若分式2x−1有意义，则（ ）
A．x≠0B．x≠−1C．x≠1D．x≠2
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式2x−1有意义，
∴x−1≠0，
∴x≠1，
故选C．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
3．（22-23上·邢台·阶段练习）计算19+（﹣20）0的结果是（ ）
A．39B．20C．19D．1
【答案】B
【分析】根据有理数的加法运算法则和零指数幂的运算法则求解即可．
【详解】解：19+（﹣20）0＝19+1＝20．
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的加法运算和0指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则和零指数幂的运算法则．
4．（22-23上·永州·期末）下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．13B．xπC．2x（x≠0）D．x+23
【答案】C
【分析】形如AB，B中含有字母且B≠0的代数式是分式，根据分式的定义判断即可．
【详解】解：上列代数式中，属于分式的是：2x（x≠0），其他三项分母中不含字母
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
5．（22·23上·菏泽·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等B．a2是分式
C．数据3，3，3，2，1，1，1没有众数D．第七次全国人口普查是全面调查
【答案】D
【分析】利用平行线的性质、分式的定义、众数的求法及调查方式的选择的方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解: A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意；
B、a2是单项式，单项式是整式，故原命题是假命题，不符合题意；
C、数据3，3，3，2，1，1，1众数为3、1，故原命题是假命题，不符合题意；
D、第七次全国人口普查是全面调查，正确，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、分式的定义、众数的求法及调查方式的选择的方法，难度不大．
6．（22-23下·南阳·期中）下列分式是最简分式的是（ ）
A．9x2B．2x6x2yC．xx2−xyD．x−1x2−2x+1
【答案】A
【分析】根据最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分，即可得出答案.
【详解】解：A：分子和分母没有公因式不能再约分，因此此选项符合题意；
B：分子和分母都含有2x这个因式，可以再约分，2x6x2y=13xy，因此此选项不符合题意；
C：分子和分母都含有x这个因式，可以再约分，xx2−xy=1x−y，因此此选项不符合题意；
D：分子与分母都含有这个因式，可以再约分，x−1x2−2x+1=x−1x−12=1x−1，因此此选项不符合题意；
故选A.
【点睛】此题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题.
7．（22·23上·保定·期末）课堂上老师布置了四个运算题目，小明的解答如图所示，他做对的题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据同底数幂的除法的运算法则、同底数幂的乘法法则、零指数幂、负整数指数幂分别判断得出答案．
【详解】解：①a9÷a3=a6，原计算错误；②3a2⋅2a3=6a5，原计算正确；③2−2=14，原计算错误；④(π−3.14)0=1，原计算正确．
所以小明做正确的有2题，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、负整数指数幂、零指数幂，正确掌握同底数幂的除法、同底数幂的乘法、负整数指数幂、零指数幂的运算法则是解题关键．
8．（22-23上·德州·阶段练习）如果分式|x|−1x2+x−2的值为0，那么x的值是（ ）
A．±1B．1C．﹣2D．﹣1
【答案】D
【分析】由题意根据分式的值为零的条件即分子为零且分母不为零进行分析求解即可．
【详解】解：依题意得|x|-1=0且x2+x-2=（x+2）（x-1）≠0，
则|x|=1且x≠-2且x≠1．
解得：x=-1．
故选：D．
【点睛】本题考查分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．
9．（22-23下·新乡·期中）把分式2x2x+y中的x，y都扩大两倍，那么分式的值（ ）
A．扩大两倍B．不变C．不能确定D．缩小两倍
【答案】A
【分析】分别用2x和2y代换原分式的x和y即可解出此题．
【详解】解：分别用2x和2y代换原分式钟的x和y，
得2×2x22x+2y=8x22(x+y）=2×2x2x+y，
所以化简后的结果是原式的两倍；
故选：A．
【点睛】本题考查了对分式性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n或除以n．
10．（22·23上·牡丹江·期末）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．−a+ba−b=−1B．ba=bcacC．0.1a−+b=a−3b2a+bD．−a−b−a+b=a−ba+b
【答案】A
【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A．−a+ba−b=−a−ba−b=−1，故此选项符合题意；
B．ba=bcacc≠0，故此选项不符合题意；
C．0.1a−+b=0.1a−0.3b×100.2b+b×10=a−3b2a+10b≠a−3b2a+b，故此选项不符合题意；
D．−a−b−a+b=−a+b−a−b=a+ba−b≠a−ba+b，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
11．（23·24上·武汉·阶段练习）已知a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的根，则代数式1a2+1+1b2+1的值是（ ）
A．3B．1C．−3D．−1
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=3，ab=1，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的根，
∴a+b=3，ab=1，
∴1a2+1+1b2+1
=1a2+ab+1b2+ab
=1aa+b+1ba+b
=13a+13b
=a+b3ab
=33×1
=1，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
12．（22·23下·苏州·一模）函数y=1x−1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≠1
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可解答．
【详解】解：由y=1x−1得：x−1>0，解得x>1．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义得条件，熟知分式分母不为0及二次根式根号里面需要大于等于0是解题的关键．
13．（22-23·文山·三模）已知a4+1a4=14，那么a2+1a2的值为（ ）
A．4B．−4C．±4D．16
【答案】A
【分析】利用完全平方公式进行变形计算即可．
【详解】解：∵a4+1a4=14，
∴a2+1a22=a4+2⋅a2⋅1a2+1a4
=14+2
=16，
∴a2+1a2=4或a2+1a2=−4（舍去），
故选A．
【点睛】本题考查分式求值．熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
14．（22·23上·菏泽·期末）计算4xx2−4−2x−2的结果是（ ）
A．2x+2B．2x−2C．−2x+2D．−2x−2
【答案】A
【分析】根据分式减法运算法则直接求解即可得到答案．
【详解】解：4xx2−4−2x−2
=4xx+2x−2−2x−2
=4xx+2x−2−2x+2x+2x−2
=4x−2x+2x+2x−2
=4x−2x−4x+2x−2
=2x−2x+2x−2
=2x+2，
故选：A．
【点睛】本题考查分式减法运算，涉及因式分解、通分、约分等知识，熟练掌握分式减法运算法则是解决问题的关键．
15．（22·23上·永州·期中）当x分别取值12021、12020、12019,⋯,12、1、2,⋯,2019、2020、2021时，求出代数式x21+x2的值，然后将所求得的这些结果相加，其和等于（ ）
A．1B．2020C．202012D．0
【答案】C
【分析】先把x=n和x=1n代入代数式，并对代数式化简，得到它们的和为1，然后把x=1代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．
【详解】因为将一对倒数代入代数求和得(1n)21+(1n)2+n21+n2=n2n2+1+11+n2=1，即当x分别取值1n，n(n为正整数)时，计算所得的代数式的值之和为1；而当x=1时，121+12=12．
所以，当x分别取值12021、12020、12019，…，12、1、2，…，2019、2020、2021时， 计算所得各代数式的值之和为2020个1的和再加上12即是2020+12=202012．
故选择：C
【点睛】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除x=1外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为1，观察数据特征，找出各数据代入代数式求值后的关系是解题的关键．
16．（22-23上·哈尔滨·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
①任何数的0次幂都等于1；
②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形；
③等腰三角形顶角的外角是底角的二倍；
④等腰三角形的角分线，高线，中线相互重合．
A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】B
【分析】根据0指数幂的定义，等边三角形的判定，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，等腰三角形三线合一性质逐个进行判断即可．
【详解】解：∵0的0次幂不存在，∴①错误；有两个角为60°三角形一定是等边三角形，所以②正确；等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，所以③正确；等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合；所以④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了，0指数幂的定义，等边三角形的判定的应用，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，注意：任何不等于0的0次幂等于1，能理解性质和法则是解题的关键．
17．（22·23上·柳州·期中）下列等式从左到右变形正确的是（ ）
A．yx=y+1x+1B．yx=ayaxC．3b3a=baD．ba=b2a2
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，并且分式的值不变，由此即可判定选择项．
【详解】解：A．根据分式基本性质知道yx≠y+1x+1，故选项错误；
B．a=0时，yx=ayax不成立，故选项错误；
C．3b3a=ba，故选项正确；
D．当a、b异号时ba≠b2a2，故选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，关键是熟练掌握分式的基本性质．
18．（22·23上·河源·期中）要使分式x+3x2−6x+9有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≠−3
C．x≠0且x≠3D．x≠3且x≠−3
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解即可．
【详解】解：∵分式x+3x2−6x+9有意义，
∴x2−6x+9≠0，
∴x−32≠0，
∴x−3≠0，
∴x≠3，
∴分式x+3x2−6x+9有意义，x的取值范围x≠3，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键．
19．（22·23下·西安·阶段练习）若a=−3−2，b=−13−2，c=−140，则a，b，c大小关系正确的是（ ）
A．a【答案】D
【分析】首先根据负整数指数幂及零指数幂的运算法则进行运算，再进行有理数大小的比较，即可求解．
【详解】解：a=−3−2=−132=−19，b=−13−2=−32=9，c=−140=1，
∵−19<1<9，
∴a故选：D．
【点睛】本题考查了负整数指数幂及零指数幂的运算法则，有理数大小的比较，熟练掌握和运用负整数指数幂及零指数幂的运算法则是解决本题的关键．
20．（22·23下·巴南·阶段练习）下列说法中，错误的个数是（ ）
①若1a=−1a|，则a<0；
②若a>b，则有a+ba−b是负数；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是−2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x=2；
④若代数式2x+9−3x+1−x+2015的值与x无关，则该代数式值为2023；
⑤若a+b+c=0，abc>0，则b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值为±1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义和分母不能为0可判断①；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断②；根据两点间的距离可判断③；根据与x无关化简后可判断④；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断⑤．
【详解】解：①若1a=−1a|，则a<0，故①正确，不符合题意；
②若a>b，则a2>b2，
∴ a+ba−b=a2−b2>0，故②错误，符合题意；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是−2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x=2或−10或14，故③错误，符合题意；
④若代数式2x+9−3x+1−x+2015的值与x无关，
则2x+9−3x+1−x+2015，
=2x+9−3x+x−1+2015，
=2023，故④正确，不符合题意；
⑤∵ a+b+c=0，abc>0，
∴a、b、c中一定是一负两正，b+c=−a，a+c=−b，a+b=−c，
不妨设a>0，b>0，c<0，
b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|，
=b+ca+a+cb+a+a−c，
=−aa+−bb+−cc，
=−1−1+1，
=−1，故⑤错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了根据绝对值的性质进行化简，整式的加减，数轴上两点之间的距离等，掌握绝对值的性质及数轴上两点距离的求法是解题的关键.
二、填空题
21．（22·23下·东营·阶段练习）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．已知22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为 ．
【答案】2.2×10−8
【分析】用科学记数法表示较小数时的形式是a×10−n，其中1≤a<10，n为原数中从左边起第一个非零数字前面所有零的个数（包含小数点前面的零），即可确定a，n的值．
【详解】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10−8．
故答案为：2.2×10−8．
【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键．
22．（22-23下·济南·期中）在研制新冠肺炎疫苗中，某细菌的直径大小为0.000000000072米，用科学记数法表示这一数字是 ．
【答案】7.2×10−11
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将数0.000000000072用科学记数法表示正确的是7.2×10−11，
故答案为：7.2×10−11．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
23．（22-23下·无锡·二模）两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：当x=-2时，分式的值为1，请你写出满足上述全部特点的一个分式： ．
【答案】-2x
【分析】根据分式的值不为零的条件和当x=-2时，分式的值为1写出一个分式即可．
【详解】解：∵分式的值不可能为0，
∴分子不等于0，
∵当x=-2时，分式的值为1，
∴分式为：-2x．
故答案为：-2x（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
24．（22·23下·江苏·专题练习）分式1x−3和分式1x2−9的最简公分母是 ．
【答案】(x+3)(x−3)
【分析】根据分式的性质求出最简公分母即可．
【详解】解：∵x−3，x2−9=(x+3)(x−3)，
∴他们的最简公分母为：(x+3)(x−3)．
故答案为：(x+3)(x−3) ．
【点睛】题目主要考查分式的通分，熟练掌握分式最简分母的确定方法是解题关键．
25．（22-23上·齐齐哈尔·期末）计算3a2b3⋅(−2ab)−2= ．
【答案】3b4
【分析】首先利用积的乘方运算法则化简，进而利用单项式乘以单项式运算法则求出即可．
【详解】解：3a2b3·−2ab−2
=3a2b3·14a2b2
=3b4
【点睛】本题考查的知识点是单项式乘单项式和积的乘方，解题的关键是熟练的掌握单项式乘单项式和积的乘方计算法则.
26．（22-23上·信阳·期末）计算：−13−2−−12021−π−20= .
【答案】9
【分析】先计算负整数指数幂、有理数的乘方和零指数幂，再计算减法即可．
【详解】−13−2−−12021−π−20
=119−−1−1
=9+1−1
=9
故答案为：9．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂、有理数的乘方和零指数幂．掌握运算法则是解题关键．
27．（22·23·哈尔滨·中考真题）在函数y=2x−8中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠8
【分析】根据分母不能为0求出自变量x的取值范围．
【详解】∵分式中分母不能为0，
∴x−8≠0，
∴x≠8，
故答案为：x≠8．
【点睛】本题考查求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
28．（22-23下·浙江·期末）一种盐水，将m克盐完全溶解于n克水后仍然达不到所需的含盐质量分数，又加入了5克盐完全溶解后才符合要求．则要配制的盐水的质量分数为 ．
【答案】5+mm+n+5
【分析】根据有m克盐完全溶解于n克水后，又加入5克盐，得出总盐有5+m克，盐水有m+n+5克，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：
要配制的盐水的质量分数是：5+mm+n+5，
故答案为：5+mm+n+5．
【点睛】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出代数式，注意是求盐占“盐水”的分率，而不是求盐占“水”的分率．
29．（22-23下·南充·一模）若m、n是方程x2+3x−2=0的两个根，则mn+nm= ．
【答案】−132
【分析】应用二元一次方程根与系数关系，求出m、n的和与积，再对代数式进行化简变形，代入计算即可．
【详解】解：∵m、n是方程x2+3x−2=0的两个根，
∴m+n=−ba=−31=−3,mn=ca=−21=−2 ，
∴原式=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=9+4−2=−132 ．
故答案为−132 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系：若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根，则x1+x2=−ba,x1x2=ca ；还考查了分式的化简，以及利用完全平方公式进行配凑的方法，熟练掌握根与系数关系和完全平方式的各种变形是解题的关键．
30．（22·23上·邯郸·期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式2x+8x+2x≥0的最大值是多少？
解：2x+8x+2=2x+4+4x+2=2x+2+4x+2=2+4x+2，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以4x+2的最大值是2，所以2+4x+2的最大值是4，即2x+8x+2x≥0的最大值是4
根据上述方法，试求分式2x2+10x2+2的最大值是 ．
【答案】5
【分析】仿照阅读材料，根据分式混合运算和的基本性质解答即可．
【详解】解：2x2+10x2+2=2x2+4+6x2+2=2x2+2x2+2+6x2+2=2+6x2+2，
因为x2≥0，所以x2+2的最小值是2，所以6x2+2的最大值是3，所以2+6x2+2的最大值是5，即2x2+10x2+2的最大值是5．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、分式的基本性质等知识点，根据分式的运算法则对分式进行变形是解题的关键．
31．（22·23上·株洲·期中）若1a+1b=3，则a−2ab+b2a−5ab+2b= ．
【答案】1
【分析】由1a+1b=3，可得b+aab=3，即b+a=3ab，整体代入a−2ab+b2a−5ab+2b即可求解．
【详解】解：∵1a+1b=3，
∴b+aab=3，即b+a=3ab，
∴a−2ab+b2a−5ab+2b=3ab−2ab23ab−5ab=abab=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，利用整体代入求值是解决本题的关键．
32．（22·23下·哈尔滨·开学考试）学习分式运算过程中，老师布置了一个任务：依据下面的流程图，计算aa+b+2aba2−b2时需要经历的路径是 ．
【答案】②④
【分析】根据分式的减法运算法则即可求出答案．
【详解】解：aa+b+2aba2−b2
=aa−ba+ba−b+2aba+ba−b
=a2−ab+2aba+ba−b
=a2+aba+ba−b
=aa+ba+ba−b
=aa−b，
根据运算可知，需要经历的路径是②④；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查分式的减法运算，解题的关键是熟练运用分式的减法运算，本题属于基础题型．
33．（22-23下·青岛·一模）计算33+12+2−1×12−150 的结果是 ．
【答案】3−23
【分析】原式先进行二次根式的化简与运算，再进行负整数指数幂和零指数幂运算，最后合并计算出结果即可．
【详解】解：33+12+2−1×12−150
=33+23+12×23−1
=13+3−1
=3−23；
故答案为：3−23．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂和零指数幂运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
34．（22-23下·保定·期末）已知x为整数，且2x+3−2x−3+2x+18x2−9为正整数，则整数x= ．
【答案】4或5/5或4
【分析】根据异分母分式加减法计算得2x−3，利用x为整数，且2x+3−2x−3+2x+18x2−9为正整数，得到x-3=1或x-3=2，由此得到x的值．
【详解】解：2x+3−2x−3+2x+18x2−9
=2x−3x2−9−2x+3x2−9+2x+18x2−9
=2x−3−2x+3+2x+18x2−9
=2x+6x2−9
=2x−3
∵x为整数，且2x+3−2x−3+2x+18x2−9为正整数，
∴x-3=1或x-3=2，
∴x=4或5，
故答案为4或5．
【点睛】此题考查了异分母分式的加减法，正确掌握异分母分式加减法计算法则并结合题意得到x-3=1或x-3=2是解题的关键．
35．（22-23下·南京·期中）已x2+2x(x+1)(x+2)=Ax+Bx+1+Cx+2，则A+2B+3C的值是 ．
【答案】4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于A、B、C的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：∵ x2+2x(x+1)(x+2)=Ax+Bx+1+Cx+2，
∴ x2+2x(x+1)(x+2)=A(x+1)(x+2)x(x+1)(x+2)+Bx(x+2)x(x+1)(x+2)+Cx(x+1)x(x+1)(x+2)，
∴ x2+2x(x+1)(x+2)=(A+B+C)x2+(3A+2B+C)x+2Ax(x+1)(x+2)，
∴ A+B+C=13A+2B+C=02A=2，
解得，A=1B=−3C=3，
∴A+2B+3C=1+2×(−3)+3×3=4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于A、B、C的方程组是解题的关键．
三、解答题
36．（22-23下·全国·课时练习）将下列各分式通分：
（1）x−13x2,2ax；（2）3a2a−b,−1b−2a；（3）1a2−9,2a2+6a+9；（4）1x2−4,x4−2x．
【答案】（1）ax−13ax2，6x3ax2；（2）3a2a−b，12a−b；（3）a+3a+32a−3，2a−3a+32a−3；（4）22x+2x−2，xx+22x+2x−2．
【分析】将分母两式取各式的最小公倍式，相同因式的次数取最高次幂，分子分母同乘分母的最小公倍式即可得出答案．
【详解】解：（1）x−13x2=a(x−1)3ax2，2ax=6x3ax2；
（2）3a2a−b，−1b−2a=12a−b；
（3）1a2−9=a+3(a+3)2(a−3)，2a2+6a+9=2(a−3)(a+3)2(a−3)；
（4）1x2−4=1(x+2)(x−2)=22(x+2)(x−2)，x4−2x=−x2(x−2)=−x(x+2)2(x+2)(x−2)．
【点睛】此题考查了通分，解答此题的关键是熟知找公分母的方法：
（1）系数取各系数的最小公倍数；
（2）凡出现的因式都要取；
（3）相同因式的次数取最高次幂．
37．（22-23·山东·二模）先化简，再求值：先化简，再求值：(x−1x−2−2x−2)÷x2−6x+9x−2，其中x=2021．
【答案】1x−3，12018
【分析】首先将分式的分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，根据分式的混合运算法则化简分式，然后代入求值即可．
【详解】解：原式=x−3x−2⋅x−2(x−3)2
=1x−3，
当x=2021时，原式=12021−3=12018．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
38．（22-23下·咸阳·期末）先化简，再求值：x−1x−2−x+2x÷4−xx2−4x+4，其中x=3．
【答案】x−2x，13．
【分析】先按照分式运算顺序和法则进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式=xx−1xx−2−x−2x+2xx−2⋅x−224−x
=4−xxx−2⋅x−224−x
=x−2x．
当x=3时，原式=3−23=13．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则准确化简，代入数值后正确计算．
39．（22-23·衢州·模拟预测）计算：2sin30°−|−3|+π−20220−13−2
【答案】−10．
【分析】根据特殊角的三角函数值、绝对值性质、零次幂性质以及负指数幂性质进一步计算即可．
【详解】解：2sin30°−|−3|+π−20220−13−2
=2×12−3+1−9
=1−3+1−9
=−10．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值计算及幂的运算，熟练掌握相关概念是解题关键．
40．（22-23下·广元·一模）先化简，再求值：a2a−b−2ab−b2a−b÷a−bab，其中a=3+2，b=3−2．
【答案】ab；7
【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入a=3+2，b=3−2即可求解．
【详解】解：原式=a2−2ab+b2a−b÷a−bab
=a−b2a−b⋅aba−b=ab．
当a=3+2，b=3−2时，
原式=3+23−2=9−2=7．
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式、二次根式及乘法公式的运用．
41．（22-23下·湖州·期中）计算
(1)（－7）0＋（－2）3×2－2
(2)（－2x2）3＋4x3·x3
【答案】(1)−1
(2)−4x6
【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算乘法与减法即可得；
（2）先计算积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，再合并同类项即可得．
【详解】（1）解：原式=1+(−8)×14
=1−2
=−1．
（2）解：原式=−8x6+4x6
=−4x6．
【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
42．（22-23下·南阳·期末）计算
(1)计算：2−1+8+612−12−10．
(2)先化简，再求值：x2−2x+1x2−1÷x−1x+1−x+1，其中x=3+1．
【答案】(1)62−2
(2)−1x，1−32
【分析】（1）先化简二次根式和绝对值，再计算零次幂，最后加减即可求解．
（2）先将分式分子分母分别进行因式分解再化简分式，然后将x值代入求解即可．
【详解】（1）原式=2−1+22+6×22−1
=2−1+22+32−1
=62−2
（2）原式= x−12x−1x+1÷x−1x+1−x−1x+1x+1
=x−12x−1x+1×x+1x−1−x
=−1x
当x=3+1时
原式=−1x
=−13+1
=−3−13+13−1
=−3−12
=1−32
【点睛】本题考查了实数的混合运算以及分式的化简，掌握二次根式的性质和零次幂的意义和分式化简技巧是解决本题的关键．
43．（22·23上·石家庄·阶段练习）化简：
(1)2xx−2−3x−2x−2
(2)2a+1+a+2a2−1÷aa−1
【答案】(1)−1
(2)3a+1
【分析】（1）分母不变，分子相减即可；
（2）先算括号，再算除法．
【详解】（1）解：原式=2x−3x+2x−2=−x+2x−2=−1；
（2）解：原式=[2a−2(a+1)(a−1)+a+2(a+1)(a−1)]⋅a−1a，
=3a(a+1)(a−1)⋅a−1a
=3a+1
【点睛】本题考查分式的运算．熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
44．（22·23上·吐鲁番·期中）先化简，再求值：(x2−9x2−2x+1÷x−3x−1−1x−1)⋅1x+2，其中x=−1．
【答案】1x−1，−12
【分析】先计算括号内的分式的除法，再计算分式的减法，最后计算分式的乘法，得到化简后的结果，最后把x=−1代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：(x2−9x2−2x+1÷x−3x−1−1x−1)⋅1x+2
=x+3x−3x−12×x−1x−3−1x−1·1x+2
=x+3x−1−1x−1·1x+2
=x+2x−1·1x+2
=1x−1.
当x=−1时，
原式=1−1−1=−12.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
45．（22-23上·信阳·期末）(1)计算：(x−1)(2x−1)−(x+1)2；
(2)先化简：1−xx+3÷x2−9x2+6x+9，然后从−3，−2，2，3中选一个你认为合适的x的值代入求值．
【答案】(1)x2−5x
(2)3x−3，x取2时，值为−3
【分析】（1）直接根据整式乘法法则及完全平方公式展开合并同类项即可得到答案；
（2）先通分，再因式分解约分化到最简，选择分式分母不为0的数代入求解即可得到答案．
【详解】（1）解：原式=2x2−x−2x+1−(x2+2x+1)
=2x2−x−2x+1−x2−2x−1
=x2−5x；
（2）解：原式=(x+3−xx+3)×(x+3)2(x+3)(x−3)
=3x−3，
当x=2时，
原式=3x−3=32−3=−3．
【点睛】本题考查整式四则运算及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握法则注意符号选取．
46．（22·23下·常德·期末）阅读下列材料：
因为11×3=12×(1−13)，13×5=12×(13−15)，15×7=12×(15−17)，…，12019×2021=12×(12019−12021)，所以11×3+13×5+15×7+⋯+12019×2021 =12×(1−13+13−15+15−17+⋯+12019−12021) =12×(1−12021)=10102021．
解答下列问题：
(1)在和式11×3+13×5+15×7+⋯中，第5项为______，第n项为______，上述求和的思想方法是通过逆用异分母分数减法法则，将和式中的各分数转化为两个数的差，使得首末两项外的中间各项可以_______，从而达到求和的目的；
(2)利用上述结论计算：1x(x+2)＋1(x+2)(x+4)＋1(x+4)(x+6)＋…＋1(x+2020)(x+2022)．
【答案】(1)19×11；12n−12n+1；互相抵消
(2)1011x2+2022x
【分析】（1）由已知中所给的条件找出规律解答；
（2）把每一个分式先分列为两个分式，找抵消规律，再计算．
【详解】（1）解：（1）在和式11×3+13×5+15×7+⋯中，
第五项为：19×11，
第n项为：12n−12n+1；
上述求和的思想方法是通过逆用异分母分数减法法则，将和式中的各分数转化为两个数的差，使得首末两项外的中间各项可以互相抵消，从而达到求和的目的，
故答案为：19×11；12n−12n+1；互相抵消；
（2）1x(x+2)＋1(x+2)(x+4)＋1(x+4)(x+6)＋…＋1(x+2020)(x+2022)
=121x−1x+2+1x+2−1x+4+1x+4−1x+6+⋯+1x+2020−1x+2022
=121x−1x+2022
=1011x2+2022x．
【点睛】解答此类题目关键是找出规律再解答；在计算分式时若分母有规律可循是可将其分开以简化计算．
47．（22·23上·浦东新·期中）已知x2−3x+1=0，求下列各式的值．
(1)x2+1x2；
(2)x4+1x4．
【答案】(1)7
(2)47
【分析】（1）根据x2−3x+1=0求出x+1x=3，x+1x2=x2+2+1x2=9，即可得到答案；
（2）求出x2+1x22=x4+2+1x4=49，即可得到x4+1x4的值.
【详解】（1）x2−3x+1=0，等式两边同除x，得x−3+1x=0，则x+1x=3，
x+1x2=x2+2+1x2=9，
∴x2+1x2=7；
（2）∵x2+1x2=7，
x2+1x22=x4+2+1x4=49，
∴x4+1x4=47.
【点睛】此题考查等式的性质，完全平方公式的变形应用，熟记完全平方公式是解题的关键.
48．（22·23下·乌鲁木齐·一模）先化简，1x+1+1x2−1÷xx−1，再从−1，0，1，3−1中选择一个合适的x值代入求值．
【答案】1x+1；当x=3−1时，原式=33．
【分析】根据分式的运算法则，进行化简，根据分式的分母不为0，确定合适的值代入求值即可。
【详解】解：1x+1+1x2−1÷xx−1
=x−1(x+1)(x−1)+1(x+1)(x−1)÷xx−1
=x(x+1)(x−1)⋅x−1x
=1x+1，
∵x+1≠0，x−1≠0，x≠0，
∴x≠±1，x≠0
当x=3−1时，
原式=13−1+1=13=33
【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，正确的进行化简，是解题的关键．
49．（22-23下·铁岭·期末）先化简，再求值：（1﹣1x+2）÷x2+2x+1x2−4，其中x＝4．
【答案】原式=x−2x+1，25
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=4代入进行计算即可．
【详解】解：原式=x+1x+2⋅x+2x−2x+12
=x−2x+1，
当x=4时，原式=4−24+1=25．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
50．（22-23·新余·期中）观察下列等式：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，
把以上三个等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14 =1−14=34．
这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．
(1)猜想并写出：1n(n+1)＝______．
(2)规律应用：计算：11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020；
(3)拓展提高：计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12018×2020．
【答案】(1)1n−1n+1
(2)20192020
(3)10094040
【分析】（1）逆用分式的减法法则计算即可．
（2）根据（1）的特点,裂项后求和，注意其中的规律，清楚被销项和保留项，计算即可．
（3）把分母的各数中各提取2，转化成（2）式问题计算即可．
【详解】（1）∵1n(n+1)=1n−1n+1，
故答案为：1n−1n+1．
（2）11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020
=1−12+12−13+13−14+⋯+12019−12020
=1−12020
=20192020．
（3）12×4+14×6+16×8+⋯+12018×2020
=14×(11×2+12×3+13×4+⋯+11009×1010)
=14×(1−12+12−13+13−14+⋯+11009−11010)
=14×(1−11010)
=14×10091010
=10094040．
【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，正确找到规律，灵活运用规律是解题的关键．
【能力提升】
51．（22·23上·武汉·期末）两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7.5千米，第一组步行的速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早14小时到达乙地．
(1)求第二组的步行速度．
(2)返回时，第二小组为了加快速度，准备进行提速，现有两种方案：
方案1：前半程速度为a，后半程速度为b；
方案2：全程速度均为12a+b；（方案中速度单位均为千米/小时）
其中a和b是不相等的正数，请比较哪种方案平均速度更快，并说明你的理由．
【答案】(1)5千米/小时
(2)方案2的平均速度更快，理由见解析
【分析】(1)根据第二组的速度可得出第一组的速度，依据“时间=路程÷速度”即可找出第一、二组分别到达的时间，再根据第一组比第二组早14小时到达乙地，即可列出分式方程，由此即可得出结论；
(2)首先求得方案1中全程的平均速度，再与方案2中全程的平均速度进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：设第二组步行的速度为x千米/小时，则第一组步行的速度为1.2x千米/小时，
根据题意得：7.5x−，
解得x=5，
经检验x=5是原方程的解，且符合题意，
答：第二组的步行速度为5千米/小时；
（2）解：方案2的平均速度更快，
理由如下：
方案1中，全程的平均速度为：
+7.52b=2aba+b(千米/小时)，
12a+b−2aba+b
=a+b2−4ab2a+b
=a2+2ab+b2−4ab2a+b
=a2−2ab+b22a+b
=a−b22a+b
∵a和b是不相等的正数，
∴a−b≠0，a+b>0
∴a−b2>0，
∴a−b22a+b>0，
∴12a+b−2aba+b>0，
∴12a+b>2aba+b，
故方案2的平均速度更快．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，整式的加减及大小的比较方法，根据题意正确列出分式方程及代数式是解决本题的关键．
52．（22·23下·扬州·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为ba．
(1)糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．
(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．
(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设a、b、c为△ABC三边的长，求证：ca+b+ab+c+ba+c<2．
【答案】(1)ba+m,ba+m(2)b+ma+m,b+ma+m>ba
(3)见解析
【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；
（2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可；
（3）利用（2）的结论来证明即可．
【详解】（1）解： 由题意得，加入m克水，糖水为a+m克，
∴糖水的浓度为ba+m；
∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，
∴ba+m故答案为：ba+m；ba+m（2）解：由题意得，加入m克糖，糖水为a+m克，糖为b+m克，
∴糖水的浓度为b+ma+m；
假设新的“糖水不等式”为baba−b+ma+m=b(a+m)−a(b+m)a(a+m)=m(b−a)a(a+m)，其中(a>b>0,m>0)，
∴b−a<0,a+m>0，
∴m(b−a)a(a+m)<0，即ba故答案为：b+ma+m；b+ma+m>ba．
（3）证明：由（2）可知c+ca+b+c>ca+b,a+aa+b+c>ab+c,b+ba+b+c>ba+c
∴c+ca+b+c+a+aa+b+c+b+ba+b+c>ca+b+ab+c+ba+c
∴2c+2a+2ba+b+c>ca+b+ab+c+ba+c
∵2c+2a+2ba+b+c=2
∴ca+b+ab+c+ba+c<2．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键．
53．（22·23下·泰州·阶段练习）已知：M=x+12，N=2xx+1．
(1)当x>0时，判断M与N的大小关系，并说明理由；
(2)设y=2M+N．若x是整数，求y的整数值．
【答案】(1)M≥N，理由见解析
(2)y的整数值为：4，0，3，1
【分析】（1）先求差，再比较差与0的大小关系；
（2）先表示y，再求y的整数值．
【详解】（1）解：M≥N，理由如下：
M−N=x+12−2xx+1
=x+12−4x2x+1
=x−122x+1，
∵x>0，
∴x+1>0，
∵x−12≥0，
∴x−122x+1≥0，
∴M−N≥0，
∴M≥N；
（2）解：y=2M+N
=2x+12+2xx+1
=4x+1+2xx+1
=2x+1+2x+1
=2+2x+1，
∵x，y是整数，
∴x+1是2的因数，
∴x+1=±1，±2，
对应的y值为：y=2+2=4或y=2+−2=0或y=2+1=3或y=2−1=1．
∴y的整数值为：4，0，3，1．
【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．
54．（22·23下·徐州·阶段练习）在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．例：将分式x2−3x−1x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：设x＋2＝t，则x＝t－2．
原式=t−22−3t−2−1t=t2−7t+9t=t−7+9t，所以x2−3x−1x+2=x−5+9x+2．
这样，分式x2−3x−1x+2就拆分成一个整式（x－5）与一个分式9x+2的和的形式．
(1)使用分离整式法将分式2x+4x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为_________．
(2)已知分式x2−3x+7x−3的值为整数，求整数x的值．
【答案】(1)2+2x+1
(2)x=4或2或10或−4
【分析】（1）根据题意将2x+4x+1化简为一个整式与一个分式和的形式即可；
（2）设t=x−3，则x=t+3，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解．
【详解】（1）2x+4x+1=2x+1+2x+1＝2+2x+1，
故答案为：2+2x+1．
（2）设t=x−3，则x=t+3，
∴x2−3x+7x−3=t+32−3t+3+7t=t2+6t+9−3t−9+7t=t2+3t+7t=t+3+7t，
∴x2−3x+7x−3=x−3+3+7x−3，
=x+7x−3，
∵x是整数，
∴x−3=±1，±7，
解得：x=4或2或10或−4．
【点睛】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键．
55．（23·24上·全国·课时练习）有甲，乙两块边长为a米（a>7）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，试判断甲、乙试验田的单位面积产量哪个高．

【答案】甲试验田的单位面积产量高
【分析】由总产量除以总面积可得单位面积产量，再比较大小即可．
【详解】解：由题意，得甲试验田的单位面积产量为180a+1a−1=180a2−1（千克），
乙试验田的单位面积产量为130a−12千克．
∵180a2−1−130a−12=180a−1−130a+1a−12a+1=50a−310a−12a+1，且a>7，
∴50a−310a−12a+1>0，即180a2−1>130a−12，
∴甲试验田的单位面积产量高．
【点睛】本题考查的是列代数式，分式的值的大小比较，分式的加减运算的应用，理解题意，确定解题的方法是解本题的关键．
①a9÷a3=a3；②3a2⋅2a3=6a5；③2−2=−4；④(π−3.14)0=1．