山东省聊城市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省聊城市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知点，，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列几何体是棱台的是（ ）
A．B．
C．D．
3． （ ）
A．B．C．D．
4．若数据1，2，5，x，2，2的极差是它们众数的2倍，则满足条件的正整数x的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
6． （ ）
A．B．C．D．
7．在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是半径为4的半圆O的直径，点B，C在弧上，若，则四边形周长的最大值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
二、多选题
9．已知空间中三条不同的直线，，和平面，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若与相交，则与相交D．若与相交，则与相交
10．欧拉公式是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若，则（ ）
A．的虚部为1B．
C．D．
11．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，，则（ ）
A．与的最小正周期相同
B．与的对称中心完全相同
C．与在上的值域相同
D．与的图象在上恰有四个交点时，m的取值范围为
三、填空题
12．若向量在单位向量上的投影向量为，则 .
13．函数，的单调递减区间为 .
14．已知中，，，若将绕直线旋转一周，所得几何体的内切球半径等于，则该内切球的表面积为 .
四、解答题
15．对于向量，，定义运算，已知向量，，.
(1)若，求t的值；
(2)若，求与夹角的余弦值.
16．某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）；
(2)从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差.
17．如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线.
(1)证明：平面；
(2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值.
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角C；
(2)若的边c上的高等于.
（i）当时，求的值；
（ii）求面积的最小值.
19．如图，在三棱柱中，，D为的中点，平面平面.
(1)求证：是直角三角形；
(2)E为的中点，F为与的交点，点M在线段上，，若平面.
（i）求侧面与底面所成二面角的正弦值；
（ii）若点C到平面的距离为，求三棱柱的体积.
1．D
根据给定条件，利用坐标表示向量即可.
【详解】由点，，得.
故选：D
2．D
【详解】A，C都不是由棱锥截成的不符合棱台的定义故选项A，C不满足题意；
B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故选项B不满足题意；
D符合棱台的定义.
故选:D.
3．B
根据复数代数形式的运算法则进行计算.
【详解】.
故选：B
4．D
确定出众数，再由已知数据中最大值与最小值的差是众数的2倍，从而得出的范围及结论.
【详解】由已知众数是2，由于，因此只有当即时均满足题意，共5个，
故选：D
5．A
确定直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角的大小，再进行判断即可.
【详解】如图：
因为四棱锥是正四棱锥，且所有棱长均相等.
所以，故C可能成立；
在中，，，所以BD可能成立；
与其余的棱或对角线都不能成，故A不可能成立.
故选：A
6．A
将写成，利用两角和的正弦公式化简即可.
【详解】因为
.
故选：A
7．C
根据向量的线性运算，确定的值即可.
【详解】如图：
取，过作，交于点，交于点.
设，因为三点共线，所以.
设，因为，
所以，.
因为共线，所以，所以.
因为且点在内运动，所以点在线段上，所以.
即，.所以.
故选：C
8．B
作出辅助线，设，，表达出，，化简求出，结合，得到最大值.
【详解】取的中点，连接，
则⊥，⊥，
因为，所以，，
因为，所以，
设，，则，，
故，，
故
，
因为，所以，，
故当时，取得最大值，最大值为17.

故选：B
9．AD
利用空间中线线与线面的位置关系逐一分析各选项的正误，可得出合适的选项.
【详解】对A：因为，，则.故A成立；
对B：若，，则或.故B错误；
对C：若，与相交，则与相交或与异面，故C错误；
对D：若，与相交，则与相交.故D成立.
故选：AD
10．BCD
A选项，计算出，得到虚部；B选项，，由共轭复数的定义可知B正确；C选项，计算出，C正确；D选项，通过计算可得的一个周期为6，且，通过周期可得答案.
【详解】A选项，因为，所以，故虚部为，A错误；
B选项，，故，B正确；
C选项，，
，
故，，C正确；
D选项，，，
，
，
故的一个周期为6，
且
，
故
，D正确.
故选：BCD
11．ABD
利用辅助角公式化简，进而求出，再结合三角函数图象性质逐项求解判断.
【详解】函数，，
则，，
对于A，的最小正周期为，的最小正周期为，A正确；
对于B，由，得图象对称中心，
由，得图象对称中心，B正确；
对于C，当时，，，C错误；
对于D，由，得，解得，
即，方程在上恰有四个根，
则，即，D正确.
故选：ABD
12．
结合投影向量的概念以及平面向量数量积的概念求值即可.
【详解】由题意：，
所以.
故答案为：
13．
先利用二倍角公式化简函数的解析式，在求函数的单调区间.
【详解】因为.
由，，.
又，所以当时，可得.
所以所求函数的单调减区间为：.
故答案为：
14．
根据“筝形”内切圆半径的求法，确定几何体的内切球半径，再求内切球的表面积.
【详解】如图：
作旋转体的轴截面，为如图筝形，设筝形的内切圆半径为，
因为中，，，
则；.
由.
又，可得.
由可得.
所以.
所以旋转体的内切球表面积为：.
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）利用新定义列方程求解；
（2）由垂直求得值，由新定义求得，再由向量夹角公式计算.
【详解】（1）因为，，，
所以，
因为，所以，解得.
（2）由题意得
又，且，所以，解得，
此时，
设与的夹角为，
则
所以与夹角的余弦值为
16．(1)，中位数为99分，
(2)平均数为124分，方差为36
（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再确定中位数所在区间，列式求解.
（2）求出，利用分层抽样平均数、方差公式列式求解.
【详解】（1）由频率分布直方图知，，解得；
由，，
得这400名学生数学成绩的中位数，由，得，
所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为99分.
（2）依题意，，解得，
设这6名学生的数学成绩分别为，，，，，136，
由这6名学生的数学成绩的平均数为126分，得，
解得，因此；
设，，，，的方差为，由这6名学生的数学成绩的方差为50，
得，解得，
所以所求学生数学成绩的平均数为124分，方差为36.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）根据圆柱母线的概念，得到，再根据线面平行的判定定理证明平面.
（2）先根据条件，确定圆柱的母线长与底面半径的关系，再确定直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求角的正切值.
【详解】（1）因为，是圆柱的两条母线，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为是下底面圆的直径，C是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以，
又因为是圆柱的一条母线，所以底面，
而底面，所以.
因为平面，平面，且，
所以平面.
又由（1）知，所以平面
所以为直线与平面所成的角.
设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，
因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，所以，得，
又Ｃ为弧的中点，所以，
所以在中，
在中，
所以直线与平面所成角的正切值为.
18．(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）由得
在中，由正弦定理得，
即，所以
因为，所以.
（2）（i）由（1）知，因为的边c上的高等于，且，
所以的面积，所以，
因为在中，，即
所以，
又中，
所以.
（ii）由（1）及（i）知，，
在中，由余弦定理得
所以·
因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立.
所
即面积的最小值为.
19．(1)证明见解析
(2)（i）（ii）或
【详解】（1）因为，D为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为三棱柱中，，所以平面，
又平面，所以，即是直角三角形.
（2）（i）如图，由平面，得平面，
因为平面，平面平面，
所以，
又E为的中点，，所以.
由（1）知平面，因为平面，
所以，所以为二面角的平面角，
又，，所以≌，
所以，
又中，，
所以，所以
因为是锐角，所以，
所以，得
即侧面与底面所成二面角的正弦值为；
（ii）因为∥，D为的中点，点到平面的距离为
所以点D到平面的距离d为点到平面距离的，即.
由（1）及（i）知，平面，，，，
因为，且，，
所以
即，平方整理得，
解得，或，所以，或.
因为
所以时，；
时，
即三棱柱的体积为或.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
D
A
A
C
B
AD
BCD
题号
11









答案
ABD