专题03 分式（知识串讲+9大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）分式的基本概念
（1）分式：形如eq \f(A,B)（A，B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．
（2）与分式有关的结论
①分式eq \f(A,B)无意义的条件是B＝0．
②分式eq \f(A,B)有意义的条件是B≠0．
③分式eq \f(A,B)值为0的条件是A＝0且B≠0．
（二）分式的基本性质
（1）分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
eq \f(A,B)＝eq \f(A·M,B·M)，eq \f(A,B)＝eq \f(A÷M,B÷M)（其中M是不等于零的整式）．
（2）由基本性质可推理出变号法则为：； .
（三）约分与通分
（1）约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质．
（2）通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
（四）分式的运算
分式的乘除
①乘法法则：
②除法法则：
③分式的乘方：
分式的加减
①同分母分式的加减：
；
②异分母分式的加法：
整数负指数幂：
0指数幂：
（五）分式化简求值
（1）仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.
（2）含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．
失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.
考点一遍过
考点1：分式的定义
典例1：（22·23下·长春·期中）代数式1x，x2，2xyx+y，2x−y3中，属于分式的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据分式的定义形如ABB≠0，分母B含有字母的式子，A，B都是整式，进行判断即可．
【详解】∵1x中分母含有字母是分式；
x2中分母不含有字母是整式；
2xyx+y中分母含有字母是分式；
2x−y3中分母不含有字母是整式；
∴一共2个分式，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式的定义，熟练掌握掌握分式的定义是解题的关键．
【变式1】（22·23上·怀化·阶段练习）在4y2y，y4，6x+y，x+y2x，2xyπ中分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．
【详解】解：6x+y，x+y2x，4y2y分母中含字母，是分式；
y4，2xyπ分母中不含字母，不是分式；
故选B．
【点睛】本题主要考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
【变式2】（20·21下·兰州·期中）在1x，x−y4，x3−y2，x+ym，2aa，x−1π中，是分式的有（ ）．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据分式的定义判断即可．
【详解】解：1x，x+ym，2aa的分母中都含有字母，都是分式，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的判断，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母．特别注意：判断一个代数式是不是分式，不能将原代数式进行变形后再判断，而必须按照原来的形式进行判断，不能认为分母含有π的式子是分式．
【变式3】（22·23下·巴中·期中）代数式−32x，x−y5，−x+y2，7y23x ，2a2b，−9π中，是分式的有（ ）个
A．1个B．2个C．3D．4个
【答案】B
【分析】分式的定义，一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母．根据分式的宝岛即可完成．
【详解】解：代数式−32x，x−y5，−x+y2，7y23x，2a2b，−9π中，是分式的有7y23x，2a2b，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
考点2：分式有意义条件
典例2：（23·24上·海淀·期中）若分式x2−4x−2的值为0，则x的值为（ ）
A．±2B．−2C．0D．2
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件以及分式为零的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：x2−4x−2=0，
∴x2−4=0，
∴x=±2，
当x=2时，
∴x−2=0，
∴x≠2即x=−2．
故选：B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零，本题属于基础题型．
【变式1】（23·24上·成都·阶段练习）在函数y=x+2x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥−2且x≠0B．x>−2且x≠0C．x>0D．x≤−2
【答案】A
【分析】根据被开方数大于等于0和分式的分母不能等于0的条件且x+2≥0，然后再解不等式即可解答．
【详解】解：由题意得：x+2≥0，且x≠0，
所以，x≥−2且x≠0，
故选：A．
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义和分式有意义的条件是解题的关键．
【变式2】（23·24上·淄博·阶段练习）若分式x+3xx−1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠1C．x≠3D．x≠0或x≠1
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：要使分式x+3xx−1有意义，
则xx−1≠0，即x≠0x−1≠0，
∴x≠0且x≠1，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
【变式3】（22·23下·沈阳·期中）若分式x−1x+1无意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≠−1C．x=−1D．x>−1
【答案】C
【分析】分式无意义，则需分母为零 ，列出方程x+1=0，解方程即可．
【详解】∵分式x−1x+1无意义，
∴x+1=0，
解得：x=−1，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件．
考点3：分式的值
典例3：（22·23上·全国·单元测试）若1m+1n=2，则代数式5m−2mn+5n−m−n的值为（ ）
A．−4B．−3C．3D．4
【答案】A
【分析】由1m+1n=2可得m+n=2mn，代入分式，化简即可．
【详解】解：由1m+1n=2可得m+n=2mn
将m+n=2mn代入5m−2mn+5n−m−n可得：
原式=5m−m+n+5n−m+n=4m+n−m+n=−4
故选：A
【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算．
【变式1】（23·24上·苏州·阶段练习）若a2=b3=c5，则a+b+ca=（ ）
A．103B．2C．5D．12
【答案】C
【分析】根据题意设设a=2k，b=3k，c=5k，代入a+b+ca即可求解．
【详解】解：∵ a2=b3=c5，
∴设a=2k，b=3k，c=5k，
∴ a+b+ca=2k+3k+5k2k=10k2k=5，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质，运用换元的思想是解题的关键．
【变式2】（22·23下·衡阳·期中）若分式a−3a2+1的值为正，则a的取值范围是（ ）
A．a≠−1B．a≠0C．a>3D．a<3
【答案】C
【分析】根据a2+1>0可得a−3>0即可使分式a−3a2+1的值为正．
【详解】解：∵a2+1>0，
∴a−3>0时，分式a−3a2+1的值为正，
∴a>3，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的值，当分子分母同为正或同为负时，分式的值为正．
【变式3】（22·23下·常州·期中）对于非正整数x，使得2x−3x+1的值是一个整数，则x的个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值．
【详解】解：2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x+1−5x+1=2−5x+1，
∵x为非正整数，分式的结果正整数，
∴x取值为−6，−2，0，
∴x的个数有3个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键．
考点4：分式的基本性质
典例4：（23·24上·德州·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．如a，b同号，则ab>0，ab>0B．如a，b异号，则ab<0，ab<0
C．−ab=a−b=−abD．a−b=ab
【答案】D
【分析】根据不等式的性质和等式的性质逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、当a，b同号，则ab>0，ab>0 成立，故此项正确；
B、当a，b异号，则ab<0，ab<0成立，故此项正确；
C、−ab=a−b=−ab成立，故此项正确；
D、a−b=−ab，故D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质和等式的变形，熟练掌握两个实数在乘除时，同号为正，异号为负是解题的关键．
【变式1】（23·24上·延庆·期中）如果把分式xy2x−3y中的x和y的值同时扩大为原来的5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍B．缩小为原来的15倍
C．不改变D．扩大为原来的25倍
【答案】A
【分析】依题意分别用5x和5y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】由5x·5y2×5x−3×5y=25xy5(2x−3y)=5xy2x−3y=5×xy2x−3y，
∴扩大为原来的5倍，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
【变式2】（22·23上·滨州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．分式x2−1x−1的值为零，则x的值为±1
B．根据分式的基本性质，等式mn=mx2nx2
C．把分式0.6a−53b0.7a−25b的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为18a−50b21a−11b
D．分式3x−3y85x+85y是最简分式
【答案】D
【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、分式x2−1x−1的值为零，则x的值为−1，选项错误，不符合题意；
B、当x=0时，mx2nx2没有意义，mn≠mx2nx2，选项错误，不符合题意；
C、把分式0.6a−53b0.7a−25b的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为18a−50b21a−12b，选项错误，不符合题意；
D、分式3x−3y85x+85y是最简分式，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【变式3】（20·21上·北碚·期末）将x0.2−0.5+的分母化为整数，得（ ）
A．x2−0.5+0.01x3=1B．5x−50+x3=100
C．x20−0.5+0.01x3=100D．5x−50+x3=1
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质求解．
【详解】解：将x0.2−0.5+的分母化为整数，可得5x−50+x3=1．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．
考点5：约分与最简分式
典例5：（22·23下·临汾·阶段练习）下列分式是最简分式的是（ ）
A．3x3x−2B．3a6a+9bC．x−416−x2D．xyxy−x2
【答案】A
【分析】根据最简分式的定义：分子，分母中不含有公因式，不能再约分，分别对每一项进行分析即可．
【详解】解：A．3x3x−2是最简分式，故A选项符合题意；
B．3a6a+9b=3a32a+3b=a2a+3b，故B选项不符合题意；
C．x−416−x2=x−4x−4−x−4=1−x−4，故C选项不符合题意；
D．xyxy−x2=xyxy−x=yy−x，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简分式，解题的关键是掌握最简分式的概念．
【变式1】（22·23上·威海·期末）分式−xx2−xy可化简为（ ）
A．1y−xB．−1x+yC．1x+yD．1x−y
【答案】A
【分析】将分式分母先因式分解，再约分，即可求解．
【详解】解：−xx2−xy
=−xxx−y
=1y−x
故先：A．
【点睛】本题考查了分式的约分，涉及到因式分解，分式的约分，按运算顺序，先因式分解，再约分．
【变式2】（20·21下·河北·模拟预测）下列分式属于最简分式的是（ ）
A．6xy5x2B．x−yy−xC．x2+y2x+yD．x2−9y2x+3y
【答案】C
【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【详解】A、6xy5x2=6y5x，故此选项不符合题意；
B、x−yy−x=−(y−x)y−x=−1，故此选项不符合题意；
C、x2+y2x+y是最简分式，故此选项符合题意；
D、x2−9y2x+3y=(x+3y)(x−3y)x+3y=x−3y，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．
【变式3】（23·24上·邯郸·阶段练习）下列约分正确的是（ ）
A．x+1x2+1=1x+1B．a+ma+n=mnC．x+23x+6=13D．x6x2=x3
【答案】C
【分析】根据分式的性质判断即可．
【详解】解：A．x+1x2+1≠1x+1，故A错误；
B．a+ma+n≠mn，故B错误；
C．x+23x+6=x+23x+2=13，故C正确；
D．x6x2=x4≠x3，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式基本性质的应用，准确计算是解题的关键．
考点6：通分与最简公分母
典例6：（22·23上·德州·期末）分式2x2x+y2与x2x2−y2的最简公分母是（ ）
A．x4+y4B．x2+y2x2−y2C．x−y4D．x+y2x−y
【答案】D
【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
【详解】解：∵2x2x+y2的分母为x+y2，x2x2−y2的分母为x2−y2=x+yx−y，
∴2x2x+y2与x2x2−y2的最简公分母是x+y2x−y，
故选：D．
【点睛】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．
【变式1】（22·23下·全国·课时练习）把1x−2，1(x−2)(x+3)，2(x+3)2通分的过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是(x−2)(x+3)2B．1x−2=(x+3)2(x−2)(x+3)2
C．1(x−2)(x+3)=x+3(x−2)(x+3)2D．2(x+3)2=2x−2(x−2)(x+3)2
【答案】D
【分析】按照通分的方法依次验证各选项，找出不正确的答案．
【详解】A、最简公分母为(x−2)(x+3)2，正确，该选项不符合题意；
B、1x−2=(x+3)2(x−2)(x+3)2，通分正确，该选项不符合题意；
C、1(x−2)(x+3)=x+3(x−2)(x+3)2，通分正确，该选项不符合题意；
D、通分不正确，分子应为2x−2(x+3)2=2x−4(x−2)(x+3)2，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．解题的关键是通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等．
【变式2】（23·24上·邢台·期中）若将分式3x2x2−y2与分式x2x−y通分后，分式x2x−y的分母变为2x−yx+y，则分式3x2x2−y2的分子应变为（ ）
A．6x2B．xx+yC．x2D．3x2x+y
【答案】A
【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为2x−yx+y，即可求解．
【详解】解：∵x2x−y=xx+y2x−yx+y，
∴3x2x2−y2=3x2x−yx+y=6x22x−yx+y，
∴分式3x2x2−y2的分子应变为6x2，
故选：A．
【变式3】（22·23下·红桥·三模）计算2m−1mm−1−1m−1的结果是（ ）
A．1B．m−1C．1mD．1m−1
【答案】C
【分析】先通分，再计算分式减法，最后约分即可求解.
【详解】解：2m−1mm−1−1m−1
=2m−1mm−1−mmm−1
=2m−1−mmm−1
=m−1mm−1
=1m.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了异分母分式减法，通分和约分，理解相关知识是解答关键.
考点7：分式的运算——加减乘除
典例7：（23·24上·邯郸·阶段练习）若1y3÷M=x2−xyxy5，则M为（ ）
A．y2y−xB．y2x−yC．x−yy8D．x−yy15
【答案】B
【分析】根据题意列出算式，然后利用分式的乘除混合运算求解即可．
【详解】解：∵1y3÷M=x2−xyxy5
∴M=1y3÷x2−xyxy5
=1y3⋅xy5x2−xy
=1y3⋅xy5xx−y
=y2x−y．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的乘除混合运算，掌握计算法则正确计算是解题关键．
【变式1】（23·24上·全国·课堂例题）下列各式计算正确的是（ ）
A．1a+b÷a+b2=12B．a3b÷b2a=3b22a2C．a2−1÷a2+aa=a−1D．3b22a÷2ab=3b3
【答案】C
【分析】求出每个式子的值，再进行判断即可．
【详解】解：A、1a+b÷a+b2=1a+b⋅2a+b=2a+b2≠12，本选项不符合题意；
B、a3b÷b2a=a3b⋅2ab=2a23b2≠3b22a2，本选项不符合题意；
C、a2−1÷a2+aa=a+1a−1⋅aaa+1=a−1，本选项符合题意；
D、3b22a÷2ab=3b22a⋅12ab=3b4a2≠3b3，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的乘除运算，掌握运算法则是关键．
【变式2】（22·23上·全国·单元测试）下列计算错误的是（ ）
A．ba−b−aa−b=−1B．x−3ya+b−x−2ya+b=−ya+b
C．1÷ba×ab=1D．1(a+b)2⋅a2−b2a−b=1a+b
【答案】C
【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行计算即可．
【详解】解：A、ba−b−aa−b=b−aa−b=−1，原式计算正确，不符合题意；
B、x−3ya+b−x−2ya+b=x−3y−x+2ya+b=−ya+b=−ya+b，原式计算正确，不符合题意；
C、1÷ba×ab=1×ab×ab=a2b2，原式计算错误，符号题意；
D、1(a+b)2⋅a2−b2a−b=1(a+b)2⋅(a+b)(a−b)a−b=1a+b，原式计算正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的相关运算法则是解本题的关键．
【变式3】（22·23上·怀柔·期末）计算81−a2a2+6a+9÷a−92a+6⋅a+3a+9的结果为（ ）
A．12B．1C．−1D．−2
【答案】D
【分析】先将分式的分子分母分别因式分解，将除法转化成乘法运算，然后分子与分母进行约分化简，即可得出答案．
【详解】解：原式=(9−a)(9+a)(a+3)2⋅2(a+3)a−9⋅a+3a+9
=(−1)×11×2×11×11
=−2，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答此题的关键．
【变式4】（20·21下·四川·期中）下列计算正确的是（ ）
A．m2−2m4−m2=m2+mB．−yx2−3=−x6y3
C．a2a−1−11−a=a−1D．3x2y+x32y=32x5
【答案】B
【分析】利用约分对A进行判断；根据负整数指数幂的意义对B进行判断；根据同分母的减法运算和约分对C进行判断；利用通分对D进行判断．
【详解】解：A、原式=m(m−2)−(m+2)(m−2)=−mm+2，所以A选项的计算错误；
B、原式=x6−y3=−x6y3，所以B项的计算正确；
C、原式=a2a−1−11−a=a2+1a−1，所以C选项的计算错误；
D、原式=6x2y2+x32y，所以D项的计算错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【变式5】（20·21下·青岛·期末）化简x2x+2−x+2的结果是（ ）
A．2x2+4x+2B．4x+2C．8xx2−4D．x3−2x2−8x−2x2−4
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：x2x+2−x+2
=x2x+2−(x−2)
=x2x+2−(x+2)(x−2)x+2
=x2x+2−x2−4x+2
=4x+2，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式6】（22·23上·哈尔滨·期中）已知分式P=a−5a−3+2a+6a2−9，Q=1a，当a大于5时，P与Q的大小关系是（ ）
A．P>QB．P=QC．P【答案】A
【分析】计算分式加法可得P=1，当a大于5时，1a<1，从而可得P与Q的大小关系．
【详解】解：P=a−5a−3+2a+6a2−9
=a−5a−3+2(a+3)(a+3)(a−3)
=a−5a−3+2a−3
=a−5+2a−3
=a−3a−3
=1
当a大于5时，1a<1
∴P>Q
故选：A
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握是解题的关键．
【变式7】（21·22下·保定·期末）数学课上，老师让计算2aa−b+a−3ba−b．佳佳的解答如下：
解：原式=2a+a−3ba−b①
=3a−3ba−b②
=3a−ba−b③
＝3④
对佳佳的每一步运算，依据错误的是（ ）
A．①：同分母分式的加减法法则B．②：合并同类项法则
C．③：逆用乘法分配律D．④：等式的基本性质
【答案】D
【分析】根据分式的加减法法则计算即可．
【详解】解：①：同分母分式的加减法法则，正确；
②：合并同类项法则，正确；
③：提公因式法，正确；
④：分式的基本性质，故错误；
故选：D．
【点睛】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．
【变式8】（22·23下·忻州·模拟预测）化简yx2−y2÷1−xx+y的结果为（ ）
A．1x−yB．1x+yC．x+yyD．x−yy
【答案】A
【分析】将分子分母进行因式分解，除法改写为乘法，将括号里面的通分计算，然后根据分式混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：yx2−y2÷1−xx+y
=yx+yx−y÷x+y−xx+y
=yx+yx−y×x+yy
=1x−y．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．
【变式9】（23·24·山东·专题练习）计算a2−4a÷a+1−5a−4a的结果是（ ）
A．a+2a−2B．a−2a+2
C．(a−2)(a+2)aD．a+2a
【答案】A
【分析】根据分式的混合运算法则进行计算，先算乘除，后算加减，如果有小括号先算小括号里面的．
【详解】解：原式=a2−4a÷aa+1−5a−4a
=a+2a−2a÷a2−4a+4a
=a+2a−2a×aa−22
=a+2a−2．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
【变式10】（22·23下·江苏·期末）化简：a2a−3+93−a÷a+3a的结果是（ ）
A．−aB．aC．a+32aD．1
【答案】B
【分析】先计算括号里的，再把除法转化成乘法计算．
【详解】解：a2a−3+93−a÷a+3a=a2−9a−3⋅aa+3=aa+3a−3a−3a+3=a．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的．
【变式11】（22·23下·永州·期中）已知a为整数，且a+3a−5−a−5a+2÷a2−10a+25a2−4为正整数，求所有符合条件的a的值的和（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】D
【分析】根据分式混合运算法则先对题中分式化简，再按照要求得到所有符合条件的a的值，求和即可得到答案．
【详解】解：a+3a−5−a−5a+2÷a2−10a+25a2−4
=a+3a−5−a−5a+2÷a−52a−2a+2
=a+3a−5−a−5a+2×a−2a+2a−52
=a+3a−5−a−2a−5
=a+3−a+2a−5
=5a−5，
∵ a为整数，且a+3a−5−a−5a+2÷a2−10a+25a2−4为正整数，
∴当a−5=1时，5a−5为正整数，解得a=6；
当a−5=5时，5a−5为正整数，解得a=10；
∴所有符合条件的a的值的和6+10=16，
故选：D．
【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键．
考点8：分式的运算——0/负指数幂
典例8：（23·24上·永州·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．−20=−2B．−3−1=13C．a6÷a2=a3D．4a−2=4a2
【答案】D
【分析】结合选项分别依据零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法运算法则进行计算，然后选择正确选项求解．
【详解】解：A、−20=1，原式计算错误，故本选项错误；
B、−3−1=−13，原式计算错误，故本选项错误；
C、a6÷a2=a4，原式计算错误，故本选项错误；
D、4a−2=4a2，计算正确，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是关键．
【变式1】（23·24上·南阳·开学考试）若x+40−22x−6−2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>−4B．x<3C．x≠−4或x≠3D．x≠−4且x≠3
【答案】D
【分析】根据零指数幂和负整指数幂的性质，求得不等式，即可求解．
【详解】解：x+40−22x−6−2=x+40−22x−62
则x+4≠0且2x−6≠0
解得x≠−4且x≠3
故选：D
【点睛】此题考查了零指数幂和负整指数幂的性质，解题的关键是掌握相关性质，正确列出不等式．
【变式2】（22·23下·亳州·期中）如果a=−22，b=(2023−2022)0，,c=−1100−1那么a，b，c的大小关系为（ ）
A．a=b>cB．b>a>cC．c>b=aD．c>a>b
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂运算法则分别计算即可．
【详解】∵ a=−22=−4，
b=(2023−2022)0=1，
c=−1100−1=1−11001=1−1100=1×−100=−100
∴ b>a>c．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握这些知识是解本题的关键．
【变式3】（22·23上·许昌·期末）计算π−20−2−1正确的结果是（ ）
A．12B．−12C．−2D．2
【答案】A
【分析】利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则求解即可．
【详解】解：π−20−2−1
=1−12
=12，
故选：A．
【点睛】本题考查零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
考点9：分式的运算——化简求值
典例9：（23·24上·常德·期中）先化简，再求值：x2+2xy+y2x2−1⋅x−1x2−y2其中x=2，y=1
【答案】x+yx+1x−y，1
【分析】本题考查分式的化简求值，先将分式分子分母分解因式，再约分即可化简，然后再代入计算即可．
【详解】解：原式=x+y2x+1x−1⋅x−1x+yx−y
=x+yx+1x−y
当x=2，y=1时，原式=2+12+12−1=1．
【变式1】（23·24上·厦门·期中）先化简，再求值：4x+2−1÷x2−4x+4x2+2x，其中x=2+2．
【答案】x2−x，−1−2
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：4x+2−1÷x2−4x+4x2+2x
=4x+2−x+2x+2÷x2−4x+4x2+2x
=2−xx+2÷x2−4x+4x2+2x
=2−xx+2⋅xx+2x−22
=x2−x
当x=2+2时，
原式=2+22−2+2
=−1−2
【点睛】此题考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式2】（23·24上·重庆·期中）先化简，再求值：2a−2−6a2−2a÷a2−6a+9a−2，其中a满足2a2−6a+3=0．
【答案】2a2−3a，−43
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】2a−2−6a2−2a÷a2−6a+9a−2
=2aaa−2−6aa−2÷a−32a−2
=2a−3aa−2×a−2a−32
=2aa−3
=2a2−3a
∵2a2−6a+3=0
∴2a2−6a=−3
∴a2−3a=−32
∴原式=2a2−3a=2−32=−43．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3】（23·24上·哈尔滨·期中）先化简，再求代数式(1x−1−x−3x2−2x+1)÷2x−1的值，其中x=2sin60°+tan45°．
【答案】1x−1，33
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【详解】解： (1x−1−x−3x2−2x+1)÷2x−1
=1x−1−x−3(x−1)2÷2x−1
=(x−1)−(x−3)(x−1)2÷2x−1
=2(x−1)2×x−12
=1x−1
当x=2sin60°+tan45°=2×32+1=3+1时，
原式=13+1−1=33．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
【便是4】（23·24上·泰州·阶段练习）先化简再求值：x−2x2+2x−x−1x2+4x+4÷x−4x+2，其中x2−3x−4=0
【答案】1xx+2，当x=−1原式=−1
【分析】先把所给分式化简，再求出方程的解，取使分式有意义的解代入化简的结果计算即可．
【详解】解：x−2x2+2x−x−1x2+4x+4÷x−4x+2
=x−2xx+2−x−1x+22×x+2x−4
=x−2x+2xx+22−xx−1xx+22×x+2x−4
=x2−4−x2+xxx+22×x+2x−4
=−4+xxx+22×x+2x−4
=1xx+2
∵x2−3x−4=0
∴x+1x−4=0
∴x+1=0或x−4=0
x1=−1，x2=4
∵x≠0,−2,4
∴x=−1
∴原式=1−1×−1+2=−1
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【变式5】（23·24上·泰安·阶段练习）求值
(1)先化简，再求值：2x+1−2x−3x2−1÷1x+1，其中x=3．
(2)化简求值：3x+1−x+1÷x2−4x+4x+1，其中x从0、2、−1中任意取一个数求值．
【答案】(1)1x−1，12
(2)−x+2x−2，当x=0时，原式=1．
【分析】（1）先算括号内的加减，把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可；
（2）先算括号内的加减，把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可．
【详解】（1）解：2x+1−2x−3x2−1÷1x+1
=2x−1x+1x−1−2x−3x+1x−1⋅x+1
=1x+1x−1⋅x+1
=1x−1，
当x=3时，原式=13−1=12；
（2）解：3x+1−x+1÷x2−4x+4x+1
=3−x−1x+1x+1⋅x+1x−22
=3−x2−1x+1⋅x+1x−22
=−x+2x−2x+1⋅x+1x−22
=−x+2x−2，
∵从分式知：x+1≠0，x−2≠0，
∴x≠−1，x≠2，
取x=0，
当x=0时，原式=−0+20−2=1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
【变式6】（23·24上·泰州·阶段练习）先化简，再求值：3x−1−x−1÷x−2x2−2x+1，其中x满足方程x2+x−5=0
【答案】−x2+x+2；−3
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，化简得到原式−x2+x+2，再利用满足方程x2+x−5=0得到x2+x=5，然后利用整体代入的方法计算原式的值．
【详解】解：3x−1−x−1÷x−2x2−2x+1
=3−xx−1−x−1x−1÷x−2x−12
=−x−2x+2x−1×x−12x−2
=−x−1x+2
=−x2+x+2；
∵ x2+x−5=0，
∴ x2+x=5，
将x2+x=5代入−x2+x+2，
∴原式=−x2+x+2=−5+2=−3．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【变式7】（23·24上·石家庄·阶段练习）下面是小白同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：3x+4x2−1−2x−1÷x+2x2−2x+1
=[3x+4(x+1)(x−1)−2x−1]÷x+2(x−1)2…………………………………………第一步
=[3x+4(x+1)(x−1)−2(x+1)(x+1)(x−1)]÷x+2(x−1)2………………………………第二步
=3x+4−2x+2(x+1)(x−1)×(x−1)2x+2…………………………………………………第三步
=x+6x+1×x−1x+2…………………………………………………………………………第四步
=x2+5x−6x2+3x+2…………………………………………………………………第五步
任务：
(1)填空：
①上面的化简步骤中，第______ 步是进行分式的通分，通分的依据是______ ．
②第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ．
(2)请写出正确的化简过程．
(3)当x=2时，求该分式的值．
【答案】(1)①二，分式的基本性质；②三，括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
(2)x−1x+1
(3)13
【分析】（1）①根据变形的结果可得答案；由通分的依据是分式的基本性质可得答案；②第三步开始出现错误，去括号出现错误；
（2）根据分式的混合运算法则进行化简即可；
（3）把x=2代入代简结果求值即可．
【详解】（1）①上面的化简步骤中，第二步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是“－”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：①二；分式的基本性质；②三；括号前是“－”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
（2）(3x+4x2−1−2x−1)÷x+2x2−2x+1
=[3x+4(x+1)(x−1)−2x−1]÷x+2(x−1)2
=[3x+4(x+1)(x−1)−2(x+1)(x+1)(x−1)]÷x+2(x−1)2
=3x+4−2x−2(x+1)(x−1)×(x−1)2x+2
=x+2x+1×x−1x+2
=x−1x+1．
（3）当x=2时，
原式=2−12+1
=13．
【点睛】本题考查分式化简，解题的关键是掌握分式运算的顺序和相关法则．